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专题24.1
圆的有关性质
知识点解读
考点一：圆的相关概念
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2.圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
考点二：与圆有关的几个概念的定义
1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
2.直径：经过圆心的弦叫做直径（如途中的CD）。直径等于半径的2倍。
3.弧、优弧、劣弧：
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
（3）大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
考点三：垂径定理及其推论
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2.推论：
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
考点四：圆的对称性
1.圆的轴对称性。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2.圆的中心对称性。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六：圆周角定理及其推论
1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点七：圆内接多边形
1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做多边形的外接圆。
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
对点例题解析
【例题1】如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m
【答案】D
【解析】根据垂径定理得出EF⊥CD，则CF＝DF＝1，在Rt△COF中，有OC2＝CF2+OF2
进而可求得半径OC．
如图，连接OC，
∵F是弦CD的中点，EF过圆心O，
∴EF⊥CD．
∴CF＝FD．
∵CD＝2，
∴CF＝1，
设OC＝x，则OF＝3﹣x，
在Rt△COM中，根据勾股定理，得
12+（3﹣x）2＝x2．
解得
x＝，
∴⊙O的直径为．
【例题2】如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（ ）
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
【答案】B
【解析】连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°．
【点拨】根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【例题3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
【答案】30
【解析】先利用邻补角计算出∠BOC，然后根据圆周角定理得到∠CDB的度数．
∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDB＝∠BOC＝30°．
【点拨】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【例题4】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP＝1，AB＝4，则BC：AC等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，连接AO并延长交⊙O于点M，过点O作OD⊥BM于点D，过点A作AN⊥BC于点N，
∵AM是直径
∴∠ABM＝90°
∵OP⊥AB
∴AP＝PB＝AB＝2，且AO＝OM
∴BM＝2OP＝2
∴点M与点P关于BC对称，
∴∠CBA＝∠CBM＝45°
∵OD⊥BM，
∴BD＝DM＝1，且AO＝OM
∴OD＝AB＝2，
∵∠C＝∠M，
∴tan∠C＝tan∠M＝
∴设CN＝a，则AN＝2a，
∴AC＝＝a，
∵AN⊥BC，∠ABC＝45°
∴AN＝BN＝2a，
∴BC＝3a，
【点拨】连接AO并延长交⊙O于点M，过点O作OD⊥BM于点D，过点A作AN⊥BC于点N，由垂径定理和圆周角定理可得∠ABM＝90°，AP＝PB＝AB＝2，由三角形中位线可得BM＝2OP＝2，OD＝2，由锐角三角函数可得AN＝2CN，由勾股定理可求AC的长，由等腰三角形的性质可得BN＝AN，即可求解．
达标训练
一、选择题
1.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
【答案】B
【解析】过O作OC⊥AB于C，
∵OC过O，
∴AC=BC=AB=12，
在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
【答案】A
【解析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
解：∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，
∴这段弯路的半径为25m
【点拨】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
3.
如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B．
【解析】连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA==1/2
∴∠A=30°，
∴∠COE=60°，
∴=sin∠COE，即=，解得OC=，
∵AE⊥CD，
∴=，
∴===．故选B．
4．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A.
2∠C
B.
4∠B
C.
4∠A
D.
∠B+∠C
【答案】A
【解析】如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
5．如图，G为△ABC的重心．若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确？( )
A．BC＜AC
B．BC＞AC
C．AB＜AC
D．AB＞AC
【答案】D
【解析】G为△ABC的重心，则△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，根据三角形的面积公式即可判断．
∵G为△ABC的重心，
∴△ABG面积＝△BCG面积＝△ACG面积，
又∵GHa＝GHb＞GHc，
∴BC＝AC＜AB．故选D．
6.
如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A．15°
B．25°
C．30°
D．75°
【答案】C．
【解析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．
∵∠A=45°，∠AMD=75°，
∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，
∴∠B=∠C=30°，故选C．
二、填空题
1.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠AOB=
120°，则∠ACB= 度．
【答案】60
【解析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
2.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 cm．
【答案】2．
【解析】先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BCD=45°，再根据垂径定理得到BE=AB=，且△BOE为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
连结OB，如图，
∵∠BCD=22°30′，∴∠BOD=2∠BCD=45°，
∵AB⊥CD，
∴BE=AE=AB=×2=，△BOE为等腰直角三角形，
∴OB=BE=2（cm）．
3.如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是 。
【答案】14。
【解析】考点有轴对称（最短路线问题），勾股定理，垂径定理。
∵MN＝20，∴⊙O的半径＝10。
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，
∴OD＝＝＝8。
同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，
∴OC＝＝＝6。
∴CD＝8＋6＝14。
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，过点B′
作AC的垂线，交AC的延长线于点E。
在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，
∴AB′＝＝＝14。
4．等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为
．
【答案】30°或110°．
【解析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题；
如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP．
∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵AB=AB，AC=PB，BC=PA，
∴△ABC≌△BAP，
∴∠ABP=∠BAC=40°，
∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，
当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°，
∴∠P′BC=40°+70°=110°
5.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，
∠BAC=20°,BC
=2,以点C为圆心．CB为半径的圆交AB于点D．则BD的长为
．
【答案】
【解析】作CE⊥AB于E，在直角三角形中利用30°性质即可求出BE=，再根据垂径定理可以求出BD=
6.如图，△ABC内接于⊙0，AH⊥BC于点
日，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB
．
【答案】
【解析】首先作直径AE，连接CE，则AE=26，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，AB:AE=AH:AC，即可求得AB的值．
7.
