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专题15.1
分式
知识点解读
1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
对点例题解析
【例题1】若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1
B．x＝3
C．x≠﹣1
D．x≠3
【例题2】若分式的值为0，则x的值是
．
【例题3】从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共可以构成________个分式．
【例题4】将两个分式通分
达标训练题
一、选择题
1．在，，，2m，，中，不是分式的式子有( )个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2.下列各式与相等的是(
)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
3.若分式有意义，则a的取值范围是
．
4.当x=
时，函数的值为零．
5．要使分式有意义，则x的取值范围是
．
三、解答题
6.在学完分式的基本性质后，王老师让同桌之间交流一下，看看对这部分知识的理解情况，下面是两位同学的对话：
小亮说：“”，
小红说：“”。
它们互相批评对方不对，于是请邻座小华评判，她说他们两人都对。聪明的同学们，请你们给判断一下他们三人谁对谁错。
7.已知分式的值为0，求a的值及b的取值范围．
8.下列分式的变形是否正确，为什么？
（1）
（2）
9.写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1）
（2）
10.不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.
（1）
（2）
11.不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.
12.已知不论取什么数时，分式（）都是一个定值，求、应满足的关系式，并求出这个定值.
13.不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．
14.判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15.化简下列各分式：
（1）
（2）
16．已知＝＝≠0，求的值．
17．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求＋＋的值．
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（共
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专题15.1
分式
知识点解读
1.分式：形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.
2.分式有意义的条件：分母不等于0.
3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.
4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.
5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.
6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式.
对点例题解析
【例题1】若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＝﹣1
B．x＝3
C．x≠﹣1
D．x≠3
【答案】D
【解析】分式有意义的条件是分母不为0．
∵代数式有意义，
∴x﹣3≠0，
∴x≠3．
【点拨】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为0是分式有意义的条件．
【例题2】若分式的值为0，则x的值是
．
【答案】2
【解析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．
∵分式的值为0，
∴x2﹣2x＝0，且x≠0，
解得：x＝2．
【点拨】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．
【例题3】从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共可以构成________个分式．
【答案】6
【解析】以a－1为分母，可构成3个分式；以x2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．
【例题4】将两个分式通分
【答案】见解析。
【解析】
达标训练题
一、选择题
1．在，，，2m，，中，不是分式的式子有( )个．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】形如，是整式，中含有字母且不等于0的整式叫做分式.其中叫做分式的分子，叫做分式的分母.
，2m，不是分式．
2.下列各式与相等的是(
)
A.
;
B.
;
C.
D.
【答案】C
【解析】
分式的基本性质是一切分式运算的基础,分子与分母只能同乘以(或除以)同一个不等于零的整式,而不能同时加上(或减去)同一个整式.
根据分式的基本性质易发现C成立.
二、填空题
3.若分式有意义，则a的取值范围是
．
【答案】a≠﹣1．
【解析】∵分式有意义，
∴a+1≠0，解得a≠﹣1．
【点拨】先根据分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
4.当x=
时，函数的值为零．
【答案】﹣2。
【解析】令，
去分母得，3x2﹣12=0，移项系数化为1得，x2=4，解得x=2或x=﹣2。
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的解；当x=﹣2时，x﹣2≠0。
∴x=﹣2是原方程的解。
∴当x=﹣2时，函数的值为零。
5．要使分式有意义，则x的取值范围是
．
【答案】x≠﹣1．
【解析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
∵分式有意义，
∴x+1≠0，即x≠﹣1
【点拨】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
三、解答题
6.在学完分式的基本性质后，王老师让同桌之间交流一下，看看对这部分知识的理解情况，下面是两位同学的对话：
小亮说：“”，
小红说：“”。
它们互相批评对方不对，于是请邻座小华评判，她说他们两人都对。聪明的同学们，请你们给判断一下他们三人谁对谁错。
【答案】见解析。
【解析】他们三人中小红说的对，小亮和小华说的不对。小亮认为正确，是在分式的分子、分母上同时乘，但他忽略了限制条件，缺少这一条件，该等式不成立；而小红认为正确，是在分式的分子、分母上同时除以，尽管题中没有写明条件，但这一条件实际隐含于分式有意义中，所以不用特别指出。因此他们三人中，小红说得对，小华和小亮说得不对。
7.已知分式的值为0，求a的值及b的取值范围．
【答案】a＝1且b≠±1.
