最大公因数与约分（教师版）
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
最大公因数、约分
课型
一对一/一对N
教学目标
1、了解公因数、最大公因数在现实生活中的应用，并掌握求最大公因数的方法；
2、理解约分的意义，掌握约分的方法，并能准确判断约分的结果是不是最简分数；
3、分数的大小比较。
重、难点
1、通过分数的性质学会分数的约分；
2、掌握求最大公因数的方法。
课首沟通
上次学习的分数的意义和性质都掌握了吗？
今天我们将继续学习分数的有关内容，你准备好了吗？
知识导图
课首小测
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
如果a与b是两个不同的质数，那么a与b的最大公因数是（
）。
【参考答案】1
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
A＝2×5×7，B＝2×2×3×5，A和B的最大公因数是（
）。
【参考答案】10
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
六一儿童节那天，某慈善工会买了320个苹果、240个桔子、200个雪梨，去看望福利院的小朋友，问用这些果品，最多可以分成多少份同样的礼物？
【参考答案】40份
【题目解析】(320,240,200)=40，所以最多可以分成40份同样的礼物。
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
求下列数的最大公因数。
5和6
64和16
24和56
【参考答案】1；16；8
【题目解析】5和6互质，最大公因数是1；64和16的最大公因数是2×2×2×2=16；24和56的最大公因数是2×2×2=8
导学一
：
最大公因数
知识点讲解
1：最大公因数
1.最大公因数：几个数相同的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个因数，叫这几个数的最大公因数。
例如：16的因数有（1、2、4、8、16），12的因数有（1、2、3、4、6、12），
12和16的公因数有（
1、2、4
），最大公因数是（
4
）。
当两个数成倍数关系时，最大公因数是那个较大的数。如：13与52的最大公因数是（
52
）。
当两个数是互质数时，最大公因数是（
1
）。2.寻找最大公因数的方法：
分别找出这几个数的因数，再找出公有因数（或倍数）中最大（或最小）的一个；
分解质因数：
24和36的最大公因数是：
短除法：
24和36的最大公因数是：
互质数：公因数只有（
）的两个数叫做互质数。
两个数互质的特殊判断方法：
（1）1和任何大于1的自然数互质。
（2）2和任何奇数都是互质数。
相邻的两个自然数是互质数。
相邻的两个奇数互质。
不相同的两个质数互质。
当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
例题
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
如果a、b互质（a和b都是自然数，且a，b≠0），则a和b的最大公因数是（
）。
【参考答案】1
【题目解析】当两个数互质的时候，只有公因数1，所以最大公因数就是1.
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
已知a＝2×3×5，b＝2×3×11，则a、b的最大公因数是
（
）。
【参考答案】6
【题目解析】2×3=6，所以最大公因数是6。
[求几个数的最大公因数的方法]
[难度：
★★
]
用短除法求24和36的最大公因数。
【参考答案】24和36的最大公因数是6
【题目解析】2×2×3=12，最大公因数是12。
【思维对话】学生思维障碍点：
在短除法运算过程中要注意些什么？所提取的因数有什么特点？
当两个数互质的时候怎么求最大公因数？当两个数成倍数关系时，又是怎么求最大公因数的？
学生思维障碍点突破方法：
让学生理解短除法求最大公因数的意义，还需要和学生分析互质数和倍数关系的时候是怎么求最大公因数。
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
将一个长60厘米、宽45厘米、高75厘米的长方体，分割成同样大小的正方体，并使它们的体积尽可能大且没有多余，这些正方体的棱长是多少？可分割成多少个？
【参考答案】15厘米，60个
【题目解析】棱长：（60，45，75）＝15（厘米）
（60÷15）×（45÷15）×（75÷15）＝60（个）
答：正方体的棱长是15厘米，可分割成60个。
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
某幼儿园大班老师借阅图书，如果借37本，平均分给每个小朋友后还剩1本；如果借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如果借75本，平均分给每个小朋友后还剩3本。这个班的小朋友最
多有多少人？
【参考答案】18人