如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为
．
【答案】3．
【解析】作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC===3，
即圆心O到AB的距离为3．
8．如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为______．
【答案】50°．
【解析】连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°．
9．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是
．
【答案】（8077，1）．
【解析】∵点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5，
∴Rt△OAB内切圆的半径＝＝1，
∴P的坐标为（1，1），
∵将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，
∴P3（3+5+4+1，1），即（13，1），
每滚动3次一个循环，
∵2019÷3＝673，
∴第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的横坐标是673×（3+5+4）+1，
即P2019的横坐标是8077，
∴P2019的坐标是（8077，1）
【点拨】由勾股定理得出AB＝＝5，得出Rt△OAB内切圆的半径＝＝1，因此P的坐标为（1，1），由题意得出P3的坐标（3+5+4+1，1），得出规律：每滚动3次一个循环，由2019÷3＝673，即可得出结果．
三、解答题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．求证：∠BAC＝2∠CAD
【答案】见解析
【解析】（1）∵AB＝AC，
∴＝，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠BAC＝2∠CAD；
【点拨】根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据圆心角、弧、弦的关系得到＝，即可得到∠ABC＝∠ADB，根据三角形内角和定理得到∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∠ADB＝90°﹣∠CAD，从而得到∠BAC＝∠CAD，即可证得结论。
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圆的有关性质
知识点解读
考点一：圆的相关概念
1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2.圆的几何表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”
考点二：与圆有关的几个概念的定义
1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。（如图中的AB）
2.直径：经过圆心的弦叫做直径（如途中的CD）。直径等于半径的2倍。
3.弧、优弧、劣弧：
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
（2）弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
（3）大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
4.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
考点三：垂径定理及其推论
1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
2.推论：
推论1：
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
考点四：圆的对称性
1.圆的轴对称性。圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2.圆的中心对称性。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
2.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理。
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六：圆周角定理及其推论
1.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2.圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
考点七：圆内接多边形
1.定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做多边形的外接圆。
2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补。
对点例题解析
【例题1】如图，某下水道的横截面是圆形的，水面CD的宽度为2m，F是线段CD的中点，EF经过圆心O交⊙O与点E，EF＝3m，则⊙O直径的长是（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m
【例题2】如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上，且∠ACB＝55°，则∠APB等于（ ）
A．55°
B．70°
C．110°
D．125°
【例题3】如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝ °．
【例题4】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，把沿BC折叠后，与弦AB交于点P，恰好OP⊥AB．若OP＝1，AB＝4，则BC：AC等于（ ）
A．
B．
C．
D．
达标训练题
一、选择题
1.如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（
）
A.6
B.5
C.4
D.3
2．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
3.
如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是（ ）
A.
B.
C.
D.
4．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A.
2∠C
B.
4∠B
C.
4∠A
D.
∠B+∠C
5．如图，G为△ABC的重心．若圆G分别与AC、BC相切，且与AB相交于两点，则关于△ABC三边长的大小关系，下列何者正确？( )
A．BC＜AC
B．BC＞AC
C．AB＜AC
D．AB＞AC
6.
如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A．15°
B．25°
C．30°
D．75°
二、填空题
1.如图，OA，OB是⊙O的半径，点C在⊙O上，连接AC，BC．若∠AOB=
120°，则∠ACB= 度．
2.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为 cm．
3.如图，MN为⊙O的直径，A、B是O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，则PA＋PB的最小值是 。
4．等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为
．
5.如图，在△ABC中，已知∠ACB=130°，
∠BAC=20°,BC
=2,以点C为圆心．CB为半径的圆交AB于点D．则BD的长为
．
6.如图，△ABC内接于⊙0，AH⊥BC于点
日，若AC=24，AH=18，⊙O的半径OC=13，则AB
．
7.
如图，在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为
．
8．如图，在△ABC中∠A=25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为______．
9．如图，把Rt△OAB置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（3，0），点P是Rt△OAB内切圆的圆心．将Rt△OAB沿x轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与x轴重合，第一次滚动后圆心为P1，第二次滚动后圆心为P2，…，依此规律，第2019次滚动后，Rt△OAB内切圆的圆心P2019的坐标是
．
三、解答题
1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．求证：∠BAC＝2∠CAD
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