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突破2.3
直线、平面垂直的判定及其性质重难点突破
一、考情分析
知识点一
直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
?a∥b
知识点二
直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
知识点三
二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
知识点四
平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
【知识必备】
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
垂直关系之间的相互转化
三、题型分析
(一)
证明或判断直线与平面垂直
方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
例1．（线线垂直的条件判断
）在直三棱柱中，.以下能使的是（
）
A．
B．
C．
D．
例2．（翻折问题中的线面垂直
）如图，在边长为的菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.
（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；
（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.
【变式训练1】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．
【变式训练2】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E
为PD的中点，点F在PC上，且．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F–AE–P的余弦值；
（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
(二)
证明或判断平面与平面垂直
方法一：用线面垂直实现。
例3．（翻折问题中的面面垂直
）在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.
如图1
如图2
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【变式训练1】.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
(三)
线面垂直、面面垂直的综合应用
例4．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥；
③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【变式训练1】.已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
(四)
线面垂直、面面垂直的性质综合应用
例5．已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
【变式训练1】如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，现在沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则四面体的高为
A．
B．
C．
D．1
【变式训练2】．如图，在四棱柱中，侧棱，，，
，点为线段上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断棱上是否存在点，使得直线平面，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
四、迁移应用
1．（2017新课标Ⅲ）在正方体中，为棱的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．（2016年浙江）已知互相垂直的平面
交于直线l．若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（
）
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
3.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
4．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥中，，
，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离．
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精品试卷·第
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突破2.3
直线、平面垂直的判定及其性质重难点突破
一、考情分析
知识点一
直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义
如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
?l⊥α
性质定理
两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行
?a∥b
知识点二
直线和平面所成的角
(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)范围：.
知识点三
二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.
(3)二面角的范围：[0，π].
知识点四
平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形表示
符号表示
判定定理
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
?α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
?l⊥α
【知识必备】
1.两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).
2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.
垂直关系之间的相互转化
三、题型分析
(一)
证明或判断直线与平面垂直
方法一：用线线垂直实现。
方法二：用面面垂直实现。
例1．（线线垂直的条件判断
）在直三棱柱中，.以下能使的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为直三棱柱所以，
又因为，所以因为，平面，
所以平面，所以，那么，要证，
故只需要证明平面，即证，因为直三棱柱的侧面都是长方形，
当增加条件时，则可以得到，因为，，
平面，所以平面，所以.故选B.
例2．（翻折问题中的线面垂直
）如图，在边长为的菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.
（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；
（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.
【答案】（1）详见解析；（2）或.
【解析】（1）证明：因为四边形是菱形，所以.
因为，点是的中点，所以.
又因为平面，平面，，所以平面.
（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示.
易知，，，
则点，，，
所以，.
设，则.
所以.
设平面的一个法向量为，则
由得解得
令，得平面的一个法向量为，
所以，
解得.
故所求的值为或.
【变式训练1】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由已知得，平面，平面，
故．又，所以平面．
（2）由（1）知．由题设知≌，所以，
故，．
以为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系D–xyz，
则C（0，1，0），B（1，1，0），（0，1，2），E（1，0，1），，，．
设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则
即所以可取n=.
设平面的法向量为m=（x，y，z），则即
所以可取m=（1，1，0）．于是．
所以，二面角的正弦值为．
【名师点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直以及线面垂直的判定，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.
【变式训练2】如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E
为PD的中点，点F在PC上，且．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求二面角F–AE–P的余弦值；
（3）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD．又因为AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD．
（2）过A作AD的垂线交BC于点M．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AM，PA⊥AD．
如图建立空间直角坐标系A?xyz，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），
P（0，0，2）．
因为E为PD的中点，所以E（0，1，1）．所以．
所以.
设平面AEF的法向量为n=（x，y，z），则即
令z=1，则．于是．
又因为平面PAD的法向量为p=（1，0，0），所以.
由题知，二面角F?AE?P为锐角，所以其余弦值为．
（3）直线AG在平面AEF内．
因为点G在PB上，且，
所以.
由（2）知，平面AEF的法向量.
所以.
所以直线AG在平面AEF内.
(二)
证明或判断平面与平面垂直
方法一：用线面垂直实现。
例3．（翻折问题中的面面垂直
）在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.
如图1
如图2
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.
【解析】（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得.
