中小学教育资源及组卷应用平台
专题14.3
因式分解
知识点解读
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.
2.因式分解方法
（1）提公因式法：找出最大公因式.
（2）公式法：
①平方差公式：
②完全平方公式：
3.分解因式的一般步骤
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
对点例题解析
【例题1】因式分解：ab﹣a＝
．
【答案】a（b﹣1）．
【解析】提公因式a即可．
ab﹣a＝a（b﹣1）．
【点拨】本题考查了提取公因式法因式分解．关键是求出多项式里各项的公因式，提公因式．
【例题2】把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1）
B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2
D．（2a+1）2
【答案】B
【解析】如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），
【点拨】本题考查了分解因式，熟练运用平方差公式是解题的关键。
【例题3】分解因式3x2﹣27y2＝
．
【答案】3（x+3y）（x﹣3y）
【解析】原式提取3，再利用平方差公式分解即可．
原式＝3（x2﹣9y2）＝3（x+3y）（x﹣3y），
【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
【例题4】分解因式：xy2﹣2xy+x＝
．
【答案】x（y﹣1）2．
【解析】xy2﹣2xy+x，
＝x（y2﹣2y+1），
＝x（y﹣1）2．
【点拨】提取公因式和完全平方公式结合。
【例题5】因式分解：x2﹣9＝
．
【答案】（x+3）（x﹣3）．
【解析】原式利用平方差公式分解即可．
原式＝（x+3）（x﹣3）
【点拨】直接利用公式。
【例题6】分解因式：ax2﹣4a＝
．
【答案】a（x+2）（x﹣2）．
【解析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
ax2﹣4a，
＝a（x2﹣4），
＝a（x+2）（x﹣2）．
【点拨】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
达标训练题
一、选择题
1.a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为(
)
A．a2b（a2﹣6a+9）
B．a2b（a﹣3）（a+3）
C．b（a2﹣3）2
D．a2b（a﹣3）2
【答案】D
【解析】提公因式法与公式法的因式分解。要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，
a4b﹣6a3b+9a2b=a2b（a2﹣6a+9）=a2b（a﹣3）2。故选D。
2.把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2
B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3）
D．（x+9）（x﹣9）
【答案】A
【解析】原式利用完全平方公式分解即可．
x2﹣6x+9=（x﹣3）2
3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（ ）
A．0
B．10
C．12
D．22
【答案】C
【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．
利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，
可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．
∴a=﹣5，b=11，c=6，
则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．
4．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（ ）
A．2x+19
B．2x﹣19
C．2x+15
D．2x﹣15
【答案】A
【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．
∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），
∴乙为x﹣2，
∴甲为x+2，丙为x+17，
∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．
5．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．2a（4a2﹣4a+1）
B．8a2（a﹣1）
C．2a（2a﹣1）2
D．2a（2a+1）2
【答案】C
【解析】首先提取公因式2a，进而利用完全平方公式分解因式即可．
8a3﹣8a2+2a
=2a（4a2﹣4a+1）
=2a（2a﹣1）2．
6．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（ ）
A．0
B．10
C．12
D．22
【答案】C
【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识．注意ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解：这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）．
首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，继而求得a，b，c的值．
利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，
可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．
∴a=﹣5，b=11，c=6，
则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．
7．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（ ）
A．2x+19
B．2x﹣19
C．2x+15
D．2x﹣15
【答案】A
【解析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解．
∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），
∴乙为x﹣2，
∴甲为x+2，丙为x+17，
∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．
8．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3
B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3
D．a=2，b=﹣3
【答案】B
【解析】本题考查了多项式的乘法，解题的关键是熟练运用运算法则．因式分解的应用．运用多项式乘以多项式的法则求出（x+1）（x﹣3）的值，对比系数可以得到a，b的值．
∵（x+1）（x﹣3）=x?x﹣x?3+1?x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2，b=﹣3．
9.分解因式：16﹣x2=（ ）
A．（4﹣x）（4+x）
B．（x﹣4）（x+4）
C．（8+x）（8﹣x）
D．（4﹣x）2
【答案】A
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
16﹣x2=（4﹣x）（4+x）．
10.
将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1
B．a2+a
C．a2+a﹣2
D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
【答案】C
【解析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果．
∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），
a2+a=a（a+1），
a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），
（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，
∴结果中不含有因式a+1的是选项C。
二、填空题
11．分解因式：1﹣x2＝
．
【答案】（1+x）（1﹣x）．
【解析】分解因式1﹣x2中，可知是2项式，没有公因式，用平方差公式分解即可．
解：1﹣x2＝（1+x）（1﹣x）．
【点拨】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
12.分解因式：3a2b+6ab2=
．
【答案】3ab（a+2b）。
【解析】观察可得此题的公因式为：3ab，提取公因式即可求得答案：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）。
13.分解因式x3－9x=
【答案】。
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，
。
14.已知实数x
满足，则的值为
_.
【答案】7
【解析】∵，∴
15.因式分解：a2﹣6a+9=
．
【答案】（a﹣3）2．
【解析】本题是一个二次三项式，且a2和9分别是a和3的平方，6a是它们二者积的两倍，符合完全平方公式的结构特点，因此可用完全平方公式进行因式分解．
a2﹣6a+9=（a﹣3）2．
16.分解因式：2x2﹣8y2=
．
【答案】2（x+2y）（x﹣2y）．
【解析】观察原式2x2﹣8y2，找到公因式2，提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式，所以利用平方差公式继续分解可得．
2x2﹣8y2=2（x2﹣4y2）=2（x+2y）（x﹣2y）．
17.
因式分解：
．
【答案】。
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，
18.
分解因式：＝
.
