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专题14.3
因式分解
知识点解读
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.
2.因式分解方法
(1)提公因式法:找出最大公因式.
(2)公式法:
①平方差公式:
②完全平方公式:
3.分解因式的一般步骤
若有公因式,先提公因式;然后再考虑用公式法(平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2)或其它方法分解;直到每个因式都不能再分解为止.
对点例题解析
【例题1】因式分解:ab﹣a=
.
【答案】a(b﹣1).
【解析】提公因式a即可.
ab﹣a=a(b﹣1).
【点拨】本题考查了提取公因式法因式分解.关键是求出多项式里各项的公因式,提公因式.
【例题2】把多项式4a2﹣1分解因式,结果正确的是( )
A.(4a+1)(4a﹣1)
B.(2a+1)(2a﹣1)
C.(2a﹣1)2
D.(2a+1)2
【答案】B
【解析】如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.平方差公式:a2﹣b2=(a+b)(a﹣b);完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2;
4a2﹣1=(2a+1)(2a﹣1),
【点拨】本题考查了分解因式,熟练运用平方差公式是解题的关键。
【例题3】分解因式3x2﹣27y2=
.
【答案】3(x+3y)(x﹣3y)
【解析】原式提取3,再利用平方差公式分解即可.
原式=3(x2﹣9y2)=3(x+3y)(x﹣3y),
【点拨】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
【例题4】分解因式:xy2﹣2xy+x=
.
【答案】x(y﹣1)2.
【解析】xy2﹣2xy+x,
=x(y2﹣2y+1),
=x(y﹣1)2.
【点拨】提取公因式和完全平方公式结合。
【例题5】因式分解:x2﹣9=
.
【答案】(x+3)(x﹣3).
【解析】原式利用平方差公式分解即可.
原式=(x+3)(x﹣3)
【点拨】直接利用公式。
【例题6】分解因式:ax2﹣4a=
.
【答案】a(x+2)(x﹣2).
【解析】先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
ax2﹣4a,
=a(x2﹣4),
=a(x+2)(x﹣2).
【点拨】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
达标训练题
一、选择题
1.a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为(
)
A.a2b(a2﹣6a+9)
B.a2b(a﹣3)(a+3)
C.b(a2﹣3)2
D.a2b(a﹣3)2
【答案】D
【解析】提公因式法与公式法的因式分解。要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式,若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,
a4b﹣6a3b+9a2b=a2b(a2﹣6a+9)=a2b(a﹣3)2。故选D。
2.把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是( )
A.(x﹣3)2
B.(x﹣9)2
C.(x+3)(x﹣3)
D.(x+9)(x﹣9)
【答案】A
【解析】原式利用完全平方公式分解即可.
x2﹣6x+9=(x﹣3)2
3.多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成(7x+a)(bx+c),其中a、b、c均为整数,求a+b+c之值为何?( )
A.0
B.10
C.12
D.22
【答案】C
【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解:这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解,继而求得a,b,c的值.
利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解,
可得:77x2﹣13x﹣30=(7x﹣5)(11x+6).
∴a=﹣5,b=11,c=6,
则a+b+c=(﹣5)+11+6=12.
4.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式,且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4,乙与丙相乘为x2+15x﹣34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?( )
A.2x+19
B.2x﹣19
C.2x+15
D.2x﹣15
【答案】A
【解析】根据平方差公式,十字相乘法分解因式,找到两个运算中相同的因式,即为乙,进一步确定甲与丙,再把甲与丙相加即可求解.
∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2),
x2+15x﹣34=(x+17)(x﹣2),
∴乙为x﹣2,
∴甲为x+2,丙为x+17,
∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19.
5.把8a3﹣8a2+2a进行因式分解,结果正确的是( )
A.2a(4a2﹣4a+1)
B.8a2(a﹣1)
C.2a(2a﹣1)2
D.2a(2a+1)2
【答案】C
【解析】首先提取公因式2a,进而利用完全平方公式分解因式即可.
8a3﹣8a2+2a
=2a(4a2﹣4a+1)
=2a(2a﹣1)2.
6.多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成(7x+a)(bx+c),其中a、b、c均为整数,求a+b+c之值为何?( )
A.0
B.10
C.12
D.22
【答案】C
【解析】此题考查了十字相乘法分解因式的知识.注意ax2+bx+c(a≠0)型的式子的因式分解:这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
首先利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解,继而求得a,b,c的值.
利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解,
可得:77x2﹣13x﹣30=(7x﹣5)(11x+6).
∴a=﹣5,b=11,c=6,
则a+b+c=(﹣5)+11+6=12.
7.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式,且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4,乙与丙相乘为x2+15x﹣34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?( )
A.2x+19
B.2x﹣19
C.2x+15
D.2x﹣15
【答案】A
【解析】根据平方差公式,十字相乘法分解因式,找到两个运算中相同的因式,即为乙,进一步确定甲与丙,再把甲与丙相加即可求解.
