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专题14.1
整式的乘法
知识点解读
知识点1：基本运算：
（1）同底数幂的乘法：
（2）幂的乘方：
（3）积的乘方：
知识点2：整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：系数乘以系数，同字母乘以同字母，不同字母为积的因式.
（2）单项式乘以多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.
（3）多项式乘以多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
知识点3：整式的除法：
（1）同底数幂的除法：
(2)单项式除以单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.
（3）多项式除以单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.
（4）多项式除以多项式：用竖式.
对点例题解析
【例题1】选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则
B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则
D．运用完全平方公式
【答案】B
【解析】直接利用平方差公式计算得出答案．
选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．
【点拨】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键．
【例题2】计算：a3÷a＝
．
【答案】a2．
【解析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
a3÷a＝a2．
【点拨】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【例题3】下列运算正确的是（ ）
A．a2?a4＝a8
B．a6÷a3＝a2
C．（ab）2＝a2b2
D．（
a4）2＝a6
【答案】C
【解析】A.原式＝a6，不符合题意；
B.原式＝a3，不符合题意；
C.原式＝a2b2，符合题意；
D.原式＝a8，不符合题意。
【点拨】根据整式的运算法则各项计算得到结果，即可作出判断．
【例题4】
中国青年科学家李栋首创的新型超分辨成像技术，使显微镜的分辨率达到0.000000097m．其中数据0.000000097用科学记数法表示是（ ）
A．0.97×10﹣7
B．9.7×10﹣8
C．0.97×107
D．9.7×108
【答案】B
【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000097＝9.7×10﹣8．
【点拨】与较大数的科学记数法不同的是绝对值小于1的正数其所使用的是负指数幂．
达标训练题
一、选择题
1．计算a?a2的结果是（ ）
A．a3
B．a2
C．3a
D．2a2
【答案】A
【解析】根据同底数幂的乘法，底数不变指数相加，可得答案．
原式＝a1+2＝a3．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，注意底数不变指数相加．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a?a3＝a3
B．（2a）3＝6a3
C．a6÷a3＝a2
D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
【答案】D
【解析】各项计算得到结果，即可作出判断．
A.原式＝a4，不符合题意；
B.原式＝8a3，不符合题意；
C.原式＝a3，不符合题意；
D.原式＝0，符合题意。
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2?a3＝a6
B．a8÷a2＝a4
C．a2+a2＝2a2
D．（a+3）2＝a2+9
【答案】C
【解析】A.a2?a3＝a5，故此选项错误；
B.a8÷a2＝a6，故此选项错误；
C.a2+a2＝2a2，正确；
D.（a+3）2＝a2+6a+9，故此选项错误。
4.下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，合并同类项。根据同底数幂、积的乘方与幂的乘方和合并同类项的运算法则，以及完全平方公式的知识，应用排除法
A．，故本选项错误；
B．，故本选项正确；
C．，故本选项错误；
D．，故本选项错误。故选B。
5.下列计算正确的是（ ）
A．2a?3a=6a
B．（﹣a3）2=a6
C．6a÷2a=3a
D．（﹣2a）3=﹣6a3
【答案】B
【解析】A．根据单项式乘单项式的方法判断即可．
B．根据积的乘方的运算方法判断即可．
C．根据整式除法的运算方法判断即可．
D．根据积的乘方的运算方法判断即可．
∵2a?3a=6a2，∴选项A不正确；
∵（﹣a3）2=a6，∴选项B正确；
∵6a÷2a=3，∴选项C不正确；
∵（﹣2a）3=﹣8a3，∴选项D不正确．
6.已知多项式x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3
B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3
D．a=2，b=﹣3
【答案】B
【解析】运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x﹣3）的值，对比系数可以得到a，b的值．
∵（x+1）（x﹣3）=x?x﹣x?3+1?x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2，b=﹣3．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x2?x3=x5
B．x6+x6=x12
C．（x2）3=x5
D．x﹣1=x
【答案】A
【解析】原式利用同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方及负整数指数幂法则计算，即可作出判断．
A．原式=x5，正确；
B．原式=2x6，错误；
C．原式=x6，错误；
D．原式=，错误。
5．下列运算正确的是（ ）
A．﹣2（a+b）=﹣2a+2b
B．（a2）3=a5
C．a3+4a=a3
D．3a2?2a3=6a5
【答案】D
【解析】A．原式去括号得到结果，即可作出判断。原式=﹣2a﹣2b，错误；
B．原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断。原式不能合并，错误；
C．原式不能合并，错误。原式不能合并，错误；
D．原式利用单项式乘单项式法则计算得到结果，即可作出判断．原式=6a5，正确。
6．计算a?a5﹣（2a3）2的结果为（ ）
A．a6﹣2a5
B．﹣a6
C．a6﹣4a5
D．﹣3a6
【答案】D
【解析】首先利用同底数幂的乘法运算法则以及结合积的乘方运算法则分别化简求出答案．
原式=a6﹣4a6=﹣3a6．
7.
下列计算正确的是(
)
A．（a4）3=a7
B．3（a﹣2b）=3a﹣2b
C．a4+a4=a8
D．a5÷a3=a2
【答案】D
【解析】幂的乘方，去括号，合并同类项，同底数幂的除法。根据幂的乘方、去括号、合并同类项与同底数幂的除法法则，即可求得答案：
A．（a4）3=a12，故本选项错误；
B．3（a﹣2b）=3a﹣6b，故本选项错误；
C．a4+a4=2a4，故本选项错误；
D．a5÷a3=a2，故本选项正确。故选D。
8.
