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突破3.1
直线的倾斜角与斜率重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
一、直线的倾斜角
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.
2．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l
方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
【倾斜角与倾斜程度】
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
3．倾斜角的取值范围
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是
.
如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.
二、直线的斜率
1．斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的
叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.
【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率.
2．斜率与倾斜角之间的关系
①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴
；?
②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着
；?
③当α=90°时，斜率k
(此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；?
④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着
.?
3．直线的倾斜程度
（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用
表示直线的倾斜程度.
（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.
三、过两点的直线的斜率公式
1．公式
经过两点的直线的斜率公式为
.
【名师提醒】
（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.
四、两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为
，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的
相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们
，即.
五、两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为
，另一条直线的倾斜角为
时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
；反之，如果两条直线的斜率之积等于?1，那么它们互相
，即.
三、题型分析
重难点1
求直线的斜率
（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.
（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.
例1．（1）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】过
两点的直线
的斜率
，∵直线
倾斜角为，解得
或
，当
时，
重合，舍去，∴
．故选：B．
（2）．（浙江省嘉兴一中2016-2017学年高二联考）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】直线的斜率是，所以倾斜角为30°故选：A
每条直线都存在倾斜角，但每条直线不一定有斜率，当倾斜角为时，斜率不存在.
【变式训练】（1）.（浙江省东阳中学2016-2017学年高一下学期期中考）下列四条直线，倾斜角最大的是
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】直线方程y=x+1的斜率为1,倾斜角为45?，
直线方程y=2x+1的斜率为2,倾斜角为α(60?<α<90?)，[]直线方程y=?x+1的斜率为?1,倾斜角为135?，
直线方程x=1的斜率不存在,倾斜角为90?.所以C中直线的倾斜角最大。
本题选择C选项.
（2）．已知直线斜率的取值范围是[-1,+∞）,则倾斜角的取值范围是( )
A.
[135°，180°）
B.
[0°，135°]
C.
[0°，90°]∪[135°，180°）
D.
[0°，90°）∪（90°，180°）
【答案】C
重难点2
三点共线
两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.
例2．（江苏省南京师范大学附属中学2016届高三一轮同步训练）判断下列多组点中，三点是否共线，并说明理由.
（1）(1，4)，(-1，2)，(3，5)
（2）(-2,-5),(7,6),(-5,3)
（3）(1,0),(0,-),(7，2)
（4）(0，0)，(2，4)，(-1，3)
【答案】否、否、是、否
【解析】因为
，经过三点中的两点的斜率不相等，所以这三点不共线；
（2）因为
，经过三点中的两点的斜率不相等，所以这三点不共线；
（4）因为
，经过三点中的两点的斜率不相等，所以这三点不共线
重难点3
直线倾斜角与斜率的关系
（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.
（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内，
k并不是随着α的增大而增大的.
例3．（1）（四川省三台中学2017-2018学年高二上学期开）直线的倾斜角为( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
【答案】B
【解析】试题分析：由直线方程可知斜率
（2）．（湖北省长阳县第一高级中学2017-2018学年高二9月月考）设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是( )
A.
k≥或k≤－4
B.
－4≤k≤
C.
－≤k≤4
D.
以上都不对
【答案】A
考点：直线的斜率运用.
【变式训练】（1）．（湖北省荆州中学2017-2018学年高二上学期第一次月考）直线的倾斜角是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】直线的斜率为，∴.
故选：B
（2）．（河北省廊坊市省级示范高中联合体2016-2017学年高一下学期期末）直线在轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】设直线
的倾斜角是
，则直线的倾斜角为
∵
，∴直线m的斜率∴直线的斜截式方程为：
，
，故选：B
重难点4
直线的平行与垂直
（1）在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
（2）判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于?1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
例4．（1）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
【答案】 1
【解析】 因为两直线互相垂直，所以1×2＋(－2)×m＝0?m＝1.
（2）.已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
【变式训练】（1）已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
【答案】C
【解析】若△OAB为直角三角形，则A＝90°或B＝90°.
当A＝90°时，有b＝a3；当B＝90°时，有·＝－1，得b＝a3＋.
故(b－a3)(b－a3－)＝0，选C.
