苏科版八年级数学上册第三章《勾股定理》填空题苏州历年试题汇编（Word版 含解析）

第三章《勾股定理》填空题苏州历年试题汇编
一．直角三角形的性质
1．（2016春?工业园区期中）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON＝30°，当∠A＝　
　时，△AOP为直角三角形．
二．勾股定理
2．（2020春?相城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，P是边AC上一动点，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，D为线段PQ的中点，当AD平分∠BAC时，AP的长为　
　．
3．（2019秋?太仓市期末）如图示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝，点P在Rt△ABC内部，且∠PAB＝∠PBC，连接CP，则CP的最小值等于　
　．
4．（2017秋?苏州期末）在如图所示的“勾股树”中，已知正方形内的数字或字母表示该正方形的边长，由此可以计算：m2+n2＝　
　．
5．（2017秋?常熟市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是边BC上的一点，∠CAD＝30°，BD＝2，AB＝，则CD的长为　
　．
6．（2017秋?吴江区期末）我国古代把直角三角形较短的直角边称为　
　．
7．（2017秋?吴江区期末）如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点和线段EF的两个端点都在小正方形的格点（顶点）上，小明在观察探究时得到以下四个结论：
①△ABC是等边三角形；②△ABC的周长是；
③△ABC的面积是4；④直线EF是线段BC的垂直平分线．
你认为以上结论中，正确的序号有　
　．
8．（2019秋?苏州期中）如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为　
　．
9．（2018秋?吴江区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝32，AB＝40，且BD：DC＝5：3．则△ADB的面积为　
　．
10．（2017秋?相城区期中）如图，在Rt△ABC中∠B＝90°，AC＝25，BC＝15，以AC，BC为直径的半圆的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝　
　．（结果保留π）
11．（2017秋?张家港市校级期中）若等腰三角形中腰长为10cm，第三边长为16cm，那么第三边上的高为　
　．
12．（2017秋?太仓市校级期中）如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD2＝　
　．
13．（2017秋?太仓市期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a＝5，b＝12，则c＝　
　．
14．（2016秋?虎丘区校级期中）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，以三边为边长向外作正方形，64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母S所代表的正方形面积是　
　．
15．（2016秋?吴中区期中）已知直角三角形的两边长为3cm、5cm，则它的第三边长为　
　．
16．（2020?姑苏区一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，射线CD与边AB交于点D，E、F分别为AD、BD中点，设点E、F到射线CD的距离分别为m、n，则m+n的最大值为　
　．
17．（2017?太仓市模拟）已知△ABC中，AB＝4，AC＝3，当∠B取得最大值时，BC的长度为　
　．
18．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为　
　．
19．（2020?苏州）如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝　
　．
20．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝　
　．
21．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，则此直角三角形斜边上的中线的长为　
　cm．
三．勾股定理的逆定理
22．（2017秋?高新区期末）一个三角形的三边长之比是5：12：13，且周长是60，则它的面积是　
　．
23．（2016秋?吴江区期中）三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2＝c2+2ab，则这个三角形是　
　．
四．等腰直角三角形
24．（2020春?工业园区期末）如图，四边形纸片ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°．若该纸片的面积为10cm2，则对角线BD＝　
