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突破4.2
直线、圆的位置关系
一、考情分析
二、经验分享
知识点一
直线与圆的位置关
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
知识点二
圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【知识必备】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
三、题型分析
重难点突破01
直线与圆的位置关系
例1．（1）（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（
）
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
（2）（2020山东泰安实验中学高二期中）直线与圆相切，则实数等于（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【变式训练1】．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆，直线．
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
重难点突破02
圆的弦长问题（垂径定理）
例2.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是
( )
A.6
B.3
C.2
D.8
【变式训练1】．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（
）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8
重难点突破03
圆的切线问题
例3．（2020全国高二课时练习）直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为____________.
【变式训练1】．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是( )
A.-1
B.-
C.
D.
【变式训练2】．（2020福建三明二中高二期中）过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为______.
重难点突破04
圆与圆的位置关系
例4.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(
)
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【变式训练1】．（广西河池高级中学2019届模拟）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
四、迁移应用
1．（2020上海高二课时练习）若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（
）．
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．不能确定
2．（2020·上海高二课时练习）若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为__________.
3．（2020全国高二课时练习）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
4．（四川省遂宁一中2019届模拟）已知圆C经过点A，B，直线x＝0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1：x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ.
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l的方程．
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直线、圆的位置关系
一、考情分析
二、经验分享
知识点一
直线与圆的位置关
(1)三种位置关系：相交、相切、相离．
(2)圆的切线方程的常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2；
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2；
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
知识点二
圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0).
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2|两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【知识必备】
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．圆系方程
(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)。
三、题型分析
重难点突破01
直线与圆的位置关系
例1．（1）（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（
）
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
【答案】B
【解析】由圆的方程得到圆心坐标（0，0），半径r=1，则圆心（0，0）到直线y=x+1的距离d==＜r=1，把（0，0）代入直线方程左右两边不相等，得到直线不过圆心．所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心．故选B
（2）（2020山东泰安实验中学高二期中）直线与圆相切，则实数等于（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【解析】圆的方程即为（
，圆心
到直线的距离等于半径
或者
，故选C．
【变式训练1】．（2020·江西赣州三中高二期中）已知圆，直线．
（1）判断直线与圆C的位置关系；
（2）设直线与圆C交于A，B两点，若直线的倾斜角为120°，求弦AB的长．
【解析】
(1)直线l可变形为y－1＝m(x－1)，
因此直线l过定点D(1，1)，又＝1<，
所以点D在圆C内，则直线l与圆C必相交．
(2)由题意知m≠0，所以直线l的斜率k＝m，又k＝tan
120°＝－，即m＝－．
此时，圆心C(0，1)到直线l：
x＋y－－1＝0的距离d＝＝，
又圆C的半径r＝，所以|AB|＝2＝2＝．
重难点突破02
圆的弦长问题（垂径定理）
例2.直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长是
( )
A.6
B.3
C.2
D.8
【答案】A
【解析】∵圆的方程为x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,∴圆心为(0,3),半径为3,而直线y=kx+3过定点(0,3),过圆心,故直线y=kx+3被圆x2+y2-6y=0所截得的弦长即为直径6.
【变式训练1】．（2020福建莆田一中高二期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（
）
A．-2
B．-4
C．-6
D．-8
【答案】B
【解析】圆心，，设圆心到直线的距离为，
∴，，∴，
∴．
重难点突破03
圆的切线问题
例3．（2020全国高二课时练习）直线l与圆相交于A，B两点，若弦AB的中点为，则直线l的方程为____________.
【答案】
【解析】由圆的方程可得，圆心为，所以，故直线的斜率为，所以直线方程为
【变式训练1】．（多选题）（2020山东泰安一中高二期中）若过点A(3,0)的直线l与圆(x-1)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率可能是( )
A.-1
B.-
C.
D.
【答案】BC
【解析】由题意知直线l的斜率必存在,设为k,则l的方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0,圆心C(1,0).半径r=1.直线与圆有公共点,需≤1,所以|2k|≤,得k2≤,所以-≤k≤,对照选项知B,C适合.
【变式训练2】．（2020福建三明二中高二期中）过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为______.
【解析】直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长．
重难点突破04
圆与圆的位置关系
例4.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(
)
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【答案】B
【解析】法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，∴＝2.又a＞0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，
圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1＜|MN|＜3，
∴两圆相交．
法二：由题知圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝，两圆半径之差为1，故两圆相交．
【变式训练1】．（广西河池高级中学2019届模拟）已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
【解析】
两圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为和.
(1)当两圆外切时，＝＋，解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心距5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)当m＝45时，4－＜|MN|＝5＜＋4，两圆相交，其两圆的公共弦所在直线方程为(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦长为2＝2.
四、迁移应用
1．（2020上海高二课时练习）若直线与圆有两个不同的公共点，那么点与圆的位置关系是（
）．
A．点在圆外
B．点在圆内
C．点在圆上
D．不能确定
【答案】A
【解析】因为直线与圆有两个公共点，所以有，
即，因为点与的圆心的距离为，圆的半径为2，
所以点在圆外.故选:A．
2．（2020·上海高二课时练习）若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为__________.
【答案】或
【解析】
取的中点为，连接，则.因为，故，所以，
又直线的方程为：，所以，故.
3．（2020全国高二课时练习）已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.
（1）求圆M的方程；
（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.
【解析】（1）设圆的方程为：，
根据题意得，
故所求圆M的方程为：
（2）如图
四边形的面积为
即
又，所以，
而，即.
因此要求的最小值，只需求的最小值即可，
的最小值即为点到直线的距离
所以，
四边形面积的最小值为.
4．（四川省遂宁一中2019届模拟）已知圆C经过点A，B，直线x＝0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1：x2＋y2＝1相交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ.
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l的方程．
【解析】：(1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C的坐标为(0，b)，圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．
因为圆C经过A，B两点，所以2＋2＝2＋2，
即＋－b＋b2＝＋－b＋b2，解得b＝4.
则r2＝2＋2＝，所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝.
(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x＝±，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P点在Q点的上方，则P，Q或P，Q，则·＝0，所以OP⊥OQ，满足题意．
当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，
设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线l的方程与圆C1的方程联立，得消去y，整理得(1＋k2)x2＋2kmx＋m2－1＝0，
则Δ＝4k2m2－4(1＋k2)(m2－1)＝4(k2－m2＋1)＞0，
即1＋k2＞m2，则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝，
又OP⊥OQ，所以·＝0，即x1x2＋y1y2＝＋＝0，
故2m2＝1＋k2，满足Δ＞0，符合题意．
因为直线l：y＝kx＋m与圆C：x2＋(y－4)2＝相切，所以圆心C(0,4)到直线l的距离d＝＝，
即m2－8m＋16＝，故m2－8m＋16＝m2，得m＝2，
故1＋k2＝8，得k＝±.
故直线l的方程为y＝±x＋2.综上，直线l的方程为x＝±或y＝±x＋2.
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