（2）.（2018福建龙岩毕业班质检）
已知直线：与：
，则“”是“”的
（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】.A
【解析】若，则，得或，经检验，当时，与重合，所以.故“”是“”的充分不必要条件，故选A．
重难点5
忽视直线斜率不存在的情况
【例1】已知直线l经过直线与
的交点.
（1）点到直线l的距离为1,求l的方程；
（2）求点到直线l的距离的最大值.
【解析】（1）联立解得交点,
若直线l的斜率不存在,即方程为,
此时点A到直线l的距离为1,满足题意；
若直线l的斜率存在,设方程为,即,
∴,解得,直线方程为；
综合得：直线l的方程为或.
（2）若直线l的斜率不存在,即方程为,距离为1
,
若直线l的斜率存在,设方程为,即,
点A到直线l的距离为,
显然时,d有最大值,且
当且仅当取等号
∴点A到直线l的距离的最大值为
【点评】若忽视斜率不存在,则容易漏解．
四、迁移应用
1.经过两点A(4,2y＋1),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y?的值为(
)
A．-1
B．-3
C．0
D．2
【答案】A
2．设直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是__________．
【答案】
【解析】∵直线的倾斜角为
，且，∴直线的斜率的取值范围是：
或，∴或，∴直线的斜率的取值范围是．
3．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。
4.已知点M，N的坐标分别是，直线l经过点，且与线段MN相交.?
（1）求直线PM与PN的斜率；
（2）求直线l的斜率k的取值范围．
【解析】（1）由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为.?
（2）如图，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又，∴.?
当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，又，∴.?
综上所述，.
5.已知直线l的倾斜角范围为[45°，135°]，求直线l的斜率的范围.?
【解析】应进行分类讨论：
当倾斜角α=90°时，l的斜率不存在；?当α[45°,90°)时，l的斜率;?
当α(90°,135°]时，l的斜率.?∴l的斜率不存在或斜率.
6.已知直线经过点,直线经过点.
（1）若,求的值;
（2）若,求的值.
【解析】由题意知直线的斜率存在且.
（1）若,则直线的斜率也存在,又,
由,得,解得或.经检验,当或时,
.
（2）若，当时,
,,不符合题意;
当时,直线的斜率存在且不为0,则直线的斜率也存在，且,即,解得或.经检验，当或时，.
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精品试卷·第
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直线的倾斜角与斜率重难点突破
一、考情分析
二、经验分享
一、直线的倾斜角
1．直线的确定
在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何要素是：已知直线上的一点和这条直线的方向，二者缺一不可.
2．直线倾斜角的概念
当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l
方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
【倾斜角与倾斜程度】
平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等.因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度.
3．倾斜角的取值范围
当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围是
.
如下图：的倾斜角为0°，的倾斜角为锐角，的倾斜角为直角，的倾斜角为钝角.
二、直线的斜率
1．斜率的定义
我们把一条直线的倾斜角α的
叫做这条直线的斜率，通常用小写字母k表示，即.
【特别提醒】：倾斜角是90°的直线没有斜率.
2．斜率与倾斜角之间的关系
①当直线的倾斜角α=0°时，斜率k=0，直线与x轴
；?
②当0°<α<90°时，斜率k>0，且k值增大，倾斜角随着
；?
③当α=90°时，斜率k
(此时直线是存在的，直线与x轴垂直）；?
④当90°<α<180°时，斜率k<0，且k值增大，倾斜角也随着
.?
3．直线的倾斜程度
（1）倾斜角α不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同.因此，我们可以用
表示直线的倾斜程度.
（2）直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于代数角度，倾斜角侧重于几何角度.
三、过两点的直线的斜率公式
1．公式
经过两点的直线的斜率公式为
.
【名师提醒】
（1）当直线的倾斜角为时，斜率公式不适用，因此在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况.
（2）斜率计算公式中的值与所选取的两点在直线上的位置无关，两纵坐标和两横坐标在公式中的次序可以同时调换.
（3）当直线与轴平行或重合时，直线的斜率公式成立，此时.
四、两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为
，故它们互相平行.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的
相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们
，即.
五、两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为
，另一条直线的倾斜角为
时，两条直线互相垂直.
