题型分类教案：逻辑用语1.4-1.5（高三复习）

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题型分类：逻辑用于1.4-1.5
【基础梳理】
1、逆否关系图
2、或且非命题关系
非
真
真
假
真
真
真
假
假
真
假
假
真
真
真
假
假
假
真
假
假
3.命题的否定
正面
等于
大于
小于
是
都是
至少一个
至多一个
否定
不等于
不大于
不小于
不是
不都是
一个也没有
至少两个
一、命题以及命题之间的关系
【命题的判定】判断下列语句是否是命题．
(1)求证是无理数．
(2)x2＋2x＋1≥0.
(3)你是高二学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果．
(5)一个正整数不是质数就是合数．
(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0.
(7)x＋3>0.
解　(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题．
【命题的真假】判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆．
【命题的机构】把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac>bc时，a>b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【命题的四种关系1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．
解　(1)原命题是真命题．
逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．
否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．
(2)原命题是真命题．
逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题．
否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题．
逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．
【命题的四种关系2】 下列命题：
①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；
②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；
④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．
其中是真命题的是________．
答案　①②③
【或非且关系1】如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（ ）
A. 命题“或”是假命题 B. 命题“或”是假命题
C. 命题“且”是真命题 D. 命题“且”是真命题
思路：涉及到“或”命题与“且”命题的真假，在判断或利用条件时通常先判断每个命题的真假，再根据真值表进行判断。题目中以为入手点，可得是真命题，而因为且是假命题，所以只能是假命题。进而是真命题。由此可判断出各个选项的真假：只有C的判断是正确的
答案：C
【或非且关系2】已知命题：若，则；命题：若，则，在命题①；②；③；④ 中，真命题是（ ）
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
思路：可先判断出的真假，从而确定出复合命题的情况。命题符合不等式性质，正确，而命题是错的。所以①是假的，②是真的，③④中，因为为假，为真，所以③正确，④不正确。综上可确定选项D正确
答案：D
二、充分必要条件
【充分必要条件的判断1】指出下列命题中，p是q的什么条件？
(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝；
(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
解　(1)∵x2＝2x＋1x＝，
x＝?x2＝2x＋1，
∴p是q的必要不充分条件．
(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，
a＋b＝0a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵当x＝1或x＝2成立时，可得x－1＝成立，反过来，当x－1＝成立时，可以推出x＝1或x＝2，
∴p既是q的充分条件也是q的必要条件．
规律方法　要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是否是q的必要条件，就要看q能否推出p.
【充分必要条件的判断2】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的什么条件？(充分不必要条件，必要不充分条件，既是充分条件也是必要条件，既不充分也不必要条件)
(1)若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
(2)若f(x)＝x，则f(x)为增函数；
(3)若x为无理数，则x2为无理数；
(4)若x＝y，则x2＝y2；
(5)若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(6)若a＞b，则ac＞bc.
【充分必要条件的判断3】“a>b”是“a>|b|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a>|b|?a>b，而a>b推不出a>|b|.
【以小见大的应用1】设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　因为{x|2x2＋x－1＞0}＝{x|x＞或x＜－1}，所以{x|x＞}?{x|2x2＋x－1＞0}，故选A.
【以小见大的应用2】下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1.其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．
答案　②③④
解析　由于x2＜1即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．
三、量词
【量词的用法1】试判断下列全称命题的真假：
(1)?x∈R，x2＋2>0；(2)?x∈N，x4≥1.
解　(1)由于?x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“?x∈R，x2＋2>0”是真命题．
(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“?x∈N，x4≥1”是假命题．
规律方法　判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．判断全称命题为假时，可以用反例进行否定．
【量词的用法2】给出以下命题：
①?x∈R，有x4>x2；
②?a∈R，对?x∈R，使得x2＋2x＋a<0.
其中真命题的个数为________．
(1)0 (2)1 (3)2 (4)3
答案　(2)
解析　①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，由于抛物线开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，显然为假命题，故选(2)．
【量词的用法3】已知命题p：?x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：?x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．
【量词的否定1】写出下列命题的否定：
(1)任何一个平行四边形的对边都平行；
(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(3)?a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
解　(1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(2)是全称命题，其否定：数列{1,2,3,4,5}中至少有一项不是偶数．
(3)是全称命题，其否定：?a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．
(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.
【量词的否定2】写出下列特称命题的否定，并判断其真假．
(1)p：?x>1，使x2－2x－3＝0；
(2)p：有些素数是奇数；
(3)p：有些平行四边形不是矩形；
【综合技巧】
【命题等价关系的应用1】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．
法二　先判断原命题的真假．
因为a，x为实数，且关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，
所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，
即4a－7≥0，
所以a≥1.所以原命题成立．
又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．
【命题等价关系的应用2】判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．
解　∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.
∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.
∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真．
又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真．
【反向充要问题1】是否存在实数p，使4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由．
解　由x2－x－2>0，解得x>2或x<－1，
令A＝{x|x>2，或x<－1}，
由4x＋p<0，得B＝{x|x<－}，
当B?A时，即－≤－1，即p≥4，
此时x<－≤－1?x2－x－2>0，
∴当p≥4时，4x＋p<0是x2－x－2>0的充分条件．
【反向充要问题2】已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．
【反向充要问题3】已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
【命题关系的应用1】已知命题，命题，若为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D.
思路：因为为假命题，所以可得均为假命题。则为真命题。。解决这两个不等式能成立与恒成立问题即可。
解：为假命题
均为假命题
为真命题
对于
当时，
对于，设，由图像可知：若成立，则 ，解得：或
所以综上所述：
【命题关系的应用2】已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．
答案：若方程x2＋mx＋1=0有两不等的负根，则解得m＞2
即p：m＞2?
若方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根
则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0
解得：1＜m＜3.即q：1＜m＜3.
因“p或q”为真，所以p、q至少有一为真，又“p且q”为假，所以p、q至少有一为假，
因此，p、q两命题应一真一假，即p为真，q为假或p为假，q为真.?
∴
解得：m≥3或1＜m≤2.?
【命题关系的应用3】已知； 若是的充分非必要条件，求实数的取值范围．
答案：
.
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