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专题12.3
角的平分线的性质
知识点解读
1.角平分线的定义
将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。
2.作角平分线（尺规作图，四弧一线）
角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
??
3.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.
4.角平分线性质定理的逆定理：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵
AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.
5.角平分线的综合应用
（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
（2）实际生活中的应用．
6.证明命题基本方法
（1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
对点例题解析
【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．
求证：PA＝PB．
【答案】见解析。
【解析】证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON
∴∠PAO＝∠PBO＝90°
∵OC平分∠MON
∴∠1＝∠2
在△PAO和△PBO中，
∴△PAO≌△PBO
∴PA＝PB
【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
【答案】见解析。
【解析】证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA=PB
OP=OP
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL）
∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上．
【例题3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，
∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABC＝27°．
【例题4】如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵BD、CE是两条高，
∴∠BDC=∠CEB=90°.
又∵BC=CB，
∴△BDC≌△CEB(AAS).
∴∠DCB=∠EBC.
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形.
(2)点O是在∠BAC的角平分线上.
理由：连接AO.
∵△BDC≌△CEB，
∴DC=EB,CE=BD.
∵OB=OC，
∴OD=OE.
又∵∠BDC=∠CEB=90°，AO=AO，
∴△ADO≌△AEO(HL).
∴∠DAO=∠EAO.
∴点O是在∠BAC的角平分线上.
【例题5】如图，在?ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则?BDE的周长是(
)
A.15
B.12
C.9
D.6
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C=90°，∴AC⊥CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．
∵BC=9，BE=3，
∴△BDE的周长为BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．
达标训练题
一、选择题
1．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
【答案】B．
【解析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．
A．利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
C．利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；
D．利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意，
B．过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意。
2.如图，在?ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则?BDE的周长是(
)
A.15
B.12
C.9
D.6
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠C=90°，∴AC⊥CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=CD．
∵BC=9，BE=3，
∴△BDE的周长为BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=3+9=12．
3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44°
B．40°
C．39°
D．38°
【答案】C．
【解析】根据三角形内角和得出∠ACB，利用角平分线得出∠DCB，再用平行线的性质解答即可．
∵∠A=54°，∠B=48°，
∴∠ACB=180°﹣54°﹣48°=78°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCB=78°=39°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE=∠DCB=39°
4．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
【答案】A．
【解析】依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．
∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，
∴∠DAE=30°﹣25°=5°，
∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°
二、填空题
5.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为
．
【答案】3．
【解析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3，
6．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=
．
【答案】2．
【解析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
7．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=_____度．
【答案】24．
【解析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EC，得到∠EAC=∠C，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．
∵DE是AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C，
∴∠FAC=∠EAC+19°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠EAC+19°，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴70°+2（∠C+19°）+∠C=180°，
解得，∠C=24°，
三、解答题
8.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．
【答案】见解析。
【解析】证明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，
∴CD＝CE，
∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，
∴△ACD≌△BCE，
∴AC＝BC．
9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：在等腰直角△ABC中，∵∠CAD=∠CBD=15°，
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，
∴BD=AD，
∴△BDC≌△ADC，
∴∠DCA=∠DCB=45°.
由∠BDE=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，
∴∠BDE=∠EDC，
∴DE平分∠BDC.
(2)证明：连接MC，
∵DC=DM，且∠MDC=60°，
∴△MDC是等边三角形，即CM=CD.
又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA，
∴∠DAC=∠CEM=15°，
∴△ADC≌△EMC，
∴EM=AD=DB.
10.
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】由于点D在∠CAB的平分线上，若过点D作DE⊥AB于E，则DE＝DC．于是有BD＋DE＝BD＋DC＝BC＝AC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论．
能在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长。
过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下：
∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）．
∴AC＝AE．
又∵AC＝BC，∴AE＝BC．
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．
11.如图,在△ABC中，AD为角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，AB=10
cm，AC=8
cm，△ABC的面积是45
cm2，求DE的长．
【答案】5
cm.
【解析】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF.
