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专题24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
知识点解读
考点一：点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dd=r点P在⊙O上；
d>r点P在⊙O外。
考点二：过三点的圆
1.过三点的圆。不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2.三角形的外接圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3.三角形的外心。三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4.圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）。圆内接四边形对角互补。
考点三：反证法
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
考点四：直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r。
考点五：切线的判定和性质
1.切线的判定定理。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质定理。圆的切线垂直于经过切点的半径。
考点六：切线长定理
1.切线长。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2.切线长定理。从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
考点七：三角形的内切圆
1.三角形的内切圆。与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2.三角形的内心。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
考点八：圆和圆的位置关系
1.圆和圆的位置关系
（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
（3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2.圆心距。两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3.圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r两圆内切d=R-r（R>r）
两圆内含dr）
4.两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
考点九：补充三个定理：如图甲乙丙所示。
甲
乙
丙
（1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图甲，即：PA·PB
=
PC·PD
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条
线段长的积相等。如图乙，即：PA·PB
=
PC·PD
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交
点的两条线段长的比例中项。如图丙，即：PC
2=
PA·PB
对点例题解析
【例题1】已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：
x＝，y＝．
如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（ ）
A．m2+n2＝9
B．（）2+（）2＝9
C．（2m+3）2+（2n）2＝3
D．（2m+3）2+4n2＝9
【例题2】如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（ ）
A．2
B．2
C．3
D．4
【例题3】如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．
【例题4】已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
【例题5】如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
达标训练题
1.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
3.已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE=OE；
（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
6．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
7．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
10．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．
（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）求证：OA2＝OE?DC：
11．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
12．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．
14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．
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精品试卷·第
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专题24.2
点和圆、直线和圆的位置关系
知识点解读
考点一：点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dd=r点P在⊙O上；
d>r点P在⊙O外。
考点二：过三点的圆
1.过三点的圆。不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2.三角形的外接圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3.三角形的外心。三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4.圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）。圆内接四边形对角互补。
考点三：反证法
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。
考点四：直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，
（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交d直线l与⊙O相切d=r；
直线l与⊙O相离d>r。
考点五：切线的判定和性质
1.切线的判定定理。经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2.切线的性质定理。圆的切线垂直于经过切点的半径。
考点六：切线长定理
1.切线长。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2.切线长定理。从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
考点七：三角形的内切圆
1.三角形的内切圆。与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2.三角形的内心。三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