【题目解析】37-1＝36（本），56-2＝54（本），75-3＝72（本）
（36，56，72）＝18（人）
【思维对话】学生思维障碍点：
当所分的书还有剩余时，应该怎么办？怎么理解这答题是求最大公因数的？怎么分析？
学生思维障碍点突破方法：
有剩余意味着多出来，让学生读懂题意，先减去多出来的数量。求最多是什么，所以求的是最大公因数。
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
五年（2）班有男生24人，女生18人。做操时要求男、女生分别排队，要使每排的人数都相同，每排最多有多少人？这是男、女生分别排了几排？
【参考答案】6人，
4排，3排
【题目解析】（24，18）=6（人），
男生：24÷6=4（排），女生：18÷6=3（排）
我爱展示
[单选题]
[合数与质数]
[难度：
★★
]
下面几组数中，两个数既是合数又是互质数的是（
）。
A．11和15
B．24和18
C．35和36
D．17和23
【参考答案】C
[单选题]
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
在算式20＝4×5中，4和5是20的（
）。
A．质因数
B．素数
C．因数
D．互质数
【参考答案】A
[单选题]
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
甲数＝2×3×4，乙数＝3×4×5，甲和乙的最大公因数是
（
）。
A．6
B．12
C．15
D．120
【参考答案】B
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
m和n都是自然数，m÷n=8，m和n的最大公因数是（
）。
【参考答案】n
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
A＝2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是（
）。
【参考答案】10
[求几个数的最大公因数的方法]
[难度：
★★
]
求下面每组数的最大公因数。
①14，28，42
②12，16，24
【参考答案】①14；
②4
【题目解析】①（14，28，42）＝2×7=14；
②（12，16，24）＝2×2=4
[求几个数的最大公因数的方法]
[难度：
★★
]
用短除法求42和54的最大公因数。
【参考答案】6
【题目解析】
2×3=6
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
有三根木棒，一根长24米，一根长8米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？一共可以截成多少段？
【参考答案】17段
【题目解析】（24，8，36）＝4，所以每段最长为4米。
一共可以截成：24÷4＋8÷4＋36÷4＝17（段）
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
有铅笔433支，橡皮260块，平均分配给若干个小学生，分到最后铅笔余13支、橡皮余8块，问最多分给了多少个小学生？
【参考答案】84个
【题目解析】433-13＝420（支），260-8＝252（块）
（420，252）＝84，所以最多分给了84个小学生。
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
有136支圆珠笔、89本笔记本和178个笔盒，平均奖给若干个优秀少先队员，结果圆珠笔多出1支，笔记本少1本，笔盒少2个，获奖的少先队员最多有多少人？
【参考答案】45人
【题目解析】136-1＝135（支），89＋1＝90（本），178＋2＝180（个）
（135，90，180）＝45，获奖的少先队员最多有45人。
导学二
：
约分
知识点讲解
1：约分
最简分数：分子和分母只有公因数（
1）的分数，叫做（最简分数）。
约分：把一个分数化成和它（大小相同），但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。举例：
例题
[最简分数]
[难度：
★★
]
圈出最简分数，把不是最简分数的约分成最简分数。
【参考答案】圈出：
；
；
；约分：
；
；
；
；
；
[分数的基本性质]
[难度：
★★
]
把约分成为最简分数：
＝
＝
约分是运用了（
）。约分后分数的分子和分母发生了（
），分数值（
）。
【参考答案】
＝
；分数的基本性质；变化；不变
[分数大小的比较;约分和通分]
[难度：
★★
]
在○里填上“＜”、“＝”、“＞”。
○
○
○
【参考答案】＞；＜；=
【思维对话】学生思维障碍点：
比较分数的大小有什么具体的方法？有哪几种情况需要注意的?
学生思维障碍点突破方法：
一：分母相同，比较分子，分子越小，则分数值越小。二：分子相同，比较分母，分母越大，则分数值越小。
三：分子和分母都不同，可以从判定是否比一小，或者约分进行比较。
[单选题]
[分数的基本性质]
[难度：
★★
]
把一个分数约分后，所得分数值与原来相比（
）。
A.变大了
B.
变小了
C.
