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第二章
点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.
如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】.
2.
某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
3.
已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B.
【解析】[来源:Z
xx
k.Com]
试题分析：由三视图及体积为，可知，该几何体为一四棱锥，故俯视图为B，故选B.
4.
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（
）
（A）外接球的半径为
（B）表面积为
（C）体积为
（D）外接球的表面积为
【答案】B
5.
某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为，故选C.
6.
已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，且，则下列
结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．与相交
D．与异面
【答案】A
考点：1、线面垂直的性质；2、面面垂直的性质.
7.
某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
8.
如图，四边形是矩形，
沿直线将翻折成，异面直线与所
成的角为,
则（
）[]
A．
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：将平移到,则由异面直线所成角的定义可知就是异面直线所成角,则,即,故应选B.
9.
已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（
）
A．
B．
C.
D．
【答案】D
10.
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
试题分析：如图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，，由球的
性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，，所以，所以，所以．故选A
11．（2020届四川省泸州市高三二诊）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ）
A．44斛
B．144斛
C．288斛
D．388斛
【答案】B
【解析】3丈＝30尺，30＝3×R，解得R＝10，由题意可得：3×102×7144斛，故选B。
12．（2020届四川省泸州市高三二诊）若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2，侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R，易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin
60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝。
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.
如图，已知矩形，，为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30°，则线段的长为_________．
【答案】.
14.
一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．
【答案】
15.
已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为
▲
．
【答案】6
【解析】
试题分析：设圆锥的底面半径为，则高为，所以，，所以高为．
16.在△中，，，，若使△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是
．
【答案】
【解析】
试题分析：过A作AD垂直BC于D点，则，因此所形成的几何体的体积是
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．
又AD平面ABC，所以CC1⊥AD．
……………………
8分
因为AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，
所以AD⊥平面BB1C1C．
……………………
10分
又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC．
……………………
12分
又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD．
……………………
14分
考点：线面平行的判定，线面垂直的判定与性质．
18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.
（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，又CD⊥AD，
所以CD⊥平面PAD，
…………………………………………………………………………………8分
又PA平面PAD，∴CD⊥PA
，因为EF//PA，
∴CD⊥EF……………………………………10分
又PA=PD=AD，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD
又EF//PA，
∴PD⊥EF
………………………………………………………………13分
而CD∩PD=D，∴
PA⊥平面PDC，又EF∥PA，所以EF⊥平面PDC………………………14分
19.
如图，正方形所在的平面与△所在的平面交于，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
20.
如图，在等腰梯形中，，，，四边形
为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.
【答案】（1）由余弦定理求出，由勾股定理的逆定理证明即可；（2）分别以直线为轴，轴，轴建立所示空间直角坐标系，令,求出平面与平面的法向量(用表示)即可求的范围.
令，则，
∴.
设为平面的一个法向量，
由，得，
取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴.
∵，∴当时，有最小值，
当时，有最大值，
∴.
21.
如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
（2）在中，
在中，
……………7分
在中，，
∴
………………9分
设点到平面的距离为，则
，∴
……………11分
设直线与平面所成角的大小为，则
……………12分
设是平面的法向量，则
，即，取，得………10分[]
设直线与平面所成角的大小为，则
∴直线与平面所成角的正弦值为
………………12分
22.
已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，且平面.
（1）求的长度；
（2）求与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）（2）
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
A
B
C
D
M
N
A1
B1
C1
（第16题）
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精品试卷·第
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点、直线、平面之间的位置关系单元测试卷（基础版）
一、选择题
共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.
如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
2.
某几何体的三视图如图所示，则该三视图的体积为（
）
A.
B.
C.
D.
3.
已知某几何体的正（主）视图与侧（左）视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是（
）
A．
B．
C．
D．
4.
一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的（
）
（A）外接球的半径为
（B）表面积为
（C）体积为
（D）外接球的表面积为
5.
某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（
）
A．
B．
C．
D．
6.
已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，若，且，则下列
结论一定正确的是（
）
A．
B．
C．与相交
D．与异面
7.
某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（
）
A．
B．
C．
D．
8.
如图，四边形是矩形，
沿直线将翻折成，异面直线与所
成的角为,
则（
）[]
A．
B．
C.
D．
9.
已知一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（
）
A．
B．
C.
D．
10.
正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
11．（2020届四川省泸州市高三二诊）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？”已知1丈等于10尺，1斛大豆的体积约为2.43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（ ）
A．44斛
B．144斛
C．288斛
D．388斛
12．（2020届四川省泸州市高三二诊）若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．
B．
C．
D．
填空题
共4小题，每小题5分，共20分。
13.
如图，已知矩形，，为边上的点，现将沿翻折至，使得点在平面上的投影在上，且直线与平面所成角为30°，则线段的长为_________．
14.
一个多面体从前面、后面、左侧、右侧、上方看到的图形分别如图所示（其中每个正方形边长都为1），则该多面体的体积为_________，表面积为___________．
15.
已知圆柱M的底面半径为2，高为6；圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为
▲
．
16.在△中，，，，若使△绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是
．
三、解答题
共6小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
17.
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．
（1）求证：MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：MN⊥AD．
18.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，若、分别为、的中点.
（1）求证：∥平面；（2）求证：平面.
19.
如图，正方形所在的平面与△所在的平面交于，平面，且．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
20.
如图，在等腰梯形中，，，，四边形
为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面二面角的平面角为，试求的取值范围.
21.
如图，四边形是矩形，，是的中点，与交于点，平面.
（Ⅰ）求证：面；
（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.
22.
已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，且平面.
（1）求的长度；
（2）求与平面所成角的余弦值.
正视图
侧视图
俯视图
正视图
侧视图
俯视图
A
B
C
D
M
N
A1
B1
C1
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