　cm．
25．（2020春?常熟市期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A＝∠ABC＝90°，AE＝，BC＝6，连接CE，BD．若CE⊥CD且CE＝CD，则△BCD的面积为　
　．
26．（2018秋?苏州期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△ADB为等边三角形，则∠ADC＝　
　°．
27．（2019秋?苏州期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，点D为AC上一点，∠ABD＝2∠BAC＝45°，若AD＝12，则△ABD的面积为　
　．
28．（2019秋?苏州期中）如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为6cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为cm，则图中阴影部分的面积为　
　cm2（结果保留根号）．
29．（2019?张家港市模拟）已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角板（∠C＝90°），按如图所示的位置摆放，若∠1＝55°，则∠2的度数为　
　．
30．（2018?昆山市一模）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点E为AB的中点．以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB的异侧），连接CD．则△ACD的面积为　
　．
31．（2016?苏州二模）如图，线段AB的长为5，C为线段AB上一动点（与点A、B不重合），分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角三角形ACD和BCE，若AD＝x，BE＝y，那么x2+y2最小值是　
　．
32．如图，以OA为斜边作等腰Rt△OAB，再以OB为斜边在△OAB外侧作等腰Rt△OBC，如此继续，得到8个等腰直角三角形，则△OAB与△OHI面积的比值是　
　．
答案与解析
一．直角三角形的性质
1．【分析】根据点P的运动轨迹，分∠APO是直角和锐角两种情况讨论求解．
【解答】解：若∠APO是直角，则∠A＝90°﹣∠AON＝90°﹣30°＝60°，
若∠APO是锐角，∵∠AON＝30°是锐角，
∴∠A＝90°，
综上所述，∠A＝60°或90°．
故答案为：60°或90°．
二．勾股定理（共20小题）
2．【分析】根据勾股定理求出AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠ADP＝∠PAD，得到PA＝PD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵PQ∥AB，
∴∠BAD＝∠ADP，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠PAD，
∴∠ADP＝∠PAD，
∴PA＝PD，
∴QP＝2PA，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB，
∴＝，即＝，
解得PA＝．
故答案为：．
3．【分析】构造点P在以AB为弦的圆上，首先求得∠APB＝120°，然后求得半径和OC的长，当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值．
【解答】解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝，
∴tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝30°，
∴∠CBA＝60°，即∠1+∠2＝60°，
∵∠PAB＝∠1，
∴∠PAB+∠2＝60°，
∴∠APB＝120°，
∴点P在以AB为弦的圆O上，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝OB，
∴∠3＝∠4＝30°，
∴∠1+∠2+∠3＝90°，即∠CBO＝90°，
∠DAO＝∠BAC+∠4＝60°，∠AOD＝30°，
过点O作OD⊥AC于点D，
∴∠DOB＝90°，
∵∠DCB＝90°，
∴四边形DCBO是矩形，
∴DC＝OB，OD＝BC＝，
∴在Rt△ADO中，AD＝OD?tan30°＝×＝1，
∴DC＝AC﹣DC＝3﹣1＝2，
∴OB＝OP＝2，
∴OC＝＝＝，
当点O、P、C在一条直线上时，CP有最小值，
∴CP的最小值为OC﹣OP＝﹣2．
故答案为﹣2．
4．【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式解答．
【解答】解：如图，m2＝a2﹣42，n2＝b2﹣32，a2+b2＝62
则m2+n2＝a2﹣42+b2﹣32＝62﹣42﹣32＝11．
故答案是：11．
5．【分析】设CD＝x，根据直角三角形的性质用x表示出AD，根据勾股定理求出AC，再根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设CD＝x，