不变
【参考答案】C
[约分和通分]
[难度：
★★
]
一批货物共400吨，已经运走了250吨，运走的占这批货物的几分之几？剩下的占这批
货物的几分之几？
【参考答案】
；
【题目解析】250÷400=
；
[约分和通分]
[难度：
★★
]
把一个分数约分，用2约了两次，用3约了一次，得
，原来这个数是多少？
(
=
)【参考答案】
【题目解析】
我爱展示
=
；
=
=
；
=
=
；原来这个数是
[分数的基本性质]
[难度：
★★
]
分数单位是的最大真分数是（
）；把这个最大的真分数化成分子是18而大小不变的分数是（
）。
【参考答案】
；
[约分和通分]
[难度：
★★
]
把、
进行约分。
＝
＝
【参考答案】
＝
；＝
[最简分数]
[难度：
★★
]
在括号里填上最简分数。
131分＝（
）小时
2060克＝（
）千克
109平方分米＝（
）平方米
【参考答案】
或2
；
或2
；
或1
[单选题]
[分数大小的比较]
[难度：
★★
]
小红和小晴购买春游的食品，都花去了各自零花钱的，两人所花的钱相比，（
）。
A.小红花的钱多
B.小晴花的钱多
C.一样多
D.不能确定谁花得多
【参考答案】D
【题目解析】单位“1”不确定，对比不了。所以选D。
[最简分数]
[难度：
★★
]
（判断）一个分数的分子和分母都是合数，那么这个分数一定不是最简分数。（
）
【参考答案】错
【题目解析】最简分数的定义是分子和分母互质，除了1以外没有相同的公因数。
(
；
)[约分和通分]
[难度：
★★
]
把下面的分数化成分母是3而大小不变的分数。
【参考答案】
；
；
[难度：
★★
]
在下列括号里填上适当的数。
（1）
（2）
（3）
（4）
【参考答案】（1）3；20；8；40；（2）8；27；（3）1；12；6；（4）4；20
限时考场模拟
[最简分数]
[难度：
★★
]
在下面的括号里填上最简分数。
25分=（
）时
300dm3=（
）m3
【参考答案】
；
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
按要求填一填。
18和30的公因数有（
），最大公因数是（
）。
【参考答案】（1、2、3、6）；6
【题目解析】18=（1、2、3、6、9、18）
30=（1、2、3、5、6、10、15、30）
（1、2、3、6）；
2×3=6
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
（判断）1是所有非0自然数的公因数。（
）
【参考答案】对
[最简分数]
[难度：
★★
]
（判断）最简分数的分子、分母一定都是质数。（
）
【参考答案】错
[单选题]
[最简分数]
[难度：
★★
]
如果一个分数的分子和分母（
），则一定是最简分数。A、都是奇数
B、都是偶数
C、两个不同的质数
D、一个是质数，一个是合数
【参考答案】C
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
某市有一个三角形公园，三边长分别为498米，612米，528米。计划在公园周围每隔若干米植一棵樟树，并且每两棵之间的距离最远，每两棵树相隔多远？植了多少棵？
【参考答案】6米，273棵
【题目解析】（498，612，528）=6（米），（498+612+528）÷6=273（棵）
课后作业
[最简分数]
[难度：
★★
]
分母是5的所有最简真分数有（
），它们的和是（
）。
【参考答案】
；
；
；
；2
[分数的意义、读写及分类]
[难度：
★★
]
在中，a是自然数，当a小于（
）时，它是真分数，当a大于或等于（
）时，它是假分数，当a是（
）的倍数时，它能化成整数。
【参考答案】8；8；8
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
五年级三个班分别有36人、48人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？
【参考答案】（36,48,42）=6（人）
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
有38支铅笔和41本练均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3
支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？
【参考答案】7人
【题目解析】需要的铅笔数38-3=5（支）；需要的练习本数41+1=42（本）；（35，42）=7（人）
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
有两根钢管，一根长25米，一根长20米，把它们锯成同样长的小段，
