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专题23.3
课题学习
图案设计
知识点解读
1.掌握如何运用平移、旋转、轴对称分析图案的形成过程，利用这些图形变换组合进行图案设计。
2.灵活运用几种图形变换分析图案，关键是找基本图形和确定图像变换的类型，并能自主设计。
3.生活中很多美丽的图案和几何图形都有密切联系，复杂美丽的图案都是由简单图形按一定规律排列组合而成;
即使最简单的几何图案经过你的精心设计也会给人以赏心悦目的感觉。
对点例题解析
【例题1】如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
【答案】见解析。
【解析】（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形，答案如图所示；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形，答案如图所示。
【例题2】如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点一画出ABC,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形。
（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形。
（3）图③中所画的三角形与ABC的面积相等，但不全等。
(
图
①
图
②
图
③
)
【答案】（1）如图①；（2）如图②；（3）如图③。
(
图
①
图
②
图
③
)
【解析】（1）轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，故以AB所在直线为对称轴，可作如图①的图形，还可以作出如图④的图形。
（2）中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，故以AB的中点为对称中心，可作如图②的图形（平行四边形）。
（3）只要所作三角形与△ABC等底等高即可，可作如图③的图形，还可以作出如图⑤⑥的图形。
(
图
④
图
⑤
图
⑥
)
达标训练题
1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，
（1）∠ACB的大小为
（度）；
（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）
．
【答案】（1）90°（2）如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求。
【解析】（1）由网格图可知
AC=
BC=
AB=
∵AC2+BC2=AB2
∴由勾股定理逆定理，△ABC为直角三角形．
∴∠ACB=90°
（2）作图过程如下：
取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求
证明：连CF
∵AC，CF为正方形网格对角线
∴A、C、F共线
∴AF=5=AB
由图形可知：GC=，CF=2，
∵AC=，BC=
∴△ACB∽△GCF
∴∠GFC=∠B
∵AF=5=AB
∴当BC边绕点C逆时针选择∠CAB时，点B与点F重合，点C在射线FG上．
由作图可知T为AB中点
∴∠TCA=∠TAC
∴∠F+∠P′CF=∠B+∠TCA=∠B+∠TAC=90°
∴CP′⊥GF
此时，CP′最短
2．如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．
（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
（2）所画图形是
对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留π）．
【答案】见解析。
【解析】（1）点D→D1→D2→D经过的路径如图所示：
（2）观察图象可知图象是轴对称图形，
（3）周长=4×=8π．
3.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.
【答案】画图如下（画法很多）：
【解析】考点是利用轴对称设计图案。根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形即可。
4.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。
(1)
若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？
(2)
水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
【答案】（1）5千米。（2）9千米。
【解析】（1）作点B关于轴的对成点E，连接AE，则点E为（12，－7）。
设直线AE的函数关系式为，则
，解得
。
∴当=0时，
=5。
所以，水泵站建在距离大桥5千米的地方，可使所用输水管道最短。
（2）作线段AB的垂直平分线GF，交AB于点F，交轴于点G，设点G的坐标为（，0）。
在Rt△AGD中，AG2=AD2＋DG2=32＋(－2)2
在Rt△BCG中，BG2=BC2＋GC2=72＋(12－)2
∵AG=BG，
∴32＋(－2)2=72＋(12－)2
，
解得
=9。
所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等。
5.图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为，，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范围。
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意，得四边形ABCD是菱形.
∵EF∥BD，∴△ABD∽△AEF。
∴，即。
∴。
∴当时，。
（2）根据题意，得OE=OM，
如图，作OR⊥AB于R，
OB关于OR对称线段为OS，
1）当点E、M不重合时，则OE，OM在OR的两侧，易知RE=RM。
∵，∴
∴
由ML∥EK∥OB，得
∴，即
∴，此时的取值范围为且
2）当点E，M重合时，则，此时的取值范围为。
6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】见解析。
【解析】（1）如图1所示：
（2）如图2所示：
（3）找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P；如图3所示：点P坐标为（2，0）．
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图案设计
知识点解读
1.掌握如何运用平移、旋转、轴对称分析图案的形成过程，利用这些图形变换组合进行图案设计。
2.灵活运用几种图形变换分析图案，关键是找基本图形和确定图像变换的类型，并能自主设计。
3.生活中很多美丽的图案和几何图形都有密切联系，复杂美丽的图案都是由简单图形按一定规律排列组合而成;
即使最简单的几何图案经过你的精心设计也会给人以赏心悦目的感觉。
对点例题解析
【例题1】如图，下列4×4网格图都是由16个相同小正方形组成，每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影，请在空白小正方形中，按下列要求涂上阴影．
（1）在图1中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形；
（2）在图2中选取2个空白小正方形涂上阴影，使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形．
【例题2】如图所示，在7×6的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点一画出ABC,请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件：
（1）图①中所画的三角形与ABC组成的图形是轴对称图形。
（2）图②中所画的三角形与ABC组成的图形是中心对称图形。
（3）图③中所画的三角形与ABC的面积相等，但不全等。
(
图
①
图
②
图
③
)
达标训练题
1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，
（1）∠ACB的大小为
（度）；
（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′，当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）
．
2．如图是由边长为1的小正方形组成的8×4网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D均在格点上，在网格中将点D按下列步骤移动：
第一步：点D绕点A顺时针旋转180°得到点D1；
第二步：点D1绕点B顺时针旋转90°得到点D2；
第三步：点D2绕点C顺时针旋转90°回到点D．
（1）请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径；
（2）所画图形是
对称图形；
（3）求所画图形的周长（结果保留π）．
3.将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形.
4.去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱，某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水。经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为轴建立直角坐标系（如图）。两村的坐标分别为A（2，3），B（12，7）。
(1)
若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管道最短？
(2)
水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？
5.图形既关于点O中心对称，又关于直线AC，BD对称，AC=10，BD=6，已知点E，M是线段AB上的动点（不与端点重合），点O到EF，MN的距离分别为，，△OEF与△OGH组成的图形称为蝶形。
（1）求蝶形面积S的最大值；
（2）当以EH为直径的圆与以MQ为直径的圆重合时，求与满足的关系式，并求的取值范围。
6.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
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