第五章 曲线运动 向心力
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第五章 曲线运动
七、向心力
【学习目标】
1．理解向心力的概念及其表达式的确切含义．
2．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算．
3．知道在变速圆周运动中，可用上述公式求质点在某一点的向心力和向心加速度．
【学时安排】1学时
【自主导学】
A级
1、向心力定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，是由于它受到了指向________的合力，这个合力叫做向心力。
2、向心力的大小：Fn＝man＝ ＝ ＝mvω
3、向心力的方向总是沿半径指向___________，由于________时刻改变，所以向心力是变力。
4、向心力的来源：
（1）向心力是效果力，可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供。
（2）向心力可以是物体所受的__________.
（3）向心力可以是某个力的__________.
B级
5、变速圆周运动：变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果。
（1）合外力F跟圆周相切的分力FT，此分力产生________加速度aT，描述__________变化的快慢。
（2）合外力F指向圆心的分力Fn，叫向心力，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的_______________,描述___________变化的快慢。
6、一般曲线运动的研究方法：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可称为一般曲线运动。研究时，可将曲线分割为许多极短的小段，每一段均可看作_________,圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的_____________.这样,质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
【疑难辨析】
曲线运动：物体的运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，对于这样的运动尽管曲线的各个地方的弯曲程度不同，我们在研究时可以把这条曲线分成许多极短的小段，，每一小段可以看作是一段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不同，可以表示为有不同的半径，这样在分析质点的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理问题了。
【问题思考】
说明以下几个圆周运动的实例中向心力是由哪些力提供的．
1．绳的一端拴一小球，手执另一端使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动．
2．火星绕太阳运转的向心力是什么力提供的
3．在圆盘上放一个小物块，使小物块随圆盘一起做匀速圆周运动，分析小物块受几个力，向心力由谁提供．
【范例精析】
例1 关于向心力，以下说法中不正确的是（ ）
A．是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新的力
B．向心力就是做圆周运动的物体所受的合力
C．向心力是线速度变化的原因
D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动
解析 理解向心力的定义、作用效果，弄清物体做匀速圆周运动的条件，然后与选项加以比较可作出判断。答案：ABD
例2 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力减小
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：物体在竖直方向上受重力G与摩擦力F，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力FN，根据向心力公式，可知FN=mω2r，当ω增大时，FN增大，所以应选D。
例3 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R。当圆台旋转时，则（ ）
A．若A、B、C均未滑动，则C的向心加速度最大
B．若A、B、C均未滑动，则B的摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，B比A先滑动
D．圆台转速增大时，C比B先滑动
解析 三个物体在圆台上，以相同的角速度做圆周运动，其向心力是由Ff静提供的，F=ma=mω2R，静摩擦力的大小由m、ω、R三者决定，其中ω相同。
而RA=RC/2，mA=2mC，所以FA=FC
mB=mC，RB所以FC>FB，故FB最小，B选项正确.
