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专题11.2
与三角形有关的角
知识点解读
1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
2.推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
3.三角形的面积
S=×ah
对点例题解析
【例题1】三角形的内角和等于（ ）
A．90°
B．180°
C．270°
D．360°
【答案】B．
【解析】根据三角形的内角和定理进行解答便可．
因为三角形的内角和等于180度，
【点拨】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟记“三角形的内角和等于180度“是解题的关键．
【例题2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35°
B．95°
C．85°
D．75°
【答案】C．
【解析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°
∴∠ACD=2∠ACE=120°
∵∠ACD=∠B+∠A
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°
【点拨】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
【例题3】如图，CD是△ABC的角平分线，CE是AB边上的高．若∠A＝30°，∠B＝70°，求∠DCE的度数．
【答案】20°.
【解析】∵∠A＝30°，∠B＝70°，∴∠ACB＝80°.
∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝40°.
∵CE是AB边上的高，
∴∠ECB＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，
∴∠DCE＝40°－20°＝20°.
【点拨】三角形的角平分线、高的特点，对于解决问题十分关键。
【例题4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE的度数；
(2)求∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数．若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝40°.
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°，∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°.
(3)能．
∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠BAC＝(180°－∠B－∠C)＝90°－(∠B＋∠C)，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B＋∠BAD，
∴∠BAD＝90°－∠B，
∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－(∠B＋∠C)－(90°－∠B)＝(∠B－∠C)，
∵∠B－∠C＝40°，
∴∠DAE＝×40°＝20°.
【点拨】本题是综合题，考查三角形角的平分线、三角形内角和定理以及探究能力。
达标训练题
一、选择题
1.在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（ ）
A.150°
B.135°
C.120°
D.
100°
【答案】B．
【解析】设这个内角为α，则与其相邻的外角为3α，根据邻补角的和等于180°列式进行计算即可得解．
设这个内角为α，则与其相邻的外角为3α，
所以，α+3α=180°，
解得α=45°，
3α=3×45°=135°．
2.在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
【答案】C．
【解析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理：三角形内角和是180°是解答此题的关键．
在△ABC中，根据三角形内角和是180度来求∠C的度数．
∵三角形的内角和是180°，
又∠A=95°，∠B=40°
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B
=180°﹣95°﹣40°=45°
3.如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A.59°
B.60°
C.56°
D.22°
【答案】A．
【解析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键．
根据高线的定义可得∠AEC=90°，然后根据∠C=70°，∠ABC=48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解。
∵BE为△ABC的高，
∴∠AEB=90°
∵∠C=70°，∠ABC=48°，
∴∠CAB=62°，
∵AF是角平分线，
∴∠1=∠CAB=31°，
在△AEF中，∠EFA=180°﹣31°﹣90°=59°．
∴∠3=∠EFA=59°
4.如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ）
A.70°
B.80°
C.65°
D.60°
【答案】A．
【解析】首先根据平行线的性质得出∠1=∠4=140°，进而得出∠5度数，再利用三角形内角和定理以及对顶角性质得出∠3的度数．
∵直线l1∥l2，∠1=140°，
∴∠1=∠4=140°，
∴∠5=180°﹣140°=40°，
∵∠2=70°，
∴∠6=180°﹣70°﹣40°=70°，
∵∠3=∠6，
∴∠3的度数是70°．
5.如图所示，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（ ）
A．100°
B．90°
C．80°
D．70°
【答案】C．
【解析】根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．
∵DE∥BC，∠AED=40°，
∴∠C=∠AED=40°，
∵∠B=60°，
∴∠A=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣40°﹣60°=80°．
6.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A.15°
B.25°
C.30°
D.10°
【答案】A．
【解析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键。
∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
7．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β
B．γ=α+2β
C．γ=α+β
D．γ=180°﹣α﹣β
【答案】A．
【解析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β
8．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
【答案】C．
【解析】根据三角形外角性质求出∠ACD，根据角平分线定义求出即可．
∵∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACD=∠A+∠B=100°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD=∠ACD=50°
9．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
【答案】C．
【解析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．