考点八：圆和圆的位置关系
1.圆和圆的位置关系
（1）如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。
（2）如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。
（3）如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。
2.圆心距。两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3.圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么
两圆外离d>R+r
两圆外切d=R+r
两圆相交R-r两圆内切d=R-r（R>r）
两圆内含dr）
4.两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
考点九：补充三个定理：如图甲乙丙所示。
甲
乙
丙
（1）相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。
如图甲，即：PA·PB
=
PC·PD
（2）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条
线段长的积相等。如图乙，即：PA·PB
=
PC·PD
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交
点的两条线段长的比例中项。如图丙，即：PC
2=
PA·PB
对点例题解析
【例题1】已知两点M（x1，y1），N（x2，y2），则线段MN的中点K（x，y）的坐标公式为：
x＝，y＝．
如图，已知点O为坐标原点，点A（﹣3，0），⊙O经过点A，点B为弦PA的中点．若点P（a，b），则有a，b满足等式：a2+b2＝9．
设B（m，n），则m，n满足的等式是（ ）
A．m2+n2＝9
B．（）2+（）2＝9
C．（2m+3）2+（2n）2＝3
D．（2m+3）2+4n2＝9
【答案】D．
【解析】根据中点坐标公式求得点B的坐标，然后代入a，b满足的等式．
∵点A（﹣3，0），点P（a，b），点B（m，n）为弦PA的中点，
∴m＝，n＝．
∴a＝2m+3，b＝2n．
又a，b满足等式：a2+b2＝9，
∴（2m+3）2+4n2＝9．
【点拨】考查了坐标与图形性质，解题的关键是理解中点坐标公式，难度不大．
【例题2】如图，在△ABC中，O是AB边上的点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC相切于点D，BD平分∠ABC，AD＝OD，AB＝12，CD的长是（ ）
A．2
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解析】由切线的性质得出AC⊥OD，求出∠A＝30°，证出∠ODB＝∠CBD，得出OD∥BC，得出∠C＝∠ADO＝90°，由直角三角形的性质得出∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，得出∠CBD＝30°，再由直角三角形的性质即可得出结果．
解：∵⊙O与AC相切于点D，
∴AC⊥OD，
∴∠ADO＝90°，
∵AD＝OD，
∴tanA＝＝，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∴∠C＝∠ADO＝90°，
∴∠ABC＝60°，BC＝AB＝6，AC＝BC＝6，
∴∠CBD＝30°，
∴CD＝BC＝×6＝2
【点拨】本题考查的是切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握圆的切线和直角三角形的性质，证出OD∥BC是解题的关键．
【例题3】如图，BD是⊙O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与⊙O相切于点A，交DB的延长线于点F，∠F＝30°，∠BAC＝120°，BC＝8．
（1）求∠ADB的度数；
（2）求AC的长度．
【答案】见解析。
【解析】（1）由切线的性质得出AF⊥OA，由圆周角定理好已知条件得出∠F＝∠DBC，证出AF∥BC，得出OA⊥BC，求出∠BOA＝90°﹣30°＝60°，由圆周角定理即可得出结果；
（2）由垂径定理得出BE＝CE＝BC＝4，得出AB＝AC，证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB，由直角三角形的性质得出OE＝OB，BE＝OE＝4，求出OE＝，即可得出AC＝AB＝OB＝2OE＝．
解：（1）∵AF与⊙O相切于点A，
∴AF⊥OA，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAC＝30°，
∴∠DBC＝∠DAC＝30°，
∵∠F＝30°，
∴∠F＝∠DBC，
∴AF∥BC，
∴OA⊥BC，
∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ADB＝∠AOB＝30°；
（2）∵OA⊥BC，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∴AB＝AC，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，
∵∠OBE＝30°，
∴OE＝OB，BE＝OE＝4，
∴OE＝，
∴AC＝AB＝OB＝2OE＝．
【点拨】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握切线的性质和圆周角定理，证出OA⊥BC是解题的关键．
【例题4】已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT=50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图①，求∠T和∠CDB的大小；
（2）如图②，当BE=BC时，求∠CDO的大小．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了圆的切线、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是关键，注意运用同弧所对的圆周角相等．
（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB=90°，
∵∠ABT=50°，
∴∠T=90°﹣∠ABT=40°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°﹣∠ABC=40°，
∴∠CDB=∠CAB=40°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE=BC，∠EBC=50°，
∴∠BCE=∠BEC=65°，
∴∠BAD=∠BCD=65°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD=65°，
∵∠ADC=∠ABC=50°，
∴∠CDO=∠ODA﹣∠ADC=65°﹣50°=15°．
【例题5】如图，AN是⊙M的直径，NB∥x轴，AB交⊙M于点C．
（1）若点A（0，6），N（0，2），∠ABN=30°，求点B的坐标；
（2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是⊙M的切线．
【答案】见解析。
【解析】在Rt△ABN中，求出AN、AB即可解决问题；连接MC，NC．只要证明∠MCD=90°即可；
（1）∵A的坐标为（0，6），N（0，2），
∴AN=4，
∵∠ABN=30°，∠ANB=90°，
∴AB=2AN=8，
∴由勾股定理可知：NB==，
∴B（，2）．
（2）连接MC，NC
∵AN是⊙M的直径，
∴∠ACN=90°，
∴∠NCB=90°，
在Rt△NCB中，D为NB的中点，
∴CD=NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90°，
∴∠MCN+∠NCD=90°，
