中小学教育资源及组卷应用平台
专题14.2
乘法公式
知识点解读
1.平方差公式：
2.完全平方公式：；
对点例题解析
【例题1】若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为
．
【答案】4
【解析】由a＝b+2，可得a﹣b＝2，代入所求代数式即可．
∵a＝b+2，
∴a﹣b＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝22＝4．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
【例题2】运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（
）
A．x2＋9
B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9
D．x2＋3x＋9
【答案】C
【解析】运用完全平方公式，(x＋3)2＝x2＋2×3x＋32＝x2＋6x＋9．
【例题3】下列计算正确的是(
)
A.3a＋4b＝7ab
B.(ab3)3＝ab6
C.(a＋2)2＝a2＋4
D.x12÷x6＝x6
【答案】D.
【解析】3a与4b不是同类项，不能合并，故A选项错误；
(ab3)3＝a
3b9，故B选项错误；
(a＋2)2＝a2＋4a＋4,
故C选项错误；
x12÷x6＝x12－6＝x6,
故选D.
点拨：掌握幂的运算性质和乘法公式是解题关键，它们分别是：
1.同底数幂相乘：am·an＝am＋n(m,n都是整数）；
2.幂的乘方(am)n＝amn(m,n都是整数）；
3.积的乘方：（ab)n＝anbn(n是整数）；
4.同底数幂相除：am÷an＝am－n(m,n都是整数，a≠0).
5.平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；
6.完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2,
【例题4】将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为
．
【答案】（x+2）2+1．
【解析】此题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键．
直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案．
x2+4x+5
=x2+4x+4+1
=（x+2）2+1．
达标训练题
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2
B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
D．（x﹣1）2=x2﹣1
【答案】C
【解析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案．
A．（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；
B．（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；
D．（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误.
二、填空题
2.
已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为
．
【答案】2
【解析】整式的混合运算—化简求值．先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
原式=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4
=x2+x﹣3，
因为x2+x﹣5=0，
所以x2+x=5，
所以原式=5﹣3=2．
3．如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是
．
【答案】1
【解析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值。
∵x2+mx+1=（x±1）2=（x+n）2，
∴m=±2，n=±1，
∵m＞0，
∴m=2，
∴n=1
4.观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
......
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=
．
【答案】a2017﹣b2017
【解析】考点是平方差公式；多项式乘多项式．根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；
…
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，
三、解答题
5.当a=3，b=﹣1时，求下列代数式的值．
（1）（a+b）（a﹣b）；
（2）a2+2ab+b2．
【答案】（1）8
（2）4
【解析】（1）把a与b的值代入计算即可求出值。
当a=3，b=﹣1时，原式=2×4=8；
（2）原式利用完全平方公式变形，将a与b的值代入计算即可求出值．
当a=3，b=﹣1时，原式=（a+b）2=22=4．
6．已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
【答案】0
【解析】首先利用平方差公式和完全平方公式计算，进一步合并，最后代入求得答案即可．
（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2
=x2﹣4xy+4y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2
=﹣4xy+3y2
=﹣y（4x﹣3y）．
∵4x=3y，
∴原式=0．
7．已知，，求的值。
【答案】2
【解析】∵
∴=
∵，
∴=
8．已知，，求的值。
【答案】56
【解析】∵
∴
∴=
∵，
∴
9.已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
【答案】0
【解析】此题可用完全平方公式的变形得解。
a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2
（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0
10.已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。
【答案】56
【解析】此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。
因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，
所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。
11.判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？
【答案】6
【解析】此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。
（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1
=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1
=24096
=161024
因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。
12．计算a4b3ca4b3c
【答案】a26ac9c216b2
【解析】原式a3c4ba3c4ba3c24b2a26ac9c216b2
13.已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。
【答案】见解析。
【解析】在公式ab2a2b22ab中，如果把ab，a2b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。
∵a2b213，ab6
ab2a2b22ab132625
ab2a2b22ab13261
14.计算(-2x2-5)(2x2-5)
【答案】25-4x4
【解析】本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．
原式=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．
15.计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．
【答案】-8ab+12ac．
【解析】若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．
原式=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题14.2
乘法公式
知识点解读
1.平方差公式：
2.完全平方公式：；
对点例题解析
【例题1】若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为
．
【例题2】运用乘法公式计算(x＋3)2的结果是（
）
A．x2＋9
B．x2－6x＋9
C．x2＋6x＋9
D．x2＋3x＋9
【例题3】下列计算正确的是(
)
A.3a＋4b＝7ab
B.(ab3)3＝ab6
C.(a＋2)2＝a2＋4
D.x12÷x6＝x6
【例题4】将二次三项式x2+4x+5化成（x+p）2+q的形式应为
．
达标训练题
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ）
A．（x+y）2=x2+y2
B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1
D．（x﹣1）2=x2﹣1
二、填空题
2.
已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为
．
3．如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是
．
4.观察下列各式的规律：
（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4
......
可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=
．
三、解答题
5.当a=3，b=﹣1时，求下列代数式的值．
（1）（a+b）（a﹣b）；
（2）a2+2ab+b2．
6．已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．
7．已知，，求的值。
8．已知，，求的值。
9.已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
10.已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。
11.判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？
12．计算a4b3ca4b3c
13.已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。
14.计算(-2x2-5)(2x2-5)
15.计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