∵∠C＝90°，∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝2x，
由勾股定理得，AC＝＝x，
则（x）2+（x+2）2＝12
解得，x1＝1，x2＝﹣2（舍去）
故答案为：1．
6．【分析】根据勾股定理的概念解答即可．
【解答】解：我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，
故答案为：勾
7．【分析】根据勾股定理求出AC、BC、AB长，即可判断①和②，求出AC边上的高，即可判断③，证△MTD≌△BZC，推出∠ZBC＝∠TMD，能求出EF⊥BC，根据等腰三角形性质即可求出CO＝BO，即可判断④．
【解答】解：∵由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
∴AB＝BC，
∴△ABC的形状是等腰三角形，∴①错误；
△ABC的周长是++2＝2+2，∴②正确；
连接BN，由勾股定理得：AN＝CN，
在△BCN和△BAN中
∴△BCN≌△BAN，
∴∠BNC＝∠BNA，
∵∠BNC+∠BNA＝180°，
∴∠BNC＝90°，
由勾股定理得：BN＝，
∴△ABC的面积是AC×BN＝×2×2＝4，∴③正确；
在△MTD和△BZC中
∴△MTD≌△BZC，
∴∠ZBC＝∠TMD，
∵∠MTD＝90°，
∴∠TDM+∠TMD＝∠ZBC+∠BRO＝90°，
∴∠ROB＝90°，
∴EF⊥BC，
由勾股定理得：BM＝CM，
∴CO＝BO，
直线EF是线段BC的垂直平分线，∴④正确；
故答案为：②③④．
8．【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理得到正方形S1，S2的面积和是斜边AB的平方．
【解答】解：∵以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，
∴正方形S1的面积是AC2，正方形S2的面积是BC2，AC2+BC2＝AB2，
∴正方形S1，S2的面积和为：AC2+BC2＝AB2＝22＝4．
故答案是：4．
9．【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE＝DC，再由BC＝32，BD：DC＝5：3，CD＝×32＝12，则DE＝12，然后根据三角形面积公式计算即可．
【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵BC＝32，BD：DC＝5：3，
∴CD＝×32＝12，
∴DE＝12，
∴△ADB的面积＝AB?DE＝×40×12＝240．
故答案为：240．
10．【分析】根据半圆面积公式，求出S1、S2即可解决问题．
【解答】解：S1＝π（）2＝πAC2＝π，S2＝πBC2＝π，
所以S1﹣S2＝50π．
11．【分析】根据等腰三角形的性质先求出BD，然后在RT△ABD中，可根据勾股定理进行求解．
【解答】解：如图：
由题意得：AB＝AC＝10cm，BC＝16cm，
作AD⊥BC于点D，则有DB＝BC＝8cm，
在Rt△ABD中，AD＝＝6cm．
故答案为：6cm．
12．【分析】根据等式的性质，可得∠BAD与∠CAD′的关系，根据SAS，可得△BAD与△CAD′的关系，根据全等三角形的性质，可得BD与CD′的关系，根据勾股定理，可得答案．
【解答】解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：
∵∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，
即∠BAD＝∠CAD′，
在△BAD与△CAD′中，
，
∴△BAD≌△CAD′（SAS），
∴BD＝CD′．
∠DAD′＝90°
由勾股定理得DD′＝，
∠D′DA+∠ADC＝90°，
由勾股定理得CD′＝，
∴BD＝CD′＝，即BD2＝41．
故答案为：41．
13．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出c的长度即可．
【解答】解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a＝5，b＝12，
所以c＝＝＝13，
故答案为：13．
14．【分析】要求图中字母S所代表的正方形面积，根据面积＝边长×边长＝边长的平方，已知斜边和一直角边的平方，由勾股定理可求出图中字母S所代表的正方形的面积．
【解答】解：Rt△ABC，∠ACB＝90°，以三边为边长向外作正方形，64、400分别为所在正方形的面积，
400﹣64＝336．
故图中字母S所代表的正方形面积是336．
故答案为：336．
15．【分析】分类讨论，①当5为直角边时，②当5为斜边时，依次求出答案即可．
【解答】解：①当5是直角边时，斜边＝，此时第三边为；
②当5为斜边时，此时第三边＝，
综上可得第三边的长度为4或．
故答案为：4或．
16．【分析】根据勾股定理可求AB，再根据垂线段最短可求CD⊥AB时，m+n有最大值．
【解答】解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∵E、F分别为AD、BD中点，