【答案】（x－1）（x＋2）。
【解析】十字相乘法因式分解。因为（－1）×2=－2，2－1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可：x2＋x－2=（x－1）（x＋2）。
19.
分解因式．4x2—9=
.
【答案】。
【解析】直接应用平方差公式即可：。
20.
分解因式：a3b－ab＝
．
【答案】。
【解析】提公因式法和应用公式法因式分解。
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式。因此，
21.
分解因式：ax2﹣ay2=
．
【答案】a（x+y）（x﹣y）．
【解析】应先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
ax2﹣ay2，
=a（x2﹣y2），
=a（x+y）（x﹣y）．
22.
分解因式：a3－16a＝_____________.
【答案】a(a＋4)(a－4).
【解析】先提取公因式，再运用平方差公式分解：a3－16a＝a(a2－16)＝a(a＋4)(a－4).
23.把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是
．
【答案】a（3a+b）（3a﹣b）．
【解析】首先提取公因式9a，进而利用平方差公式法分解因式得出即可．
9a3﹣ab2=a（9a2﹣b2）=a（3a+b）（3a﹣b）．
24..把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是
．
【答案】a（x+a）2
【解析】首先提取公因式a，然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可．
ax2+2a2x+a3
=a（x2+2ax+a2）
=a（x+a）2
25．分解因式3m4﹣48=
．
【答案】3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
【解析】先提取公因式，再利用平方差公式把原式进行因式分解即可．
3m4﹣48=3（m4﹣42）
=3（m2+4）（m2﹣4）
=3（m2+4）（m+2）（m﹣2）．
26．分解因式：ab4﹣4ab3+4ab2=
．
【答案】ab2（b﹣2）2．
【解析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．
ab4﹣4ab3+4ab2
=ab2（b2﹣4b+4）
=ab2（b﹣2）2．
27．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m=
．
【答案】（m+3）（m﹣3）．
【解析】先利用多项式的乘法运算法则展开，合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可．
（m+1）（m﹣9）+8m，
=m2﹣9m+m﹣9+8m，
=m2﹣9，
=（m+3）（m﹣3）．
28.将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是
．
【答案】m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．
【解析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可．
原式=m（x﹣2）（m2﹣1）
=m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）．
三、解答题
29.已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
【答案】18
【解析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．先提取公因式ab，再根据完全平方公式进行二次分解，然后代入数据进行计算即可得解．
a3b+2a2b2+ab3
=ab（a2+2ab+b2）
=ab（a+b）2，
将a+b=3，ab=2代入得，ab（a+b）2=2×32=18．
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题14.3
因式分解
知识点解读
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.
2.因式分解方法
（1）提公因式法：找出最大公因式.
（2）公式法：
①平方差公式：
②完全平方公式：
3.分解因式的一般步骤
若有公因式，先提公因式；然后再考虑用公式法（平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b),完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2）或其它方法分解；直到每个因式都不能再分解为止.
对点例题解析
【例题1】因式分解：ab﹣a＝
．
【例题2】把多项式4a2﹣1分解因式，结果正确的是（ ）
A．（4a+1）（4a﹣1）
B．（2a+1）（2a﹣1）
C．（2a﹣1）2
D．（2a+1）2
【例题3】分解因式3x2﹣27y2＝
．
【例题4】分解因式：xy2﹣2xy+x＝
．
【例题5】因式分解：x2﹣9＝
．
【例题6】分解因式：ax2﹣4a＝
．
达标训练题
一、选择题
1.a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为(
)
A．a2b（a2﹣6a+9）
B．a2b（a﹣3）（a+3）
C．b（a2﹣3）2
D．a2b（a﹣3）2
2.把多项式x2﹣6x+9分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2
B．（x﹣9）2
C．（x+3）（x﹣3）
D．（x+9）（x﹣9）
3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（ ）
A．0
B．10
C．12
D．22
4．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（ ）
A．2x+19
B．2x﹣19
C．2x+15
D．2x﹣15
5．把8a3﹣8a2+2a进行因式分解，结果正确的是（ ）
A．2a（4a2﹣4a+1）
B．8a2（a﹣1）
C．2a（2a﹣1）2
D．2a（2a+1）2
6．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（ ）
A．0
B．10
C．12
D．22
7．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（ ）
A．2x+19
B．2x﹣19
C．2x+15
D．2x﹣15
8．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3
B．a=﹣2，b=﹣3
C．a=﹣2，b=3
D．a=2，b=﹣3
9.分解因式：16﹣x2=（ ）
A．（4﹣x）（4+x）
B．（x﹣4）（x+4）
C．（8+x）（8﹣x）
D．（4﹣x）2
10.
将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（ ）
A．a2﹣1
B．a2+a
C．a2+a﹣2
D．（a+2）2﹣2（a+2）+1
二、填空题
11．分解因式：1﹣x2＝
．
12.分解因式：3a2b+6ab2=
．
13.分解因式x3－9x=
14.已知实数x
满足，则的值为
_.
15.因式分解：a2﹣6a+9=
．
16.分解因式：2x2﹣8y2=
．
17.
因式分解：
．
18.
分解因式：＝
.
19.
分解因式．4x2—9=
.
20.
分解因式：a3b－ab＝
．
21.
分解因式：ax2﹣ay2=
．
22.
分解因式：a3－16a＝_____________.
23.把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是
．
24..把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是
．
25．分解因式3m4﹣48=
．
26．分解因式：ab4﹣4ab3+4ab2=
．
27．分解因式：（m+1）（m﹣9）+8m=
．
28.将m3（x﹣2）+m（2﹣x）分解因式的结果是
．
三、解答题
29.已知a+b=3，ab=2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