又因为为的中点，所以
在题图2中，，，且，
所以平面，所以平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.
所以平面.
又因为平面，所以.
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系在题图1中，设，则，，，.
则，，，.
所以，，.
设为平面的法向量，则，即
令，则.所以.
设与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【变式训练1】.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【解析】（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，所以．
又因为底面ABCD为菱形，所以．
又平面，平面，，
所以平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．
又，所以AB⊥AE．
又平面，平面，，所以AE⊥平面PAB．
又平面，所以平面PAB⊥平面．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
因为，分别为，的中点，则FG∥AB，且FG=AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=AB．
所以FG∥CE，且FG=CE．所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG．
因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．
(三)
线面垂直、面面垂直的综合应用
例4．已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：
①l⊥m；
②m∥；
③l⊥．
以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：
（1）如果l⊥α，m∥α，则l⊥m，正确；
（2）如果l⊥α，l⊥m，则m∥α，不正确，有可能m在平面α内；
（3）如果l⊥m，m∥α，则l⊥α，不正确，有可能l与α斜交、l∥α.
故答案为：如果l⊥α，m∥α，则l⊥m.
【名师点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.将所给论断，分别作为条件、结论加以分析即可.
【变式训练1】.已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，直线平面，，则或，A正确；
对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；
对于C，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；
对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．
故选A．
(四)
线面垂直、面面垂直的性质综合应用
例5．已知直线平面，直线平面，若，则下列结论正确的是
A．或
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】对于A，直线平面，，则或，A正确；
对于B，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴B错误；
对于C，直线平面，且，则或与相交或或，∴C错误；
对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．
故选A．
【变式训练1】如图，边长为2的正方形中，分别是的中点，现在沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则四面体的高为
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【解析】如图，由题意可知两两垂直，
∴平面，∴，
设P到平面的距离为h，
又，
∴，∴，故，故选B.
【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．折叠后，利用即可求得P到平面的距离．
【变式训练2】．如图，在四棱柱中，侧棱，，，
，点为线段上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）判断棱上是否存在点，使得直线平面，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
【解析】（1）因为，
所以．又因为，所以平面，又因为平面，所以．
因为，∠EAB=∠ABB1=90°，所以．所以．
因为，所以．所以．
又，所以平面．
（2）如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得．
由（1）知，为平面的一个法向量，
设为平面的法向量．
因为，
则即
不妨设，可得．
因此．
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
（3）设，则，．
，
所以（舍）．
即直线DF的方向向量与平面的法向量不垂直，
所以，棱上不存在点，使直线平面．
四、迁移应用
1．（2017新课标Ⅲ）在正方体中，为棱的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】．C
【解析】如图，连结，易知平面，所以，又，所以平面，故，选C．
2．（2016年浙江）已知互相垂直的平面
交于直线l．若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（
）
A．m∥l
B．m∥n
C．n⊥l
D．m⊥n
【答案】．C
【解析】选项A，只有当或时，；选项B，只有当时；选项C，由于，所以；选项D，只有当或时，，故选C．
3.（2019北京文18）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60°，求证：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由．
【解析】（Ⅰ）因为平面ABCD，且平面，所以．
又因为底面ABCD为菱形，所以．
又平面，平面，，所以平面PAC．
（Ⅱ）因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE．
因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，且E为CD的中点，所以AE⊥CD．
又，所以AB⊥AE．
又平面，平面，，所以AE⊥平面PAB．
又平面，所以平面PAB⊥平面．
（Ⅲ）棱PB上存在点F，且为的中点，使得CF∥平面PAE．
取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG．
因为，分别为，的中点，则FG∥AB，且FG=AB．
因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CE∥AB，且CE=AB．所以FG∥CE，且FG=CE．
所以四边形CEGF为平行四边形，所以CF∥EG．因为CF平面PAE，EG平面PAE，所以CF∥平面PAE．
4．（2018全国卷Ⅱ）如图，在三棱锥中，，
，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)若点在棱上，且，求点到平面的距离．
【解析】(1)因为，为的中点，所以⊥，且．
连结．因为，所以为等腰直角三角形，
且⊥，．
由知，⊥．
由⊥，⊥知⊥平面．
(2)作⊥，垂足为．又由(1)可得⊥，所以⊥平面．
故的长为点到平面的距离．
由题设可知，，．
所以，．
所以点到平面的距离为．
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