∵x2﹣4=(x+2)(x﹣2),
x2+15x﹣34=(x+17)(x﹣2),
∴乙为x﹣2,
∴甲为x+2,丙为x+17,
∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19.
8.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x﹣3)则a,b的值分别是( )
A.a=2,b=3
B.a=﹣2,b=﹣3
C.a=﹣2,b=3
D.a=2,b=﹣3
【答案】B
【解析】本题考查了多项式的乘法,解题的关键是熟练运用运算法则.因式分解的应用.运用多项式乘以多项式的法则求出(x+1)(x﹣3)的值,对比系数可以得到a,b的值.
∵(x+1)(x﹣3)=x?x﹣x?3+1?x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3
∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3
∴a=﹣2,b=﹣3.
9.分解因式:16﹣x2=( )
A.(4﹣x)(4+x)
B.(x﹣4)(x+4)
C.(8+x)(8﹣x)
D.(4﹣x)2
【答案】A
【解析】直接利用平方差公式分解因式得出答案.
16﹣x2=(4﹣x)(4+x).
10.
将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是( )
A.a2﹣1
B.a2+a
C.a2+a﹣2
D.(a+2)2﹣2(a+2)+1
【答案】C
【解析】先把各个多项式分解因式,即可得出结果.
∵a2﹣1=(a+1)(a﹣1),
a2+a=a(a+1),
a2+a﹣2=(a+2)(a﹣1),
(a+2)2﹣2(a+2)+1=(a+2﹣1)2=(a+1)2,
∴结果中不含有因式a+1的是选项C。
二、填空题
11.分解因式:1﹣x2=
.
【答案】(1+x)(1﹣x).
【解析】分解因式1﹣x2中,可知是2项式,没有公因式,用平方差公式分解即可.
解:1﹣x2=(1+x)(1﹣x).
【点拨】本题考查了因式分解﹣运用公式法,熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键.
12.分解因式:3a2b+6ab2=
.
【答案】3ab(a+2b)。
【解析】观察可得此题的公因式为:3ab,提取公因式即可求得答案:3a2b+6ab2=3ab(a+2b)。
13.分解因式x3-9x=
【答案】。
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式,若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,
。
14.已知实数x
满足,则的值为
_.
【答案】7
【解析】∵,∴
15.因式分解:a2﹣6a+9=
.
【答案】(a﹣3)2.
【解析】本题是一个二次三项式,且a2和9分别是a和3的平方,6a是它们二者积的两倍,符合完全平方公式的结构特点,因此可用完全平方公式进行因式分解.
a2﹣6a+9=(a﹣3)2.
16.分解因式:2x2﹣8y2=
.
【答案】2(x+2y)(x﹣2y).
【解析】观察原式2x2﹣8y2,找到公因式2,提出公因式后发现x2﹣4y2符合平方差公式,所以利用平方差公式继续分解可得.
2x2﹣8y2=2(x2﹣4y2)=2(x+2y)(x﹣2y).
17.
因式分解:
.
【答案】。
【解析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式,若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,
18.
分解因式:=
.
【答案】(x-1)(x+2)。
【解析】十字相乘法因式分解。因为(-1)×2=-2,2-1=1,所以利用十字相乘法分解因式即可:x2+x-2=(x-1)(x+2)。
19.
分解因式.4x2—9=
.
【答案】。
【解析】直接应用平方差公式即可:。
20.
分解因式:a3b-ab=
.
【答案】。
【解析】提公因式法和应用公式法因式分解。
要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式,若有公因式,则把它提取出来,之后再观察是否是完全平方式或平方差式,若是就考虑用公式法继续分解因式。因此,
21.
分解因式:ax2﹣ay2=
.
【答案】a(x+y)(x﹣y).
【解析】应先提取公因式a,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
ax2﹣ay2,
=a(x2﹣y2),
=a(x+y)(x﹣y).
22.
分解因式:a3-16a=_____________.
【答案】a(a+4)(a-4).
【解析】先提取公因式,再运用平方差公式分解:a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4).
23.把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是
.
【答案】a(3a+b)(3a﹣b).
【解析】首先提取公因式9a,进而利用平方差公式法分解因式得出即可.
9a3﹣ab2=a(9a2﹣b2)=a(3a+b)(3a﹣b).
24..把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是
.
【答案】a(x+a)2
【解析】首先提取公因式a,然后将二次三项式利用完全平方公式进行分解即可.
ax2+2a2x+a3
=a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2
25.分解因式3m4﹣48=
.
【答案】3(m2+4)(m+2)(m﹣2).
【解析】先提取公因式,再利用平方差公式把原式进行因式分解即可.
3m4﹣48=3(m4﹣42)
=3(m2+4)(m2﹣4)
=3(m2+4)(m+2)(m﹣2).
26.分解因式:ab4﹣4ab3+4ab2=
.
【答案】ab2(b﹣2)2.
【解析】此多项式有公因式,应先提取公因式,再对余下的多项式进行观察,有3项,可采用完全平方公式继续分解.
ab4﹣4ab3+4ab2
=ab2(b2﹣4b+4)
=ab2(b﹣2)2.
