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专题24.3
正多边形和圆
知识点解读
考点一：正多边形和圆
1.正多边形的定义。各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系。只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
考点二：与正多边形有关的概念
1.正多边形的中心。正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2.正多边形的半径。正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3.正多边形的边心距。正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4.中心角。正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点三：正多边形的对称性
1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
对点例题解析
【例题1】如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2，
B．2，π
C．
，
D．
2，
【例题2】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为
；
【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
达标训练题
一、选择题
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm
B．12mm
C．6mm
D．6mm
3.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．
R2﹣r2=a2
B．
a=2Rsin36°
C．
a=2rtan36°
D．
r=Rcos36°
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）
A．
30°
B．
35°
C．
45°
D．
60°
5.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
1.如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小
为
度．
2.已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为
cm．
3.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．
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专题24.3
正多边形和圆
知识点解读
考点一：正多边形和圆
1.正多边形的定义。各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2.正多边形和圆的关系。只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
考点二：与正多边形有关的概念
1.正多边形的中心。正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2.正多边形的半径。正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3.正多边形的边心距。正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4.中心角。正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
考点三：正多边形的对称性
1.正多边形的轴对称性。正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
2.正多边形的中心对称性。边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3.正多边形的画法。先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
对点例题解析
【例题1】如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（ ）
A．2，
B．2，π
C．
，
D．
2，
【答案】D
【解析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2，
==π，故选D．
【例题2】如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝100°，则∠DCE的度数为
；
【答案】100°
【解析】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠DCE＝∠A＝100°
【例题3】如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，BE是⊙O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，垂足为G．（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）已知FG＝2，求图中阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴＝＝，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，
∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，
∴OF⊥FG，
∴FG是⊙O的切线；
（2）解：∵＝＝，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2，
∴AF＝4，
∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF＝S△AOF，
∴图中阴影部分的面积＝＝．
达标训练题
一、选择题
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接BD．则∠CBD的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【答案】A
【解析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结论．
∵在正六边形ABCDEF中，∠BCD＝＝120°，BC＝CD，
∴∠CBD＝（180°﹣120°）＝30°，
【点拨】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边形的内角和是解题的关键．
2.一元钱硬币的直径约为24mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过（ ）
A．12mm
B．12mm
C．6mm
D．6mm
【答案】A
【解析】理解清楚题意，此题实际考查的是一个直径为24mm的圆内接正六边形的边长．
已知圆内接半径r为12mm，
则OB=12，
∴BD=OB?sin30°=12×=6，
则BC=2×6=12，
可知边长为12mm，就是完全覆盖住的正六边形的边长最大．
3.如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（ ）
A．
R2﹣r2=a2
B．
a=2Rsin36°
C．
a=2rtan36°
D．
r=Rcos36°
【答案】A
【解析】根据圆内接正五边形的性质求出∠BOC，再根据垂径定理求出∠1=36°，然后利用勾股定理和解直角三角形对各选项分析判断即可得解．
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BOC=×360°=72°，
∴∠1=∠BOC=×72°=36°，
R2﹣r2=（a）2=a2，
a=Rsin36°，
a=2Rsin36°；
a=rtan36°，
a=2rtan36°，
cos36°=，
r=Rcos36°，
所以，关系式错误的是R2﹣r2=a2．
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（ ）
A．
30°
B．
35°
C．
45°
D．
60°
【答案】A
【解析】连接OB，AD，BD，由多边形是正六边形可求出∠AOB的度数，再根据圆周角定理即可求出∠ADB的度数，利用弦切角定理∠PAB．
连接OB，AD，BD，
∵多边形ABCDEF是正多边形，
∴AD为外接圆的直径，
∠AOB==60°，
∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．
∵直线PA与⊙O相切于点A，
∴∠PAB=∠ADB=30°，故选A．
5.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
如图1，
∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=；
如图2，
∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=；
如图3，
∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=，
则该三角形的三边分别为：、、，
∵（）2+（）2=（）2，
∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是××=，故选：D．
二、填空题
1.如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角∠BOD的大小
为
度．
【答案】144
【解析】根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可解决问题．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝＝108°．
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
【点拨】本题主要考查了切线的性质、正五边形的性质、多边形的内角和公式、熟练掌握切线的性质是解决本题的关键．
2.已知正六边形ABCDEF的边心距为cm，则正六边形的半径为
cm．
【答案】2．
【解析】根据题意画出图形，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，再根据正六边形的性质及锐角三角函数的定义求解即可．
如图所示，连接OA、OB，过O作OD⊥AB，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠OAD=60°，
∴OD=OA?sin∠OAB=AO=，
解得：AO=2．
3.如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm．
【答案】50．
【解析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．
如图，设圆心为O，
连接AO，CO
∵直线l是它的对称轴，
∴CM=30，AN=40，
∵CM2+OM2=AN2+ON2，
∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，
解得：OM=40，
∴OC==50，
∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．
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