又∵S△ABC=S△ABD+S△ADC，
∴45=AB·DE+AC·DF，
即45=×10DE+×8DE，
∴DE=5
cm.
12.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA交OA于点D，PEOB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．
【答案】见解析。
【解析】证明：∵点P在∠AOB的平分线OC上，PE⊥OB，PD⊥AO，
∴PD=PE，∠DOP=∠EOP，∠PDO=∠PEO=90°.
∴∠DPF=90°-∠DOP，∠EPF=90°-∠EOP，
∴∠DPF=∠EPF．
在△DPF和△EPF中，
∴△DPF≌△EPF(SAS)
∴DF=EF．
13.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
求证：（1）OC平分∠ACD；（2）OAOC；（3）AB+CD=AC．
【答案】见解析。
【解析】证明：
（1）如图，过点O作OE⊥AC于点E.
∵∠ABD=90°，OA平分∠BAC，
∴OB=OE.
∵O为BD的中点，
∴OB=OD，
∴OE=OD，且OE⊥AC,OD⊥CD,
∴OC平分∠ACD.
（2）在Rt△ABO和Rt△AEO中，
∴Rt△ABO≌Rt△AEO（HL），
∴∠AOB=∠AOE.
同理得出∠COD=∠COE，
∴∠AOC=∠AOE+∠COE=12×180°=90°，
∴OA⊥OC.
（3）∵Rt△ABO≌Rt△AEO，
∴AB=AE.
同理可得CD=CE.
∵AC=AE+CE，
∴AB+CD=AC．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
【答案】见解析。
【解析】先根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由邻补角定义得出∠CBD=130°．再根据角平分线定义即可求出∠CBE=∠CBD=65°；先根据三角形外角的性质得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根据平行线的性质即可求出∠F=∠CEB=25°．
（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，
∴∠CBD=130°．
∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE=∠CBD=65°；
（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°﹣65°=25°．
∵DF∥BE，
∴∠F=∠CEB=25°．
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角的平分线的性质
知识点解读
1.角平分线的定义
将一个已知的角平分为两个相等的角的射线叫做这个已知角的平分线。
2.作角平分线（尺规作图，四弧一线）
角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
??
3.角平分线的性质定理：
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
符号语言：∵OP平分∠AOB，AP⊥OA，BP⊥OB，∴AP=BP.
4.角平分线性质定理的逆定理：
到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
符号语言：∵
AP⊥OA，BP⊥OB，AP=BP，∴点P在∠AOB的平分线上.
5.角平分线的综合应用
（1）为推导线段相等、角相等提供依据和思路；
（2）实际生活中的应用．
6.证明命题基本方法
（1）明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）
（2）根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.
对点例题解析
【例题1】已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B．
求证：PA＝PB．
【例题2】已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
【例题3】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且DE＝DC．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）若∠A＝36°，求∠DBC的度数．
【例题4】如图，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由.
【例题5】如图，在?ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则?BDE的周长是(
)
A.15
B.12
C.9
D.6
达标训练题
一、选择题
1．已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C
B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC
C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
2.如图，在?ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，过点D作DEAB于点E，测得BC=9，BE=3，则?BDE的周长是(
)
A.15
B.12
C.9
D.6
3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E．若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为（ ）
A．44°
B．40°
C．39°
D．38°
4．如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）
A．75°
B．80°
C．85°
D．90°
二、填空题
5.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为
．
6．如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF=
．
7．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=____度．
三、解答题
8.如图，∠1＝∠2，AE⊥OB于E，BD⊥OA于D，AE与BD相交于点C．求证：AC＝BC．
9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA.
(1)求证：DE平分∠BDC；
(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD.
10.
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
11.如图,在△ABC中，AD为角平分线，DEAB于点E，DFAC于点F，AB=10
cm，AC=8
cm，△ABC的面积是45
cm2，求DE的长．
12.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PDOA交OA于点D，PEOB交OB于点E，F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．
13.如图，在四边形ABDC中，∠D=∠ABD=90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
求证：（1）OC平分∠ACD；（2）OAOC；（3）AB+CD=AC．
14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
（1）求∠CBE的度数；
（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
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