中小学教育资源及组卷应用平台
第二章
点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：由三视图知该几何体如图，可分为两个三棱锥和，因此．故选B．
2.
在四面体中，，以下判断错误的是（
）
A．该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直
B．该四面体的外接球球心和内切球球心重合
C．该四面体的各面是全等的锐角三角形
D．该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1
【答案】D
3.已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4.
在正方体中，分别是棱的中点，是，面与面相交于，面与面相交于，则直线的夹角为
（
）
A.
0
B.
C.
D.
【答案】.
【解析】
试题分析：延长交于点，延长交于点，连接.因为分别是棱
的中点，是，所以面与面的交线为，即；由作法知面
与面的交线为，即，因为‖，且，所以四边形为平行四
边形，所以‖，所以‖平面，所以‖，即‖，所以直线的夹角为0，
故应选.
5.
棱长为2的正方形中，为棱的中点，点，分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B.
6.
已知是球的球面上三点，，，，且棱锥
的体积为，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：在中，由正弦定理,即,所以,,所以,，由得球心到平面的距离为,由于为直角三角形,设斜边中点为,则面,在中,球的半径,所以球的表面积,选D.
7.
某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
B．
C．
D．
:【答案】B
8.
如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,
四边形ABCD
为正方形，则下列命题中的假命题是
（
）
A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o；
B.
四边形AECF是正方形；
C.
点A到平面BCE的距离为;
D.
该八面体的顶点在同一个球面上.[]
:【答案】C
【解析】
试题解析：因为八面体的各条棱长均为1,
四边形ABCD
为正方形，相邻两条棱所在的直线所成的角是,而象AE与CE所成的角为,A正确；四边形AECF各边长均为1，，所以四边形AECF是正方形；，该八面体的顶点在同一个球面上，D正确；设A到平面BCE的距离为h,由，所以，解得，C错误；
9.已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰
直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】D
【解析】
10．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设三棱锥的外接球的半径为，因为，因为，所以为外接球的直径，所以，且。当点到平面距离最大时，三枝锥的体积最大，此时平面平面，且点到平面的距离，
所以。
11．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示：在边长为的正方体中，四棱锥满足条件.
故，，.
故，故，，故选D。
12．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】过点E作，垂足为H，过H作，垂足为F，连接EF.
因为平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.
因为底面ABCD是边长为1的正方形，，所以.
因为平面ABE，所以点C到平面ABE的距离等于点H到平面ABE的距离.
易证平面平面ABE，所以点H到平面ABE的距离，即为H到EF的距离.
不妨设，则，.
因为，所以，
所以，当时，等号成立.
此时EH与ED重合，所以，。
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.
如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为
▲
．
【答案】3
14.
已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为
.
【答案】
15．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则此几何体的表面积为
.
【答案】
【解析】∵根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、，
且该几何体一个直三棱锥，如下所示：
容易知，，，故可得中上的高，
故可得，
且，，，
故该几何体的表面积为。
16．如图，矩形中，，为边的中点，将绕直线翻转成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中，①与平面垂直的直线必与直线垂直；②线段的长恒为③异面直线与所成角的正切值为④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积是.上面说法正确的所有序号是
.
【答案】①②④
【解析】取的中点，的中点，连接，，，，显然//平面，故①正确；
，故②正确；
即为异面直线与所成角，，故③错误；
当三棱锥的体积最大时，则平面平面，
不妨取中点为，连接，则容易知平面，
因为，且，故可得，
又因为分别为中点，故可得，
故在中，.
因为三棱锥的底面为直角三角形，且为斜边上的中点，
故可得，又，
故为三棱锥外接球球心，且，故④正确，综上，①②④正确
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.
如图，四棱锥中，，点在底面上的射影为线段的中点．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
解法二：（1）
如图，由点在底面上的射影为线段的中点，且
，则，
以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则
．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
则，
∴为面的一个法量，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∴，则面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分[]
（2），设面的一个法向量为，
由，即，取．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
同理，面的一个法向量为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分
设是二面角的平面角，易见与互补，
故，
所以二面角的平面角的余弦值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分
考点：线面平行的判定，二面角．
18.
如图①所示，四边形为等腰梯形，，且于
点为的中点．将沿着折起至的位置，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
∴，且，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
∵图①中四边形为等腰梯形，，且，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分
∵平面平面，
∴平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
考点：空间向量与立体几何．
19.
如图，在三棱柱中，面为矩形，为的中点，与交于点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求BC与平面ACD所成角的正弦值.
:
【答案】(1)证明略（2）.
建立如图坐标系，设BC与平面ACD所成的角为
设平面ADC的法向量为n.解得n=.
即BC与平面ACD所成角的正弦值为
20.
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，
，为线段上一点，且，点分别为线段的
中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
21.如图，已知四棱锥中，底面为菱形，且，是边长为的正三角形，且平面平面，已知点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
（2）取的中点，连结，则，
分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，则，
令，则，
即，又，
设直线与所成的角为，则，[]
故直线与平面所成角的正弦值为．
22.
如图,
以为斜边的等腰直角三角形与等边三角形所在平面互相垂直,
且点满足.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面
与平面所成的角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二章
点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷（巅峰版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
2.
在四面体中，，以下判断错误的是（
）
A．该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直
B．该四面体的外接球球心和内切球球心重合
C．该四面体的各面是全等的锐角三角形
D．该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为1
3.已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
4.
在正方体中，分别是棱的中点，是，面与面相交于，面与面相交于，则直线的夹角为
（
）
A.
0
B.
C.
D.
5.
棱长为2的正方形中，为棱的中点，点，分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.
已知是球的球面上三点，，，，且棱锥
的体积为，则球的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
7.
某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
）
B．
C．
D．
8.
如图,已知一个八面体的各条棱长均为1,
四边形ABCD
为正方形，则下列命题中的假命题是
（
）
A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是60o或90o；
B.
四边形AECF是正方形；
C.
点A到平面BCE的距离为;
D.
该八面体的顶点在同一个球面上.[]
9.已知四棱锥中，平面平面，其中为正方形，为等腰
直角三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（
）
A．
B．
C.
D．
10．现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥，如图所示，已知，三棱锥的外接球的表面积为，该三棱锥的体积的最大值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知四棱锥，底面ABCD是边长为1的正方形，，平面平面ABCD，当点C到平面ABE的距离最大时，该四棱锥的体积为（
）
A．
B．
C．
D．1
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.
如图，在长方体中，，，则三棱锥的体积为
▲
．
14.
已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为
.
15．已知一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示）.则此几何体的表面积为
.
16．如图，矩形中，，为边的中点，将绕直线翻转成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中，①与平面垂直的直线必与直线垂直；②线段的长恒为③异面直线与所成角的正切值为④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积是.上面说法正确的所有序号是
.
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.
如图，四棱锥中，，点在底面上的射影为线段的中点．
（1）若为棱的中点，求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
18.
如图①所示，四边形为等腰梯形，，且于
点为的中点．将沿着折起至的位置，得到如图②所示的四棱锥.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求二面角的余弦值．
19.
如图，在三棱柱中，面为矩形，为的中点，与交于点.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求BC与平面ACD所成角的正弦值.
:
20.
如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，
，为线段上一点，且，点分别为线段的
中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面与直线交于点，求二面角的余弦值.
21.如图，已知四棱锥中，底面为菱形，且，是边长为的正三角形，且平面平面，已知点是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22.
如图,
以为斜边的等腰直角三角形与等边三角形所在平面互相垂直,
且点满足.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面
与平面所成的角的正弦值.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