∴EF＝AB＝2.5，
由垂线段最短可求CD⊥AB时，m+n有最大值2.5．
故答案为：2.5．
17．【分析】根据题意得到点C在以A为圆心，3为半径的圆上（不在直线AB上），当BC与圆A相切时，AC⊥BC，∠B取得最大值，然后根据勾股定理即可得到答案．
【解答】解：如图所示：
∵AC＝3，
∴点C在以A为圆心，3为半径的圆上（不在直线AB上），
当BC与圆A相切时，AC⊥BC，∠B取得最大值，
∴BC＝＝＝，
故答案为：．
18．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
【解答】解：
连接AC．
根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝，
∵+＝，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45°．
19．【分析】设AE＝ED＝x，CD＝y，根据勾股定理即可求出答案．
【解答】解：设AE＝ED＝x，CD＝y，
∴BD＝2y，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，
∴AB2＝4x2+4y2，
∴x2+y2＝1，
在Rt△CDE中，
∴EC2＝x2+y2＝1
∵EC＞0
∴EC＝1．
另解：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，
即可得判定△CDE∽△BDA，
且相似比为1：2，
∴＝，
即CE＝1．
故答案为：1
20．【分析】过P作PD⊥OB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM＝PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由OD﹣MD即可求出OM的长．
【解答】解：过P作PD⊥OB，交OB于点D，
在Rt△OPD中，cos60°＝＝，OP＝12，
∴OD＝6，
∵PM＝PN，PD⊥MN，MN＝2，
∴MD＝ND＝MN＝1，
∴OM＝OD﹣MD＝6﹣1＝5．
故答案为：5．
21．【分析】本题考查直角三角形的性质及勾股定理，利用直角三角形的性质及勾股定理解答即可．
【解答】解：∵直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm
∴根据勾股定理斜边的长为：＝13cm
∴三角形斜边上的中线的长为×13＝6.5cm．
三．勾股定理的逆定理
22．【分析】先求得三角形的三边长，然后依据勾股定理的逆定理证明三角形为直角三角形，最后，再利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：三角形的三边长分别为60×＝10，60×＝24，60×＝26．
∵102+242＝262，
∴三角形为直角三角形．
∴三角形的面积＝×10×24＝120．
故答案为：120．
23．【分析】先根据完全平方公式对已知等式进行化简，再根据勾股定理的逆定理进行判定．
【解答】解：∵（a+b）2＝c2+2ab，
∴a2+2ab+b2﹣c2＝2ab，
∴a2+b2＝c2，
∴三角形是直角三角形．
故答案为直角三角形．
四．等腰直角三角形
24．【分析】作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，则四边形BEDF是矩形，证明△ABE≌△CBF（AAS），得出BE＝BF，△ABE的面积＝△CBF的面积，则四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积＝正方形BEDF的面积，求出BE＝，则BD＝BE＝2
【解答】解：作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F，如图所示：
则∠BEA＝∠BFC＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴∠EBF＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△ABE和△CBF中，，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴BE＝BF，△ABE的面积＝△CBF的面积，
∴四边形BEDF是正方形，四边形ABCD的面积＝正方形BEDF的面积，
∴BE＝DE，BE2＝10，
∴BE＝，
∴BD＝BE＝2；
故答案为：2．
25．【分析】过E作EG⊥BC于G，过D作DF⊥BC交BC的延长线于F，得到四边形ABGE是矩形，求得BG＝AE＝，得到CG＝6﹣＝，根据全等三角形的性质得到DF＝CG＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：过E作EG⊥BC于G，过D作DF⊥BC交BC的延长线于F，
∵∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ABC＝∠EGC＝90°，
∴四边形ABGE是矩形，
∴BG＝AE＝，
∵BC＝6，
∴CG＝6﹣＝，
∵CE⊥CD，
∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∴∠GEC+∠ECG＝∠ECG+∠DCF＝90°，
∵EC＝CD，
∴△EGC≌△CFD（AAS），
∴DF＝CG＝，
∴△BCD的面积＝BC?DF＝＝．
故答案为：．
26．【分析】利用等腰三角形的性质分别求出∠ADB，∠BDC即可解决问题．
【解答】解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝∠ADB＝60°，BA＝BD，
∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴BD＝BC，∠CBD＝30°，
∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣30°）＝75°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°，
故答案为135．
27．【分析】作△ABC关于AC的对称△AEC，延长BD交AE于点F，则∠EAC＝∠BAC，BC＝EC，证出BF＝AF，∠AFD＝90°，证△BFE≌△AFD（AAS），得BE＝AD＝12，则BC＝EC＝6，由三角形面积公式即可得出答案．
【解答】解：作△ABC关于AC的对称△AEC，延长BD交AE于点F，如图所示：
则∠EAC＝∠BAC，BC＝EC，
∵∠ABD＝2∠BAC＝45°，
∴∠BAF＝45°＝∠ABD，
∴BF＝AF，
∠AFD＝90°，
∴BFE＝90°，
∵∠EBF+∠E＝∠DAF+∠E＝90°，
∴∠EBF＝∠DAF，
在△BFE和△AFD中，，
∴△BFE≌△AFD（AAS），
∴BE＝AD＝12，
∴BC＝EC＝6，
∴△ABD的面积＝AD×BC＝×12×6＝36；
故答案为：36．
28．【分析】阴影部分的面积＝外框大直角三角板的面积﹣内框小直角三角板的面积，根据等腰直角三角形的性质求出内框直角边长，再根据三角形面积公式计算即可求解．
【解答】解：如图，EF＝DG＝CH＝，
∵含有45°角的直角三角板，
∴BC＝，GH＝2，
∴FG＝6﹣﹣2﹣＝4﹣2，
∴图中阴影部分的面积为：
×6×6﹣×（4﹣2）×（4﹣2）＝18﹣12+8＝6+8（cm2），
故答案为：（6+8）．
29．【分析】给图中各角标上序号，由三角形外角的性质及对顶角相等可求出∠5的度数，由∠5的度数结合邻补角互补可求出∠3的度数，由直线a∥b利用“两直线平行，同位角相等”可得出∠2＝∠3＝80°，此题得解．
【解答】解：给图中各角标上序号，如图所示．
∵∠5＝∠4+∠B，∠4＝∠1＝55°，∠B＝45°，
∴∠5＝45°+55°＝100°．
∵∠3+∠5＝180°，
∴∠3＝80°．
∵直线a∥b，
∴∠2＝∠3＝80°．
故答案为：80°．
30．【分析】根据圆的定义，证明D、A、C、B四点共圆，可得∠ADF＝45°，作高线AF，构建等腰直角△ADF和30度的直角△AFC，可以求得AF、DF、CF的长，利用三角形面积公式可得结论．
【解答】解：连接CE，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE＝AE＝BE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE，
∴DE＝AE＝CE＝BE，
∴D、A、C、B在以点E为圆心的圆上，作⊙E，
∴∠ADC＝∠ABC＝45°，
过A作AF⊥CD于F，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AD＝AE＝AB＝2，
∴AF＝DF＝＝，
∵∠CAF＝∠DAB+∠BAC﹣∠DAF＝60°+45°﹣45°＝60°，
∴∠ACF＝30°，
∴AC＝2AF＝2，
由勾股定理得：CF＝＝＝，
∴S△ADC＝CD?AF＝（+）×＝1+，
故答案为：1．
31．【分析】由等腰直角三角形的性质可用BC把DE2表示出来，再利用二次函数的性质可求得答案．
【解答】解：
在等腰RT△ACD和等腰RT△CBE中AD＝CD，CE＝BE，∠ACD＝∠A＝45°，∠ECB＝∠B＝45°
∴∠DCE＝90°
∴AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝CB2
∴CD2＝AC2，CE2＝CB2，
∴DE2＝DC2+EC2＝AC2+CB2＝（AC+BC）2﹣AC?BC＝﹣BC（5﹣BC）＝BC2﹣5BC+＝（BC﹣）2+，
∴当CB＝时，DE2有最小值的值最小，
即x2+y2的最小值为，
故答案为：．
32．【分析】设AO＝a，解直角三角形，求出每个等腰直角三角形的斜边长，再证相似，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解答】解：设AO＝a，
∵AB＝OB，∠ABO＝90°，
∴∠BOA＝45°，
∴BO＝AO×cos45°＝AO＝a，
同理CO＝BO＝（）2a，
DO＝（）3a，
EO＝（）4a，
FO＝（）5a，
GO＝（）6a，
HO＝（）7a，
∵△OAB和△OHI都是等腰三角形，
∴两三角形相似，
∵OH：OA＝（）7
∴△OAB与△OHI面积的比是（）2＝[（）7]2＝128，
故答案为：128．
1