使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几次？
【参考答案】5米；7次
【题目解析】（25，20）=5（米）；25÷5-1=4（次）；20÷5-1=3（次）；4+3=7（次）
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
一个自然数，去除22少2，去除34也少2，这个自然数最大是几？
【参考答案】12
【题目解析】22+2=24；34+2=36；(24,36)=12
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
用一个数去除52，余4，再用这个数去除40，也余4，这个数最大是多少？
【参考答案】52-4=48；40-4=36；（48，36）=12
[因数、公因数和最大公因数]
[难度：
★★
]
开学初，学校准备了96个黑板擦，72把扫帚，48个纸篓，平均分给各个班。每一种物品的个数都对应相等，最多可分给多少个班？每种物品各几个？
【参考答案】24个；黑板擦4个；扫帚3个；纸篓2个
【题目解析】（96，72，48）=24（个）；黑板擦：96÷24=4（个）；扫帚：72÷24=3（个）；纸篓：48÷24=2（个）
上次的课后作业完成了吗？还有什么不懂的吗？
今天学习的内容是分数的最大公因数与约分，你掌握了吗？
回去记得完成课后练习，做到温故而知新。最大公因数与约分
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
最大公因数、约分
课型
一对一/一对N
教学目标
1、了解公因数、最大公因数在现实生活中的应用，并掌握求最大公因数的方法；
2、理解约分的意义，掌握约分的方法，并能准确判断约分的结果是不是最简分数；
3、分数的大小比较。
重、难点
1、通过分数的性质学会分数的约分；
2、掌握求最大公因数的方法。
课首沟通
上次学习的分数的意义和性质都掌握了吗？
今天我们将继续学习分数的有关内容，你准备好了吗？
知识导图
课首小测
1.
如果a与b是两个不同的质数，那么a与b的最大公因数是（
）。
2.
A＝2×5×7，B＝2×2×3×5，A和B的最大公因数是（
）。
六一儿童节那天，某慈善工会买了320个苹果、240个桔子、200个雪梨，去看望福利院的小朋友，问用这些果品，最
多可以分成多少份同样的礼物？
求下列数的最大公因数。
5和6
64和16
24和56
导学一
：
最大公因数
知识点讲解
1：最大公因数
1.最大公因数：几个数相同的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个因数，叫这几个数的最大公因数。
例如：16的因数有（1、2、4、8、16），12的因数有（1、2、3、4、6、12），
12和16的公因数有（
1、2、4
），最大公因数是（
4
）。
当两个数成倍数关系时，最大公因数是那个较大的数。如：13与52的最大公因数是（
52
）。
当两个数是互质数时，最大公因数是（
1
）。2.寻找最大公因数的方法：
分别找出这几个数的因数，再找出公有因数（或倍数）中最大（或最小）的一个；
分解质因数：
24和36的最大公因数是：
短除法：
24和36的最大公因数是：
互质数：公因数只有（
）的两个数叫做互质数。
两个数互质的特殊判断方法：
（1）1和任何大于1的自然数互质。
（2）2和任何奇数都是互质数。
相邻的两个自然数是互质数。
相邻的两个奇数互质。
不相同的两个质数互质。
当一个数是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也都是互质数。
例
1.
如果a、b互质（a和b都是自然数，且a，b≠0），则a和b的最大公因数是（
）。
例
2.
已知a＝2×3×5，b＝2×3×11，则a、b的最大公因数是（
）。例
3.
用短除法求24和36的最大公因数。
例
4.
将一个长60厘米、宽45厘米、高75厘米的长方体，分割成同样大小的正方体，并使它们的体积尽可能大且没有多余，这些正方体的棱长是多少？可分割成多少个？
例
5.
某幼儿园大班老师借阅图书，如果借37本，平均分给每个小朋友后还剩1本；如果借56本，平均分给每个小朋友后还剩2本；如果借75本，平均分给每个小朋友后还剩3本。这个班的小朋友最多有多少人？
例
6.
五年（2）班有男生24人，女生18人。做操时要求男、女生分别排队，要使每排的人数都相同，每排最多有多少人？这是男、女生分别排了几排？
我爱展示
[单选题]
下面几组数中，两个数既是合数又是互质数的是（
）。
A．11和15
B．24和18
C．35和36
D．17和23
2.
[单选题]
在算式20＝4×5中，4和5是20的（
）。
A．质因数
B．素数
C．因数
D．互质数
3.