如图，
∵∠ACD=90°、∠F=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°
10．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（ ）
A．24°
B．59°
C．60°
D．69°
【答案】B．
【解析】根据三角形外角性质求出∠DBC，根据平行线的性质得出即可．
∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=59°，
∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°
二、填空题
11．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=
．
【答案】75°．
【解析】根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可；
∵∠CEA=60°，∠BAE=45°，
∴∠ADE=180°﹣∠CEA﹣∠BAE=75°，
∴∠BDC=∠ADE=75°
12．在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=
．
【答案】100°
【解析】直接利用三角形内角和定理进而得出答案．
∵在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，
∴∠C=180°﹣30°﹣50°=100°．
13.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．
【答案】110．
【解析】
∵a∥b，∠1=40°，
∴∠4=∠1=40°，
∴∠3=∠2+∠4=70°+40°=110°．
14.如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 度．
【答案】18
【解析】根据三角形内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义可求得∠BAE的度数，由三角形内角和定理可求得∠BAD的度数，从而不难求得∠DAE的度数．
∵△ABC中，∠B=70°，∠C=34°．
∴∠BAC=180°﹣（70°+34°）=76°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=38°．
∵Rt△ABD中，∠B=70°，
∴∠BAD=20°．
∴∠DAE=∠BAE﹣∠BAD=38°﹣20°=18°
15．直角三角形两锐角的平分线的夹角是
．
【答案】45°或135°．
【解析】作出图形，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC+∠BAC=90°，再根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC），然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AOE，即为两角平分线的夹角．
如图。
∠ABC+∠BAC=90°，
∵AD、BE分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，
∴∠OAB+∠OBA=（∠ABC+∠BAC）=45°，
∴∠AOE=∠OAB+∠OBA=45°，
∴∠AOB=135°
∴两锐角的平分线的夹角是45°或135°．
16．若P是△ABC内任一点，则∠BPC与∠A的大小关系是
．
【答案】∠BPC＞∠A．
【解析】如图，延长BP交AC于D．根据△PDC外角的性质知∠BPC＞PDC；根据△ABD外角的性质知∠PDC＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．
如图，延长BP交AC于D．
∵∠BPC＞PDC，∠PDC＞∠A，
∴∠BPC＞∠A．
17.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C=
°．
【答案】120．
【解析】∵∠CDE=150°，
∴∠CDB=180﹣∠CDE=30°，
又∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB=30°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠C=180°﹣60°=120°．
18.在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为
．
【答案】30°或150°或90°．.
【解析】①BC为腰，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴∠ACD=30°，
如图1，AD在△ABC内部时，顶角∠C=30°，
如图2，AD在△ABC外部时，顶角∠ACB=180°﹣30°=150°，
②BC为底，如图3，
∵AD⊥BC于点D，AD=BC，∴AD=BD=CD，∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°，
∴顶角∠BAC=90°，
综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°．
三、解答题
19.如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M．
【答案】42°
【解析】∵AB∥CD，∠C=80°，
∴∠MEB=∠C=80°．
又∵∠A=38°，
∴∠M=∠MEB﹣∠A=80°﹣38°=42°．
20.如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数．
【答案】143°．
【解析】本题考查了三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
连接AD并延长AD至点E，根据三角形的外角性质求出∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C，即可求出答案．
如图，连接AD并延长AD至点E，
∵∠BDE=∠BAE+∠B，∠CDE=∠CAD+∠C
∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠CAD+∠C+∠BAD+∠B=∠BAC+∠B+∠C
∵∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，
∴∠BDC=90°+21°+32°=143°．
21．如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
【答案】18°
【解析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数．
∵∠C=∠ABC=2∠A，
∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°，
∴∠A=36°．
则∠C=∠ABC=2∠A=72°．
又BD是AC边上的高，
则∠DBC=90°﹣∠C=18°．
22．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
【答案】见解析。
【解析】过点A作EF∥BC，利用EF∥BC，可得∠1=∠B，∠2=∠C，而∠1+∠2+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°．
证明：过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠B+∠C=180°，
即∠A+∠B+∠C=180°．
23．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数．
【答案】40°.
【解析】由折叠知，∠1＋∠2＋2(∠BED＋∠BDE)＝360°，
即80°＋2(∠BED＋∠BDE)＝360°，
所以∠BED＋∠BDE＝140°，
所以∠B＝180°－(∠BED＋∠BDE)＝180°－140°＝40°.