当圆台转速增大时，Ff静都随之增大，当增大至刚好要滑动时，达到最大静摩擦力。
μmg=mω2R，而ωA=ωB，RA=RB，mA=2mB
FA=2FB ，而Ff maxA=2Ff maxB ，所以B不比A先滑动，C错
RC=2RB mB=mC 而FC>FB ， 而Ff maxC=Ff maxB ，所以C比B先滑动。故选项A、B、D正确。
拓展： (1) 解决物理问题切忌想当然地作出结论：“质量大的物体容易甩出去，质量小的物体不易相对盘滑动。”这是片面的，当然也是错误的，应注意需要的向心力和提供的外力的关系。
(2) 用代表例法分析问题是论证的技巧，如盘上的A、B、C三个物体运动的性质完全一样，不同的只是一些量的不同，没有必要逐一讨论，只要选一个为代表讨论就可以了。
(3) 注意抓住临界状态进行分析。
【当堂达标】
1．在匀速圆周运动中，下列物理量不变的是（ ）
A．向心加速度 B．线速度 C．向心力 D．角速度
2．下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中，正确的是 ( )
A．物体除其他的力外还要受到—个向心力的作用
B．物体所受的合外力提供向心力
C．向心力是一个恒力
D．向心力的大小—直在变化
3．下列关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
4.关于匀速圆周运动的周期大小，下列判断正确的是 ( )
A．若线速度越大，则周期一定越小
B．若角速度越大，则周期一定越小
C．若半径越大，则周期一定越大
D．若向心加速度越大，则周期一定越大
5.一个2.0kg的物体在半径是1.6 m的圆周上以4 m／s的速率运动，向心加速度为多大 所需向心力为多大
6.太阳的质量是1．98X1030kg，它离开银河系中心大约3万光年(1光年：9．46X1012km)，它以250km／s的速率绕着银河系中心转动．计算太阳绕银河系中心转动的向心力。
7.如图6．7-6所示，线段OA＝2AB．A、B两球质量相等．当它们绕O点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力之比为多少
8．线的一端系一个重物，手执线的另一端使重物在光滑水平面上做匀速圆周运动，当转速相同时．线长易断，还是线短易断 为什么 如果重物运动时系线被桌上的一个钉子挡住，随后重物以不变的速率在系线的牵引下绕钉子做圆周运动，系线碰钉子时钉子离重物越远线易断 还是离重物越近线易断 为什么
【课后测评】
A级
1.有一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变.则（ ）
A.物块的加速度为零
B.物块所受合力为零
C.物块所受合力大小一定，方向改变
D.物块所受合力大小、方向均一定
2.有一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变.则（ ）
A.物块的加速度为零
B.物块所受合力为零
C.物块所受合力大小一定，方向改变
D.物块所受合力大小、方向均一定
3.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法中正确的是（ ）
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B.物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C.物体所受弹力和摩擦力都减小了 D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
4． 如图所示的圆锥摆中，摆球A在水平面上作匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用；
B．摆球A受拉力和向心力的作用；
C．摆球A受拉力和重力的作用；
D．摆球A受重力和向心力的作用。
5．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，物体所受向心力是 ( )
A．重力 B．弹力 C．静摩擦力 D．滑动摩擦力
B级
6．如图所示，一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动。则关于木块A的受力，下列说法正确的是（ ）
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
7．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同时间里甲转过60°角，乙转过45°角。则它们的向心力之比为（ ）
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
8．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方L/2处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（ ）
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
9．如图是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mP=2mQ ，当整个装置以ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时（ ）
A．两球受到的向心力大小相等
B．P球受到的向心力大于Q球受到的向心力
C．rP一定等于rQ/2
D．当ω增大时，P球将向外运动
10．如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则（ ）
A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmg
C．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值
C级
11．如图所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m的小球以角速度ω在水平平面上做匀速圆周运动。则该水平面距离碗底的距离h=_____。
12．如图所示，行车的钢丝长L=3m，下面吊着质量为m=2.8×103kg的货物，以速度v=2m/s匀速行驶行车突然刹车，钢丝绳受到的拉力是多少
七、向心力
【学习目标】
1．理解向心力的概念及其表达式的确切含义．
2．知道向心力大小与哪些因素有关，并能用来进行计算．
3．知道在变速圆周运动中，可用上述公式求质点在某一点的向心力和向心加速度．
【学时安排】1学时
【自主导学】
A级
1、向心力定义：做匀速圆周运动的物体具有向心加速度，是由于它受到了指向________的合力，这个合力叫做向心力。
2、向心力的大小：Fn＝man＝ ＝ ＝mvω
3、向心力的方向总是沿半径指向___________，由于________时刻改变，所以向心力是变力。
4、向心力的来源：
（1）向心力是效果力，可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质力提供。
（2）向心力可以是物体所受的__________.
（3）向心力可以是某个力的__________.