即MC⊥CD．
∴直线CD是⊙M的切线．
达标训练题
1.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO．
（1）求证：BC是∠ABE的平分线；
（2）若DC=8，⊙O的半径OA=6，求CE的长．
【答案】见解析。
【解析】本题考查切线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）证明：∵DE是切线，
∴OC⊥DE，
∵BE∥CO，
∴∠OCB=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠CBE=∠CBO，
∴BC平分∠ABE．
（2）在Rt△CDO中，∵DC=8，OC=0A=6，
∴OD==10，
∵OC∥BE，
∴=，
∴=，
∴EC=4.8．
2.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
【答案】见解析。
【解析】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．
（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，
解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=AF，
∴AF=2AH=2×8=16．
3.已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE=EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D．B点在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE=OE；
（2）若CD∥AB，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】见解析
【解析】先判断出∠2+∠3=90°，再判断出∠1=∠2即可得出结论；先判断出△ABO≌△CDE得出AB=CD，即可判断出四边形ABCD是平行四边形，最后判断出CD=AD即可．
（1）如图，连接OD，
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°，
∵DE=EC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠COD，
∴DE=OE；
（2）∵OD=OE，
∴OD=DE=OE，
∴∠3=∠COD=∠DEO=60°，
∴∠2=∠1=30°，
∵OA=OB=OE，OE=DE=EC，
∴OA=OB=DE=EC，
∵AB∥CD，
∴∠4=∠1，
∴∠1=∠2=∠4=∠OBA=30°，
∴△ABO≌△CDE，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAE=∠DOE=30°，
∴∠1=∠DAE，
∴CD=AD，
∴?ABCD是菱形．
4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，点O在AB上，OB=2，以OB为半径的⊙O与AC相切于点D，交BC于点E，求弦BE的长．
【答案】见解析。
【解析】连接OD，首先证明四边形OFCD是矩形，从而得到BF的长，然后利用垂径定理求得BE的长即可．
连接OD，作OF⊥BE于点F．
∴BF=BE，
∵AC是圆的切线，
∴OD⊥AC，
∴∠ODC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形ODCF是矩形，
∵OD=OB=FC=2，BC=3，
∴BF=BC﹣FC=BC﹣OD=3﹣2=1，
∴BE=2BF=2．
5.如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC=∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6，BC=8，求弦BD的长．
【答案】见解析。
【解析】连接OB，由垂径定理的推论得出BE=DE，OE⊥BD，=，由圆周角定理得出∠BOE=∠A，证出∠OBE+∠DBC=90°，得出∠OBC=90°即可；由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE=DE，OE⊥BD，=，
∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠BOE=∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC=90°，
∴∠OBC=90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，
∴OC==10，
∵△OBC的面积=OC?BE=OB?BC，
∴BE===4.8，
∴BD=2BE=9.6，
即弦BD的长为9.6．
6．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC．
（1）求证：四边形ACBP是菱形；
（2）若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．
【答案】见解析。
【解析】A.连接AO，BO，根据PA、PB是⊙O的切线，得到∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，由三角形的内角和得到∠AOP=60°，根据三角形外角的性质得到∠ACO=30°，得到AC=AP，同理BC=PB，于是得到结论；
B.连接AB交PC于D，根据菱形的性质得到AD⊥PC，解直角三角形即可得到结论．
（1）连接AO，BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∠APO=∠BPO=∠APB=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠AOP=∠CAO+∠ACO，
∴∠ACO=30°，
∴∠ACO=∠APO，
∴AC=AP，
同理BC=PB，
∴AC=BC=BP=AP，
∴四边形ACBP是菱形；
（2）连接AB交PC于D，
∴AD⊥PC，
∴OA=1，∠AOP=60°，
∴AD=OA=，
∴PD=，
∴PC=3，AB=，
∴菱形ACBP的面积=AB?PC=．
7．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC平分∠DAO；
（2）①∵AD∥OC，
∴∠EOC=∠DAO=105°，
∵∠E=30°，
∴∠OCE=45°；
②作OG⊥CE于点G，
则CG=FG=OG，
∵OC=2，∠OCE=45°，
∴CG=OG=2，
∴FG=2，
在Rt△OGE中，∠E=30°，
∴GE=2，
∴．
8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为10，求AF的长度．
【答案】见解析。网版权所有
【解析】A.欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC即可；
B.如图，过点O作OH⊥AF于点H，构建矩形ODEH，设AH=x．则由矩形的性质推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2=102，通过解方程得到AH的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．
（1）证明：∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC．
∵DE是⊙O的切线，OD是半径，
∴DE⊥OD，
∴DE⊥AC；
（2）如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，
∴四边形ODEH是矩形，
∴OD=EH，OH=DE．
设AH=x．
∵DE+AE=8，OD=10，
∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，
解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．
