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专题11.1
与三角形有关的线段
知识点解读
1.三角形的定义和分类
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（2）三角形的分类：
1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）
2.三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系.
3.三角形的高、中线与角平分线
（1）三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
1）三角形的高是线段；
2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
（2）三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
1）三角形的中线是线段；
2)三角形三条中线全在三角形内部；
3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC
(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)
.
1）三角形的角平分线是线段；
2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
4.三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
对点例题解析
【例题1】如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【例题2】下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm
B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm
D．4cm，5cm，6cm
【例题3】如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于
cm．
【例题4】如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．
（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠_____=∠_____=
1/2∠_____；
（2）因为AM是△ABC的中线，所以?______
=?______=
______；
（3）因为AH是△ABC的高，所以∠_____=∠_____=90°
达标训练题
一、选择题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4
B．5，6，12
C．5，7，2
D．6，8，10
2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm
B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm
D．3cm，3cm，4cm
3.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1
B．2
C．8
D．11
4.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可能为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
5.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A
B
C
D
6.
三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是(
)
7.
小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(
)
8．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
9．下列图形具有稳定性的是（ ）
A
B
C
D
10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm
B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm
D．6cm，7cm，14cm
11．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2
B．1，2，4
C．2，3，4
D．2，3，5
二、填空题
12．已知等腰三角形两边长是4cm和9cm，则它的周长是 ．
13.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.
14．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c= ．
三、解答题
16．如图所示．
(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；
(2)线段AE是哪些三角形的边?
(3)∠B是哪些三角形的角?
17.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
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专题11.1
与三角形有关的线段
知识点解读
1.三角形的定义和分类
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
（2）三角形的分类：
1）按照角分类有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
2）按照边分类有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形）
2.三角形三边的关系
定理：三角形任意两边的和大于第三边.
推论：三角形任意两边的差小于第三边.
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系.
3.三角形的高、中线与角平分线
（1）三角形的高。从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．
三角形的高的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
1）三角形的高是线段；
2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心；
3）三角形的三条高：
(ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部；
(ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点.
（2）三角形的中线。三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线．
三角形的中线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC.
1）三角形的中线是线段；
2)三角形三条中线全在三角形内部；
3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心；
4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形.
（3）三角形的角平分线。三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言：
如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC
(或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC)
.
1）三角形的角平分线是线段；
2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部；
3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心；
4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线.
4.三角形的稳定性
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
对点例题解析
【例题1】如图，图中直角三角形共有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C．
【解析】如图，图中直角三角形有Rt△ABD、Rt△BDC、Rt△ABC，共有3个。
【点拨】根据直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形，可作判断．
【例题2】下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm
B．1cm，2cm，3cm
C．3cm，4cm，5cm
D．4cm，5cm，6cm
【答案】B
【解析】看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可．
A.2+3＞4，能构成三角形，不合题意；
B.1+2＝3，不能构成三角形，符合题意；
C.4+3＞5，能构成三角形，不合题意；
D.4+5＞6，能构成三角形，不合题意．
【点拨】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数．
【例题3】如图，在△ABC中，D是AC的中点，且BD⊥AC，ED∥BC，ED交AB于点E，BC＝7cm，AC＝6cm，则△AED的周长等于
cm．
【答案】10
【解析】∵D是AC的中点，且BD⊥AC，
∴AB＝BC＝7cm，AD＝AC＝3cm，
∵ED∥BC，
∴AE＝BE＝AB＝3.5cm，ED＝BC＝3.5cm，
∴△AED的周长＝AE+ED+AD＝10cm．
【点拨】三角形的中线等于底边一半，这个是解题关键。
【例题4】如图，AD、AM、AH分别△ABC的角平分线、中线和高．
（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠_____=∠_____=
1/2∠_____；
（2）因为AM是△ABC的中线，所以?______
=?______=
______；
（3）因为AH是△ABC的高，所以∠_____=∠_____=90°
【答案】（1）BAD、CAD、BAC；（2）BM、CM、BC；（3）AHB、AHC．
【解析】（1）∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD=1/2∠BAC
（2）∵AM是△ABC的中线
∴BM=CM=1/2BC
（3）∵AH是△ABC的高，∴AH⊥BC
∴∠AHB=∠AHC=90°
【点拨】熟练掌握三角形角平分线、中线和高的定义，然后结合他们的特点进行答题。
达标训练题
一、选择题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．2，2，4
B．5，6，12
C．5，7，2
D．6，8，10
【答案】D
【解析】据三角形两边之和大于第三边可以判断各个选项中的三天线段是否能组成三角形，本题得以解决．
∵2+2＝4，∴2，2，4不能组成三角形，故选项A错误，
∵5+6＜12，∴5，6，12不能组成三角形，故选项B错误，
∵5+2＝7，∴5，7，2不能组成三角形，故选项C错误，
∵6+8＞10，∴6，8，10能组成三角形，故选项D正确，
【点拨】本题考查三角形三边关系，解答本题的关键是明确三角形两边之和大于第三边．
2．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm
B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，8cm
D．3cm，3cm，4cm
【答案】D．
【解析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．
A．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；
B．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；
C．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；
D．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．
3.已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（ ）
A．1
B．2
C．8
D．11
【答案】C．
【解析】根据三角形的三边关系可得7﹣3＜x＜7+3，再解即可．
设三角形第三边的长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，
4＜x＜10，
4.若a、b、c为△ABC的三边长，且满足|a﹣4|+=0，则c的值可能为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】A．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形三边关系及非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零；注意初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．
先根据非负数的性质，求出a、b的值，进一步根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，从而确定c的可能值；
∵|a﹣4|+=0，
∴a﹣4=0，a=4；b﹣2=0，b=2；
则4﹣2＜c＜4+2，
2＜c＜6，5符合条件。
5.如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
A
B
C
D
【答案】A．
【解析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．△ABC中BC边上的高的是A选项．
6.