B级
5、变速圆周运动：变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果。
（1）合外力F跟圆周相切的分力FT，此分力产生________加速度aT，描述__________变化的快慢。
（2）合外力F指向圆心的分力Fn，叫向心力，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的_______________,描述___________变化的快慢。
6、一般曲线运动的研究方法：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可称为一般曲线运动。研究时，可将曲线分割为许多极短的小段，每一段均可看作_________,圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的_____________.这样,质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理。
【疑难辨析】
曲线运动：物体的运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，对于这样的运动尽管曲线的各个地方的弯曲程度不同，我们在研究时可以把这条曲线分成许多极短的小段，，每一小段可以看作是一段圆弧。这些圆弧的弯曲程度不同，可以表示为有不同的半径，这样在分析质点的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理问题了。
【问题思考】
说明以下几个圆周运动的实例中向心力是由哪些力提供的．
1．绳的一端拴一小球，手执另一端使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动．
2．火星绕太阳运转的向心力是什么力提供的
3．在圆盘上放一个小物块，使小物块随圆盘一起做匀速圆周运动，分析小物块受几个力，向心力由谁提供．
【范例精析】
例1 关于向心力，以下说法中不正确的是（ ）
A．是除物体所受重力、弹力以及摩擦力以外的一种新的力
B．向心力就是做圆周运动的物体所受的合力
C．向心力是线速度变化的原因
D．只要物体受到向心力的作用，物体就做匀速圆周运动
解析 理解向心力的定义、作用效果，弄清物体做匀速圆周运动的条件，然后与选项加以比较可作出判断。答案：ABD
例2 如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上有一物体随圆筒一起转动而未滑动。若圆筒和物体以更大的角速度做匀速转动，下列说法正确的是（ ）
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小
C．物体所受弹力减小，摩擦力减小
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：物体在竖直方向上受重力G与摩擦力F，是一对平衡力，在向心力方向上受弹力FN，根据向心力公式，可知FN=mω2r，当ω增大时，FN增大，所以应选D。
例3 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为μ，A的质量是2m，B和C的质量均为m，A、B离轴为R，C离轴为2R。当圆台旋转时，则（ ）
A．若A、B、C均未滑动，则C的向心加速度最大
B．若A、B、C均未滑动，则B的摩擦力最小
C．当圆台转速增大时，B比A先滑动
D．圆台转速增大时，C比B先滑动
解析 三个物体在圆台上，以相同的角速度做圆周运动，其向心力是由Ff静提供的，F=ma=mω2R，静摩擦力的大小由m、ω、R三者决定，其中ω相同。
而RA=RC/2，mA=2mC，所以FA=FC
mB=mC，RB
当圆台转速增大时，Ff静都随之增大，当增大至刚好要滑动时，达到最大静摩擦力。
μmg=mω2R，而ωA=ωB，RA=RB，mA=2mB
FA=2FB ，而Ff maxA=2Ff maxB ，所以B不比A先滑动，C错
RC=2RB mB=mC 而FC>FB ， 而Ff maxC=Ff maxB ，所以C比B先滑动。故选项A、B、D正确。
拓展： (1) 解决物理问题切忌想当然地作出结论：“质量大的物体容易甩出去，质量小的物体不易相对盘滑动。”这是片面的，当然也是错误的，应注意需要的向心力和提供的外力的关系。
(2) 用代表例法分析问题是论证的技巧，如盘上的A、B、C三个物体运动的性质完全一样，不同的只是一些量的不同，没有必要逐一讨论，只要选一个为代表讨论就可以了。
(3) 注意抓住临界状态进行分析。
【当堂达标】
1．在匀速圆周运动中，下列物理量不变的是（ ）
A．向心加速度 B．线速度 C．向心力 D．角速度
2．下列关于做匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中，正确的是 ( )
A．物体除其他的力外还要受到—个向心力的作用
B．物体所受的合外力提供向心力
C．向心力是一个恒力
D．向心力的大小—直在变化
3．下列关于向心力的说法中正确的是（ ）
A．物体受到向心力的作用才可能做圆周运动
B．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果来命名的，但受力分析时应该画出
C．向心力可以是重力、弹力、摩擦力等各种力的合力，也可以是其中某一种力或某几种力的合力