下列运算正确的是（
）
A．x4?x3=x12
B．（x3）4=x81
C．x4÷x3=x（x≠0）
D．x4+x3=x7
【答案】C。
【解析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项运算法则，结合选项即可作出判断：
A．x4?x3=x7，故本选项错误；
B．（x3）4=x12，故本选项错误；
C．x4÷x3=x（x≠0），故本选项正确。
D．x4和x3不是同类项，不可合并，故本选项错误。故选C。
9．计算（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）
A．﹣x2+2
B．x3+4
C．x3﹣4x+4
D．x3﹣2x2﹣2x+4
【答案】D
【解析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多项式乘多项式的法则进行计算即可．
（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）
=（2x2﹣4）（x﹣1）
=x3﹣2x2﹣2x+4．
二、填空题
10.计算a3?a的结果是
．
【答案】a4．
【解析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加
解：a3?a＝a4，
【点拨】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂乘法的运算是解题的关键．
11.若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n=
．
【答案】．
【解析】直接利用同类项的定义得出关于m，n的等式，进而求出答案．
∵3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，
∴，
解得：
则m+n=+=．
12．若am=2，an=8，则am+n=
．
【答案】16
【解析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
∵am=2，an=8，
∴am+n=am?an=16
13.计算（ab）3=
．
【答案】a3b3
【解析】原式利用积的乘方运算法则计算即可得到结果．
原式=a3b3
三、解答题
14.已知x2-4x-1=0，求多项式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.
【答案】12
【解析】原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9=3(x2-4x+3).
∵x2-4x-1=0，
∴x2-4x=1.
∴原式=3×(1+3)=12.
15．已知，，求代数式的值．
【答案】-5/32
【解析】原式＝
16．已知、、满足，，求的值．
【答案】0
【解析】由，得，
把代入，得
∴．
∵≥0，
∴≤0．
又≥0，
所以，＝0，
故＝0．
17．已知是正整数，且是质数，求的值．
【答案】3
【解析】，
∵是正整数，∴与的值均为正整数，
且＞1．
∵是质数，
∴必有＝1，
解得．
18．已知是的一个因式，求的值．
【答案】31
【解析】设，
展开，得
．
比较比较边的系数，得
解得，，，．
所以，．
19.计算：（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．
【答案】x﹣1
【解析】（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）＝x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1
【点拨】多项式乘以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．
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专题14.1
整式的乘法
知识点解读
知识点1：基本运算：
（1）同底数幂的乘法：
（2）幂的乘方：
（3）积的乘方：
知识点2：整式的乘法：
（1）单项式乘以单项式：系数乘以系数，同字母乘以同字母，不同字母为积的因式.
（2）单项式乘以多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.
（3）多项式乘以多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.
知识点3：整式的除法：
（1）同底数幂的除法：
(2)单项式除以单项式：系数系数，同字母同字母，不同字母作为商的因式.
（3）多项式除以单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.
（4）多项式除以多项式：用竖式.
对点例题解析
【例题1】选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（ ）
A．运用多项式乘多项式法则
B．运用平方差公式
C．运用单项式乘多项式法则
D．运用完全平方公式
【例题2】计算：a3÷a＝
．
【例题3】下列运算正确的是（ ）
A．a2?a4＝a8
B．a6÷a3＝a2
C．（ab）2＝a2b2
D．（
a4）2＝a6
【例题4】
中国青年科学家李栋首创的新型超分辨成像技术，使显微镜的分辨率达到0.000000097m．其中数据0.000000097用科学记数法表示是（ ）
A．0.97×10﹣7
B．9.7×10﹣8
C．0.97×107
D．9.7×108
达标训练题
一、选择题
1．计算a?a2的结果是（ ）
A．a3
B．a2
C．3a
D．2a2
2．下列运算正确的是（ ）
A．a?a3＝a3
B．（2a）3＝6a3
C．a6÷a3＝a2
D．（a2）3﹣（﹣a3）2＝0
3．下列计算正确的是（ ）
A．a2?a3＝a6
B．a8÷a2＝a4
C．a2+a2＝2a2
D．（a+3）2＝a2+9
4.下列运算正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
5.下列计算正确的是（ ）
A．2a?3a=6a
B．（﹣a3）2=a6
C．6a÷2a=3a
D．（﹣2a）3=﹣6a3
6.已知多项式x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3
B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3
D．a=2，b=﹣3
4．下列计算正确的是（ ）
A．x2?x3=x5
B．x6+x6=x12
C．（x2）3=x5
D．x﹣1=x
5．下列运算正确的是（ ）
A．﹣2（a+b）=﹣2a+2b
B．（a2）3=a5
C．a3+4a=a3
D．3a2?2a3=6a5
6．计算a?a5﹣（2a3）2的结果为（ ）
A．a6﹣2a5
B．﹣a6
C．a6﹣4a5
D．﹣3a6
7.
下列计算正确的是(
)
A．（a4）3=a7
B．3（a﹣2b）=3a﹣2b
C．a4+a4=a8
D．a5÷a3=a2
8.
下列运算正确的是（
）
A．x4?x3=x12
B．（x3）4=x81
C．x4÷x3=x（x≠0）
D．x4+x3=x7
D．x4和x3不是同类项，不可合并，故本选项错误。故选C。
9．计算（2x2﹣4）（2x﹣1﹣x）的结果，与下列哪一个式子相同？（ ）
A．﹣x2+2
B．x3+4
C．x3﹣4x+4
D．x3﹣2x2﹣2x+4
二、填空题
10.计算a3?a的结果是
．
11.若3x2nym与x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n=
．
12．若am=2，an=8，则am+n=
．
13.计算（ab）3=
．
三、解答题
14.已知x2-4x-1=0，求多项式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.
15．已知，，求代数式的值．
16．已知、、满足，，求的值．
17．已知是正整数，且是质数，求的值．
18．已知是的一个因式，求的值．
19.计算：（x﹣1）（x+1）﹣x（x﹣1）．
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