三根木条的长度如图所示，能组成三角形的是(
)
【答案】D.
【解析】判断以三条线段为边能否构成三角形的简易方法是：①判断出较长的一边；②看较短的两边之和是否大于较长的一边，大于则能够成三角形，不大于则不能够成三角形．
要构成一个三角形．必须满足任意两边之和大于第三边．在运用时习惯于检查较短的两边之和是否大于第三边．A、B、C三个选项中，较短两边之和小于或等于第三边．故不能组成三角形．D选项中，2cm+3cm＞4cm．故能够组成三角形．
7.
小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别为4，9，12，如何求这个三角形的面积?”小明提示：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是(
)
【答案】C
【解析】三角形的高就是从三角形的顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．解答本题首先应找到最长边，再找到最长边所对的顶点．然后过这个顶点作最长边的垂线即得到三角形的高．
8．如图，在△ABC中有四条线段DE，BE，EF，FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是（ ）
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
【答案】B．
【解析】根据三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线逐一判断即可得．
根据三角形中线的定义知线段BE是△ABC的中线。
9．下列图形具有稳定性的是（ ）
A
B
C
D
【答案】A．
【解析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断．
10．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．4cm，5cm，9cm
B．8cm，8cm，15cm
C．5cm，5cm，10cm
D．6cm，7cm，14cm
【答案】B．
【解析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．
A．∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B．8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C．5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D．6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误。
11．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）
A．1，1，2
B．1，2，4
C．2，3，4
D．2，3，5
【答案】C．
【解析】根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
A．1+1=2，不满足三边关系，故错误；
B．1+2＜4，不满足三边关系，故错误；
C．2+3＞4，满足三边关系，故正确；
D．2+3=5，不满足三边关系，故错误．
二、填空题
12．已知等腰三角形两边长是4cm和9cm，则它的周长是 ．
【答案】22cm．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
题中没有指明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行分析．
当腰长为4cm时，4+4＜9cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为9cm时，符合三边关系，其周长为9+9+4=22cm．
故该三角形的周长为22cm．
13.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是_______.
【答案】
【解析】三角形的两边长分别是2和7,
则第三边长c的取值范围是│2-7│即514．已知三角形两边的长分别为1、5，第三边长为整数，则第三边的长为 ．
【答案】5
【解析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
根据三角形的三边关系，得
第三边＞4，而＜6．
又第三条边长为整数，
则第三边是5．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则c= ．
【答案】7．
【解析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
∵a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，
∴a﹣7=0，b﹣1=0，
解得a=7，b=1，
∵7﹣1=6，7+1=8，
∴6＜c＜8，
又∵c为奇数，
∴c=7
三、解答题
16．如图所示．
(1)图中共有多少个三角形?并把它们写出来；
(2)线段AE是哪些三角形的边?
(3)∠B是哪些三角形的角?
【答案】(1)图中共有6个三角形，它们是△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC．
(2)线段AE分别为△ABE，△ADE，△ACE的边．
(3)∠B分别为△ABD，△ABE，△ABC的角．
【解析】在(1)问中数三角形的个数时，应按一定规律去找，这样才会不重、不漏地找出所有的三角形；在(2)问中，突破口在于由三角形定义知，除了A、E再找一个第三点，使这点不在AE上，便可得到以AE为边的三角形；(3)问的突破口是∠B一定是以B为一个顶点组成的三角形中．
17.如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长．
【答案】AC的长为5cm．
【解析】根据题意，结合图形，有下列数量关系：①AD＝BD，②△BCD的周长比△ACD的周长大3．
依题意：△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵
CD为△ABC的AB边上的中线，
∴
AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵
BC＝8，∴
AC＝5．
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