[单选题]
甲数＝2×3×4，乙数＝3×4×5，甲和乙的最大公因数是（
）。
A．6
B．12
C．15
D．120
4.
m和n都是自然数，m÷n=8，m和n的最大公因数是（
）。
5.
A＝2×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是（
）。
求下面每组数的最大公因数。
①14，28，42
②12，16，24
用短除法求42和54的最大公因数。
有三根木棒，一根长24米，一根长8米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？
一共可以截成多少段？
有铅笔433支，橡皮260块，平均分配给若干个小学生，分到最后铅笔余13支、橡皮余8块，问最多分给了多少个小学
生？
有136支圆珠笔、89本笔记本和178个笔盒，平均奖给若干个优秀少先队员，结果圆珠笔多出1支，笔记本少1本，笔
盒少2个，获奖的少先队员最多有多少人？
导学二
：
约分
知识点讲解
1：约分
最简分数：分子和分母只有公因数（
1）的分数，叫做（最简分数）。
约分：把一个分数化成和它（大小相同），但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。举例：
例
1.
圈出最简分数，把不是最简分数的约分成最简分数。
例
2.
把约分成为最简分数：
＝
＝
约分是运用了（
）。约分后分数的分子和分母发生了（
），分数值（
）。
例
3.
在○里填上“＜”、“＝”、“＞”。
○
○
○
例
4.
[单选题]
把一个分数约分后，所得分数值与原来相比（
）。
A.变大了
B.
变小了
C.
不变
例
5.
一批货物共400吨，已经运走了250吨，运走的占这批货物的几分之几？剩下的占这批货物的几分之几？
例
6.
把一个分数约分，用2约了两次，用3约了一次，得，原来这个数是多少？
我爱展示
分数单位是
的最大真分数是（
）；把这个最大的真分数化成分子是18而大小不变的分数是（
）。
把
、
进行约分。＝
＝
在括号里填上最简分数。
131分＝（
）小时
2060克＝（
）千克
109平方分米＝（
）平方米
[单选题]
小红和小晴购买春游的食品，都花去了各自零花钱的，两人所花的钱相比，（
）。
A.小红花的钱多
B.小晴花的钱多
C.一样多
D.不能确定谁花得多
（判断）一个分数的分子和分母都是合数，那么这个分数一定不是最简分数。（
）
把下面的分数化成分母是3而大小不变的分数。
在下列括号里填上适当的数。
（1）
（2）
（3）
（4）
限时考场模拟
在下面的括号里填上最简分数。
25分=（
）时
300dm3=（
）m3
按要求填一填。
18和30的公因数有（
），最大公因数是（
）。
（判断）1是所有非0自然数的公因数。（
）
（判断）最简分数的分子、分母一定都是质数。（
）
[单选题]
如果一个分数的分子和分母（
），则一定是最简分数。A、都是奇数
B、都是偶数
C、两个不同的质数
D、一个是质数，一个是合数
某市有一个三角形公园，三边长分别为498米，612米，528米。计划在公园周围每隔若干米植一棵樟树，并且每两棵
之间的距离最远，每两棵树相隔多远？植了多少棵？
课后作业
分母是5的所有最简真分数有（
），它们的和是（
）。
在
中，a是自然数，当a小于（
）时，它是真分数，当a大于或等于（
）时，它是假分数，当a是
（
）的倍数时，它能化成整数。
五年级三个班分别有36人、48人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每
组多少人？
有38支铅笔和41本练均奖给若干个好少年，结果铅笔多出3支，练习本还缺1本。得奖的好少年有多少人？
有两根钢管，一根长25米，一根长20米，把它们锯成同样长的小段，使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几
次？
一个自然数，去除22少2，去除34也少2，这个自然数最大是几？
用一个数去除52，余4，再用这个数去除40，也余4，这个数最大是多少？
开学初，学校准备了96个黑板擦，72把扫帚，48个纸篓，平均分给各个班。每一种物品的个数都对应相等，最多可分
给多少个班？每种物品各几个？
上次的课后作业完成了吗？还有什么不懂的吗？
今天学习的内容是分数的最大公因数与约分，你掌握了吗？
回去记得完成课后练习，做到温故而知新。