【解析】因为分式的值为0，所以a－1＝0且a2－b2≠0.解得a＝1且b≠±1.
8.下列分式的变形是否正确，为什么？
（1）
（2）
【答案】见解析。
【解析】（1）∵已知分式中已隐含了，∴用分别乘以分式的分子、分母，分式的值不变，故（1）是正确的.
（2）因为已知分式中，没限制，可以取任意数，当然也包括了，当分式的分子、分母都乘以时，分式没意义，故（2）是错误的.
9.写出下列等式中的未知分子或未知分母。
（1）
（2）
【答案】见解析。
【解析】（1）式中等号两边的分母都是已知的，所以从观察分母入手，显然，是由乘以得到的，由分式的基本性质，也要乘以，所以括号内应填
即
（2）式中等号两边分子都已知，所以先观察分子，除以得到右边分子，按照分式的基本性质，，故括号内应填
即
10.不改变分式的值，将下列各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数.
（1）
（2）
【答案】见解析。
【解析】要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数，可根据分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数，怎样确定这个数呢？
（1）中分子、分母中的各项系数是小数，这个数应是各项系数的最小公倍数.
原式
（2）中分子、分母中各项系数()是分数，这个数应该是各项系数的分母的最小公倍数，即5，2，4，3的最小公倍数60.
原式
11.不改变分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数.
【答案】见解析。
【解析】式中分子要变号，分母也要变号，所以应该同时改变分子、分母的符号.
12.已知不论取什么数时，分式（）都是一个定值，求、应满足的关系式，并求出这个定值.
【答案】见解析。
【解析】在研究某些有关特值的数学问题时，我们可以不考虑一般值，而是直接利用取符合条件特殊值代入研究解决，这就是所谓的特殊值法.
当时，
时，
∵不论取什么实数，是一个定值
∴，∴
∵
∴
把代入原式，得
∴、的关系为；定值为
13.不改变分式的值，使分式的分子、分母中的多项式的系数都是整数．
【答案】见解析。
【解析】分式分子中各系数的最小公倍数是6，分母中各系数的最小公倍数是10，而10和6的小公倍数是30．于是可利用分式的基本性质：分子、分母同时乘以30．
14.判定下列分式的变形是不是约分变形，变形的结果是否正确，并说明理由：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】见解析。
【解析】约分变形的前提是分子、分母有公因式．
（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分，结果都是错误的．
（1）分式的分子和分母分别是一个整式，利用分式的基本性质，“除以一个整式”是对分子、分母的整体进行的．而只对分子和分母中的某一项进行，就违背了分式基本性质的使用前提，所以是错误的．
（2）分式的分母是个平方和的形式，不能分解．因此分子、分母没有公因式，它是最简分式．故此题的变形是毫无根据的．
（3）当分子、分母都是乘积的形式，才有约分的可能，而这里与是和的形式，因此不能进行约分．正确的结果解法是：
（4）此题是约分变形．因此分母化成的形式，与分子约去公因式可得．
15.化简下列各分式：
（1）
（2）
【答案】见解析。
【解析】当分式中分子或分母的系数为负时，处理负号是先要进行的；约分是实现化简分式的一种手段．通过约分将分式化成最简才是目的．而最简分式为分式间的进一步运算提供了便利条件；把分式的分子、分母因式分解是约分的需要，但也要根据分式的具体情况，而不可盲目进行分解．例如（2）题，分式已经是最简分式了，因此就没有必要将分子再继续分解了．化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式．因此对分子、分母是单项式时候，先分别化成与公因式的乘积形式；对多项式仍然要先分解因式．
（1）；
（2）。
16．已知＝＝≠0，求的值．
【答案】见解析。
【解析】设＝＝＝k(k≠0)，则x＝4k，y＝6k，z＝7k.
所以＝＝＝.
17．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求＋＋的值．
【答案】见解析。
【解析】由x＋y＋z＝0，xyz≠0可知，x，y，z必为两正一负或两负一正．
当x，y，z为两正一负时，不妨设x＞0，y＞0，z＜0，
则原式＝＋＋＝1＋1－1＝1；
当x，y，z为两负一正时，不妨设x＞0，y＜0，z＜0，
则原式＝＋＋＝1－1－1＝－1
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