27.分解因式:(m+1)(m﹣9)+8m=
.
【答案】(m+3)(m﹣3).
【解析】先利用多项式的乘法运算法则展开,合并同类项后再利用平方差公式分解因式即可.
(m+1)(m﹣9)+8m,
=m2﹣9m+m﹣9+8m,
=m2﹣9,
=(m+3)(m﹣3).
28.将m3(x﹣2)+m(2﹣x)分解因式的结果是
.
【答案】m(x﹣2)(m﹣1)(m+1).
【解析】先提公因式,再利用平方差公式进行因式分解即可.
原式=m(x﹣2)(m2﹣1)
=m(x﹣2)(m﹣1)(m+1).
三、解答题
29.已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
【答案】18
【解析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.先提取公因式ab,再根据完全平方公式进行二次分解,然后代入数据进行计算即可得解.
a3b+2a2b2+ab3
=ab(a2+2ab+b2)
=ab(a+b)2,
将a+b=3,ab=2代入得,ab(a+b)2=2×32=18.
故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18.
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因式分解
知识点解读
1.因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.
2.因式分解方法
(1)提公因式法:找出最大公因式.
(2)公式法:
①平方差公式:
②完全平方公式:
3.分解因式的一般步骤
若有公因式,先提公因式;然后再考虑用公式法(平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),完全平方公式:a2±2ab+b2=(a±b)2)或其它方法分解;直到每个因式都不能再分解为止.
对点例题解析
【例题1】因式分解:ab﹣a=
.
【例题2】把多项式4a2﹣1分解因式,结果正确的是( )
A.(4a+1)(4a﹣1)
B.(2a+1)(2a﹣1)
C.(2a﹣1)2
D.(2a+1)2
【例题3】分解因式3x2﹣27y2=
.
【例题4】分解因式:xy2﹣2xy+x=
.
【例题5】因式分解:x2﹣9=
.
【例题6】分解因式:ax2﹣4a=
.
达标训练题
一、选择题
1.a4b﹣6a3b+9a2b分解因式得正确结果为(
)
A.a2b(a2﹣6a+9)
B.a2b(a﹣3)(a+3)
C.b(a2﹣3)2
D.a2b(a﹣3)2
2.把多项式x2﹣6x+9分解因式,结果正确的是( )
A.(x﹣3)2
B.(x﹣9)2
C.(x+3)(x﹣3)
D.(x+9)(x﹣9)
3.多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成(7x+a)(bx+c),其中a、b、c均为整数,求a+b+c之值为何?( )
A.0
B.10
C.12
D.22
4.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式,且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4,乙与丙相乘为x2+15x﹣34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?( )
A.2x+19
B.2x﹣19
C.2x+15
D.2x﹣15
5.把8a3﹣8a2+2a进行因式分解,结果正确的是( )
A.2a(4a2﹣4a+1)
B.8a2(a﹣1)
C.2a(2a﹣1)2
D.2a(2a+1)2
6.多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成(7x+a)(bx+c),其中a、b、c均为整数,求a+b+c之值为何?( )
A.0
B.10
C.12
D.22
7.已知甲、乙、丙均为x的一次多项式,且其一次项的系数皆为正整数.若甲与乙相乘为x2﹣4,乙与丙相乘为x2+15x﹣34,则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同?( )
A.2x+19
B.2x﹣19
C.2x+15
D.2x﹣15
8.把多项式x2+ax+b分解因式,得(x+1)(x﹣3)则a,b的值分别是( )
A.a=2,b=3
B.a=﹣2,b=﹣3
C.a=﹣2,b=3
D.a=2,b=﹣3
9.分解因式:16﹣x2=( )
A.(4﹣x)(4+x)
B.(x﹣4)(x+4)
C.(8+x)(8﹣x)
D.(4﹣x)2
10.
将下列多项式因式分解,结果中不含有因式a+1的是( )
A.a2﹣1
B.a2+a
C.a2+a﹣2
D.(a+2)2﹣2(a+2)+1
二、填空题
11.分解因式:1﹣x2=
.
12.分解因式:3a2b+6ab2=
.
13.分解因式x3-9x=
14.已知实数x
满足,则的值为
_.
15.因式分解:a2﹣6a+9=
.
16.分解因式:2x2﹣8y2=
.
17.
因式分解:
.
18.
分解因式:=
.
19.
分解因式.4x2—9=
.
20.
分解因式:a3b-ab=
.
21.
分解因式:ax2﹣ay2=
.
22.
分解因式:a3-16a=_____________.
23.把多项式9a3﹣ab2分解因式的结果是
.
24..把多项式ax2+2a2x+a3分解因式的结果是
.
25.分解因式3m4﹣48=
.
26.分解因式:ab4﹣4ab3+4ab2=
.
27.分解因式:(m+1)(m﹣9)+8m=
.
28.将m3(x﹣2)+m(2﹣x)分解因式的结果是
.
三、解答题
29.已知a+b=3,ab=2,求代数式a3b+2a2b2+ab3的值.
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