D．向心力只改变物体运动的方向，不改变物体运动的快慢
4.关于匀速圆周运动的周期大小，下列判断正确的是 ( )
A．若线速度越大，则周期一定越小
B．若角速度越大，则周期一定越小
C．若半径越大，则周期一定越大
D．若向心加速度越大，则周期一定越大
5.一个2.0kg的物体在半径是1.6 m的圆周上以4 m／s的速率运动，向心加速度为多大 所需向心力为多大
6.太阳的质量是1．98X1030kg，它离开银河系中心大约3万光年(1光年：9．46X1012km)，它以250km／s的速率绕着银河系中心转动．计算太阳绕银河系中心转动的向心力。
7.如图6．7-6所示，线段OA＝2AB．A、B两球质量相等．当它们绕O点在光滑的水平桌面上以相同的角速度转动时，两线段的拉力之比为多少
8．线的一端系一个重物，手执线的另一端使重物在光滑水平面上做匀速圆周运动，当转速相同时．线长易断，还是线短易断 为什么 如果重物运动时系线被桌上的一个钉子挡住，随后重物以不变的速率在系线的牵引下绕钉子做圆周运动，系线碰钉子时钉子离重物越远线易断 还是离重物越近线易断 为什么
【课后测评】
A级
1.有一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变.则（ ）
A.物块的加速度为零
B.物块所受合力为零
C.物块所受合力大小一定，方向改变
D.物块所受合力大小、方向均一定
2.有一质量为m的小物块，由碗边滑向碗底，该碗的内表面是半径为R的圆弧且粗糙程度不同，由于摩擦力的作用，物块的运动速率恰好保持不变.则（ ）
A.物块的加速度为零
B.物块所受合力为零
C.物块所受合力大小一定，方向改变
D.物块所受合力大小、方向均一定
3.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动，当圆筒的角速度增大以后，下列说法中正确的是（ ）
A.物体所受弹力增大，摩擦力也增大了 B.物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C.物体所受弹力和摩擦力都减小了 D.物体所受弹力增大，摩擦力不变
4． 如图所示的圆锥摆中，摆球A在水平面上作匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用；
B．摆球A受拉力和向心力的作用；
C．摆球A受拉力和重力的作用；
D．摆球A受重力和向心力的作用。
5．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体一起运动，物体所受向心力是 ( )
A．重力 B．弹力 C．静摩擦力 D．滑动摩擦力
B级
6．如图所示，一圆盘可绕通过圆盘中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放置一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动。则关于木块A的受力，下列说法正确的是（ ）
A．木块A受重力、支持力和向心力
B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心
C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反
D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同
7．甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，其质量之比为1∶2，转动半径之比为1∶2，在相同时间里甲转过60°角，乙转过45°角。则它们的向心力之比为（ ）
A．1∶4 B．2∶3 C．4∶9 D．9∶16
8．如图所示，长为L的悬线固定在O点，在O点正下方L/2处有一钉子C，把悬线另一端的小球m拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的（ ）
A．线速度突然增大
B．角速度突然增大
C．向心加速度突然增大
D．悬线拉力突然增大
9．如图是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球P和Q可以在光滑杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mP=2mQ ，当整个装置以ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时（ ）
A．两球受到的向心力大小相等
B．P球受到的向心力大于Q球受到的向心力
C．rP一定等于rQ/2
D．当ω增大时，P球将向外运动
10．如图所示，质量为m的滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，当滑块从A滑到B的过程中，受到的摩擦力的最大值为Fμ，则（ ）
A．Fμ=μmg B．Fμ＜μmg
C．Fμ＞μmg D．无法确定Fμ的值
C级
11．如图所示，在半径为R的半球形碗的光滑内表面上，一质量为m的小球以角速度ω在水平平面上做匀速圆周运动。则该水平面距离碗底的距离h=_____。
12．如图所示，行车的钢丝长L=3m，下面吊着质量为m=2.8×103kg的货物，以速度v=2m/s匀速行驶行车突然刹车，钢丝绳受到的拉力是多少