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
；反之，如果两条直线的斜率之积等于?1，那么它们互相
，即.
三、题型分析
重难点1
求直线的斜率
（1）已知倾斜角求斜率时，若，根据公式直接计算.当倾斜角未给出时，可根据直线与其他直线的位置关系(如平行、垂直等)确定出所求直线的倾斜角，再代入计算.
（2）已知两点求直线的斜率时，首先应检验两点的横坐标是否相等.若相等，则斜率不存在；若不相等，则可用斜率公式直接计算.
例1．（1）过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（
）
A.
B.
C.
D.
（2）．（浙江省嘉兴一中2016-2017学年高二联考）在直角坐标系中，直线的倾斜角是（
）
A.
B.
C.
D.
【变式训练】（1）.（浙江省东阳中学2016-2017学年高一下学期期中考）下列四条直线，倾斜角最大的是
（
）
A.
B.
C.
D.
（2）．已知直线斜率的取值范围是[-1,+∞）,则倾斜角的取值范围是( )
A.
[135°，180°）
B.
[0°，135°]
C.
[0°，90°]∪[135°，180°）
D.
[0°，90°）∪（90°，180°）
重难点2
三点共线
两点即可确定一条直线，要证三点共线，只要证过同一点的两直线的斜率相等即可.用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况.斜率存在的前提下，当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等时，三点共线.
例2．（江苏省南京师范大学附属中学2016届高三一轮同步训练）判断下列多组点中，三点是否共线，并说明理由.
（1）(1，4)，(-1，2)，(3，5)
（2）(-2,-5),(7,6),(-5,3)
（3）(1,0),(0,-),(7，2)
（4）(0，0)，(2，4)，(-1，3)
重难点3
直线倾斜角与斜率的关系
（1）直线的倾斜角α与斜率k的关系：，由直线的倾斜角能求斜率，反过来，由直线的斜率能求倾斜角.注意倾斜角的取值范围是.
（2）在范围内，，且k随着α的增大而增大；在范围内，，且k随着α的增大而增大.但在范围内，
k并不是随着α的增大而增大的.
例3．（1）（四川省三台中学2017-2018学年高二上学期开）直线的倾斜角为( )
A.
30°
B.
45°
C.
60°
D.
90°
（2）．（湖北省长阳县第一高级中学2017-2018学年高二9月月考）设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则的斜率k的取值范围是( )
A.
k≥或k≤－4
B.
－4≤k≤
C.
－≤k≤4
D.
以上都不对
【变式训练】（1）．（湖北省荆州中学2017-2018学年高二上学期第一次月考）直线的倾斜角是（
）
A.
B.
C.
D.
（2）．（河北省廊坊市省级示范高中联合体2016-2017学年高一下学期期末）直线在轴上的截距是-1，且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（
）
A.
B.
C.
D.
重难点4
直线的平行与垂直
（1）在判断两条直线是否平行时，首先应判断直线的斜率是否存在，然后根据斜率的关系进行判断，同时不要漏掉两条直线重合的情况.
（2）判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于?1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
例4．（1）若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
（2）.已知平行直线，则的距离___________.
【变式训练】（1）已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有( )
A．b＝a3
B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0
D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
（2）.（2018福建龙岩毕业班质检）
已知直线：与：
，则“”是“”的
（
）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
重难点5
忽视直线斜率不存在的情况
【例1】已知直线l经过直线与
的交点.
（1）点到直线l的距离为1,求l的方程；
（2）求点到直线l的距离的最大值.
四、迁移应用
1.经过两点A(4,2y＋1),B(2,-3)的直线的倾斜角为45°,则y?的值为(
)
A．-1
B．-3
C．0
D．2
2．设直线的倾斜角为，且，则直线的斜率的取值范围是__________．
3．设，则“”是“直线：与直线：平行”的（
）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4.已知点M，N的坐标分别是，直线l经过点，且与线段MN相交.?
（1）求直线PM与PN的斜率；
（2）求直线l的斜率k的取值范围．
5.已知直线l的倾斜角范围为[45°，135°]，求直线l的斜率的范围.?
6.已知直线经过点,直线经过点.
（1）若,求的值;
（2）若,求的值.
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