24.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数．
【答案】36°.
【解析】因为∠ABC＝∠C＝∠BDC，
所以∠A＝∠BDC－∠ABD＝∠BDC－∠ABC＝
∠BDC－∠BDC＝∠BDC＝∠C＝∠ABC，设∠A＝x°，列方程得x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，即∠A＝36°.
25.如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．
【答案】见解析。
【解析】在△ABC中，∠B=42°即已知∠A+∠1=180°﹣42°=138°，又∠A+10°=∠1可以求出∠A的大小，只要能得到∠A=64°，根据内错角相等，两直线平行，就可以证出结论．
证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠1=180°，∠B=42°，
∴∠A+∠1=138°
又∵∠A+10°=∠1
∴∠A+∠A+10°=138°
解得：∠A=64°．
∴∠A=∠ACD=64°
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
26.如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P= °；
（2）若∠A=90°，则∠P= °；
（3）若∠A=100°，则∠P= °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．
【答案】见解析。
【解析】若∠A=50°，则有∠ABC+∠ACB=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P的度数．利用角平分线的性质和三角形的外角性质可求出∠BCP=（∠A+∠ABC），∠CBP=（∠A+∠ACB）；再利用三角形内角和定理便可求出∠A与∠P的关系．
（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，
又∵∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，
∴，，
∴=115°，
∴∠P=65°．
同理得：（2）45°；
（3）40°
（4）∠P=90°﹣∠A．理由如下：
∵BP平分∠DBC，CP平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°﹣∠A．
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精品试卷·第
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专题11.2
与三角形有关的角
知识点解读
1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。
2.推论：
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。
3.三角形的面积
S=×ah
对点例题解析
【例题1】三角形的内角和等于（ ）
A．90°
B．180°
C．270°
D．360°
【例题2】如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35°
B．95°
C．85°
D．75°
【例题3】如图，CD是△ABC的角平分线，CE是AB边上的高．若∠A＝30°，∠B＝70°，求∠DCE的度数．
【例题4】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE的度数；
(2)求∠DAE的度数；
(3)探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE的度数．若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
达标训练题
一、选择题
1.在一个三角形中，一个外角是其相邻内角的3倍，那么这个外角是（ ）
A.150°
B.135°
C.120°
D.
100°
2.在△ABC中，若∠A=95°，∠B=40°，则∠C的度数为（ ）
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
3.如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A.59°
B.60°
C.56°
D.22°
4.如图，直线l1∥l2，若∠1=140°，∠2=70°，则∠3的度数是（ ）
A.70°
B.80°
C.65°
D.60°
5.如图所示，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（ ）
A．100°
B．90°
C．80°
D．70°
6.如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A.15°
B.25°
C.30°
D.10°
7．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．γ=2α+β
B．γ=α+2β
C．γ=α+β
D．γ=180°﹣α﹣β
8．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACD，若∠A=60°，∠B=40°，则∠ECD等于（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
9．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．85°
10．如图，点D在△ABC边AB的延长线上，DE∥BC．若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是（ ）
A．24°
B．59°
C．60°
D．69°
二、填空题
11．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边AB、CE相交于点D，则∠BDC=
．
12．在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，则∠C=
．
13.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=40°，∠2=70°，则∠3= 度．
14.如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=34°．则∠DAE的大小是 度．
15．直角三角形两锐角的平分线的夹角是
．
16．若P是△ABC内任一点，则∠BPC与∠A的大小关系是
．
17.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C=
°．
18.在等腰中，交直线于点，若，则的顶角的度数为
．
三、解答题
19.如图，AB∥CD，∠A=38°，∠C=80°，求∠M．
20.如图，∠A=90°，∠B=21°，∠C=32°，求∠BDC的度数．
21．如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．
22．已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．
23．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B′点重合，若∠1＋∠2＝80°，求∠B的度数．
24.如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C＝∠BDC，BD是∠ABC的平分线，求∠A的度数．
25.如图，∠B=42°，∠A+10°=∠1，∠ACD=64°，求证：AB∥CD．
26.如图，△ABC中，分别延长△ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P= °；
（2）若∠A=90°，则∠P= °；
（3）若∠A=100°，则∠P= °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．
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精品试卷·第
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