∴AH=8．
∵OH⊥AF，
∴AH=FH=AF，
∴AF=2AH=2×8=16．
9．如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE=1，ED=3，求⊙O的半径．
【答案】见解析。
【解析】A.首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
B.设⊙O的半径为R，则OE=R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．
（1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD=OB，OC=OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO=∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO=90°，
∴∠CDO=90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R，OE=R+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO=90°，
∴ED2+OD2=OE2，
∴32+R2=（R+1）2，
解得R=4，
∴⊙O的半径为4．
10．如图，BM是以AB为直径的⊙O的切线，B为切点，BC平分∠ABM，弦CD交AB于点E，DE＝OE．
（1）求证：△ACB是等腰直角三角形；
（2）求证：OA2＝OE?DC：
【答案】见解析。
【解析】证明：（1）∵BM是以AB为直径的⊙O的切线，
∴∠ABM＝90°，
∵BC平分∠ABM，
∴∠ABC＝∠ABM＝45°
∵AB是直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°
∴AC＝BC
∴△ACB是等腰直角三角形；
（2）如图，连接OD，OC
∵DE＝EO，DO＝CO
∴∠EDO＝∠EOD，∠EDO＝∠OCD
∴∠EDO＝∠EDO，∠EOD＝∠OCD
∴△EDO∽△ODC
∴
∴OD2＝DE?DC
∴OA2＝DE?DC＝EO?DC
11．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交AP的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O的直径．
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意知＝，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝∠AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝∠AOC，利用同位角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；
（2）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由OA＝OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由OB＝OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP＝OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB＝4PD＝4．
（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
∴＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
【点拨】考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
12．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E．
（1）试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求线段EF的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE＝90°即可；
（2）过O作OG⊥AF于G，得到AF＝2AG，根据直角三角形的性质得到AG＝OA＝1，得到AF＝2，推出四边形AODF是菱形，得到DF∥OA，DF＝OA＝2，于是得到结论．
解：（1）直线DE与⊙O相切，连结OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）过O作OG⊥AF于G，
∴AF＝2AG，
∵∠BAC＝60°，OA＝2，
∴AG＝OA＝1，
∴AF＝2，
∴AF＝OD，
∴四边形AODF是菱形，
∴DF∥OA，DF＝OA＝2，
∴∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴EF＝DF＝1．
【点拨】本题考查切线的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
13.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD．
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长．
【答案】见解析。
【解析】（1）根据圆周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可；
（2）求出AC=10，AD=6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC即可．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA=90°，
∴BD⊥AC，∠BDC=90°，
∵BF切⊙O于B，
∴AB⊥BF，
∵CF∥AB，
∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC，
∴∠ACB=∠FCB，
∵BD⊥AC，BF⊥CF，
∴BD=BF；
（2）解：∵AB=10，AB=AC，
∴AC=10，
∵CD=4，
∴AD=10﹣4=6，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD==8，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC==4．
14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若AC=6，CF=2，求⊙O的半径．
【答案】见解析。
【解析】连接OD，由切线的性质和已知条件可证得OD∥EF，则可证得结论；过D作DG⊥AE于点G，连接CD，则可证得△ADF≌△ADG、△CDF≌△BDG，则可求得AB的长，可求得圆的半径．
（1）证明：
如图1，连接OD，
∵EF是⊙O的切线，且点D在⊙O上，
∴OD⊥EF，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAB=∠DAC，
∴∠ADO=∠DAC，
∴AF∥OD，
∴AF⊥EF；
（2）解：
如图2，过D作DG⊥AE于点G，连接CD，
∵∠BAD=∠DAF，AF⊥EF，DG⊥AE，
∴BD=CD，DG=DF，
在Rt△ADF和Rt△ADG中
∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL），
同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG，
∴BG=CF=2，AG=AF=AC+CF=6+2=8，
∴AB=AG+BG=8+2=10，
∴⊙O的半径OA=AB=5．
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精品试卷·第
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