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专题11.3
多边形及其内角和
知识点解读
1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
8.多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
9.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n边形共有n(n-3)/2条对角线。
对点例题解析
【例题1】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【答案】B
【解析】360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形．
【点拨】利用多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都是36°，即可求出答案．
【例题2】若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是
．
【答案】5
【解析】设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5
【点拨】考查n边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，由此列方程求n．
【例题3】如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，求∠BOD的度数。
【答案】40°
【解析】延长BC交OD与点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°﹣220°=140°．
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=40°．
【点拨】延长BC交OD与点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠OBC+∠MCD+∠CDM=140°，再根据四边形的内角和为360°即可得出结论．
达标训练题
一、选择题
1．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45°
B．60°
C．72°
D．90°
【答案】C
【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．
2.一个十二边形的内角和等于（
）
A.2160°
B.2080°
C.1980°
D.1800°
【答案】D
【解析】多边形内角和公式为，其中为多边形的边的条数.∴十二边形内角和为，故选D。
3．六边形的内角和是（ ）
A．540°
B．720°
C．900°
D．1080°
【答案】B．
【解析】此题主要考查了多边形内角和公式，关键是熟练掌握计算公式：
（n﹣2）?180°（n≥3，且n为整数）
多边形内角和定理：n变形的内角和等于（n﹣2）×180°（n≥3，且n为整数），据此计算可得．
由内角和公式可得：（6﹣2）×180°=720°
4．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ）
A．360°
B．540°
C．630°
D．720°
【答案】C．
【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．
5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）
A．a＞b
B．a=b
C．a＜b
D．b=a+180°
【答案】B．
【解析】根据多边形的内角和定理与多边形外角的关系即可得出结论．
∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4﹣2）?180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
6．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D．
【解析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可．
360°÷（180°﹣140°）
=360°÷40°=9．
所以这个正多边形的边数是9．
7．内角和为540°的多边形是（ ）
A
B
C
D
【答案】C．
【解析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°列式进行计算即可求解．
设多边形的边数是n，则
（n﹣2）?180°=540°，
解得n=5．
8．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米
B．150米
C．160米
D．240米
【答案】B．
【解析】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°，求边数．
多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小明一共走了：15×10=150米．
9．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108°
B．90°
C．72°
D．60°
【答案】C．
【解析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180°（n﹣2）=540°，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．
设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
故这个正多边形的每一个外角等于：
360°/5=72°．
10.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
【答案】D．
【解析】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．
首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
11.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
【答案】D．
【解析】本题考查了多边形的内角与外角，能够得出一个矩形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键．
根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可．
①将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和为：180°+180°=360°
②将矩形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°
③将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：360°+360°=720°
12.若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7
B．10
C．35
D．70
【答案】C．
【解析】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．
由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入中即可得出结论．
∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144°n=180°×（n﹣2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是：
==35．
二、填空题
13．如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝
．
【答案】140°
【解析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：，
∴∠OAD＝．
14．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．
【答案】四
【解析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
根据题意，得（n﹣2）?180=360，
解得n=4，则它是四边形．
15.若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是________．
【答案】9．
【解析】∵一个多边形内角和等于1260°，
∴（n﹣2）×180°=1260°，
解得，n=9．
16.正八边形的一个内角的度数是_______度．
【答案】135．
【解析】首先根据多边形内角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n为正整数）求出内角和，然后再计算一个内角的度数．
正八边形的内角和为：（8﹣2）×180°=1080°，
每一个内角的度数为：×1080°=135°．
17.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=________度．
【答案】360．
【解析】由四边形内角和等于360°，可得∠A+∠B+∠C+∠D=360度．
三、解答题
18.一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数为．
【答案】6．
【解析】∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，
则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
19.求正十二边形每个内角的度数．
【答案】150°
【解析】正十二边形的每个外角的度数是：360°/12
=30°，
则每一个内角的度数是：180°﹣30°=150°．
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专题11.3
多边形及其内角和
知识点解读
1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面。
7.多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°
8.多边形的外角和：多边形的外角和为360°。
9.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。
（2）n边形共有n(n-3)/2条对角线。
对点例题解析
【例题1】已知正多边形的一个外角为36°，则该正多边形的边数为（ ）
A．12
B．10
C．8
D．6
【例题2】若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数是
．
【例题3】如图的七边形ABCDEFG中，AB、DE的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，求∠BOD的度数。
达标训练题
一、选择题
1．若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（ ）
A．45°
B．60°
C．72°
D．90°
2.一个十二边形的内角和等于（
）
A.2160°
B.2080°
C.1980°
D.1800°
3．六边形的内角和是（ ）
A．540°
B．720°
C．900°
D．1080°
4．如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（ ）
A．360°
B．540°
C．630°
D．720°
5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是（ ）
A．a＞b
B．a=b
C．a＜b
D．b=a+180°
6．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
7．内角和为540°的多边形是（ ）
A
B
C
D
8．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米
B．150米
C．160米
D．240米
9．一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．108°
B．90°
C．72°
D．60°
10.一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7
B．7或8
C．8或9
D．7或8或9
11.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360°
B．540°
C．720°
D．900°
12.若一个正n边形的每个内角为144°，则正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7
B．10
C．35
D．70
二、填空题
13．如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则∠OAD＝
．
14．一个凸多边形的内角和与外角和相等，它是______边形．
15.若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是________．
16.正八边形的一个内角的度数是_______度．
17.如图，∠A+∠B+∠C+∠D=________度．
三、解答题
18.一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数为．
19.求正十二边形每个内角的度数．
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