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专题24.4
弧长和扇形面积
知识点解读
1.弧长公式：L＝nπR/180
2.扇形面积公式：
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3.圆的周长公式：l＝2πR．
4.圆的面积公式：S＝πR2
5.圆锥的侧面积：
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面圆半径。
对点例题解析
【例题1】如图，用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm，那么这张扇形纸板的弧长是
cm．
【例题2】用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为
．
【例题3】如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）
【例题4】在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
达标训练题
一、选择题
1．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．（+1）π
2.
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（ ）
A．2π
B．π
C．π
D．π
3.
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π
二、填空题
1.
如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______（结果保留）
2．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为
（结果保留π）．
3．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为
cm．
4.如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为 米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米．
5．如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为
cm2．
6．已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是
度．
7．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是
．
8．若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是
．
三、解答题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
2．如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以
OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E．已知BC=，AC=3．
（1）求AD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
3．如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4时，求的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
4．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）
5．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于
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专题24.4
弧长和扇形面积
知识点解读
1.弧长公式：L＝nπR/180
2.扇形面积公式：
其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。
3.圆的周长公式：l＝2πR．
4.圆的面积公式：S＝πR2
5.圆锥的侧面积：
其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面圆半径。
对点例题解析
【例题1】如图，用一张半径为10cm的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的高为8cm，那么这张扇形纸板的弧长是
cm．
【答案】12π．
【解析】∵扇形的半径为10cm，做成的圆锥形帽子的高为8cm，
∴圆锥的底面半径为＝6，
∴底面周长为2×6π＝12π，
∴这张扇形纸板的弧长是12πcm
【点拨】首先根据底面半径求得圆锥的底面的周长，从而求得扇形的弧长．
【例题2】用一个圆心角为120°，半径为6的扇形做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为
．
【答案】4π．
【解析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径，从而可以计算面积．
扇形的弧长＝＝4π，
∴圆锥的底面半径为4π÷2π＝2．
∴面积为：4π，
【点拨】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
【例题3】如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）
【答案】见解析。
【解析】连接OB，由切线的性质得出OB⊥BC，证出AD∥OB，由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠DAB=∠OAB，即可得出结论；由圆周角定理得出∠AOB=120°，由扇形面积公式即可得出答案．
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB，
∴∠DAB=∠OBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠DAB=∠OAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）解：∵点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴扇形OAB的面积==3π．
【例题4】在等腰△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）分别延长CB，FD，相交于点G，∠A=60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【解析】连接OD，由等腰三角形的性质证出∠A=∠ODB，得出OD∥AC，证出DF⊥OD，即可得出结论；证明△OBD是等边三角形，由等边三角形的性质得出∠BOD=60°，求出∠G=30°，由直角三角形的性质得出OG=2OD=2×6=12，由勾股定理得出DG=6，阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积，即可得出答案．
（1）证明：连接OD，如图所示：
∵AC=BC，OB=OD，
∴∠ABC=∠A，∠ABC=∠ODB，
∴∠A=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵AC=BC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴ABC=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∵DF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∴∠G=30°，
∴OG=2OD=2×6=12，
∴DG=OD=6，
∴阴影部分的面积=△ODG的面积﹣扇形OBD的面积=×6×6﹣=18﹣6π．
达标训练题
一、选择题
1．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（ ）
A．π
B．2π
C．3π
D．（+1）π
【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为的正三角形．
∴正三角形的边长＝＝2．
∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，
∴底面周长为2π
∴侧面积为2π×2＝2π，∵底面积为πr2＝π，
∴全面积是3π．
2.
如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，∠BCD=30°，CD=4，则S阴影=（ ）
A．2π
B．π
C．π
D．π
【答案】B．
【解析】如图，假设线段CD、AB交于点E，
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=2，
又∵∠BCD=30°，
∴∠DOE=2∠BCD=60°，∠ODE=30°，
∴OE=DE?cot60°=2×=2，OD=2OE=4，
∴S阴影=S扇形ODB﹣S△DOE+S△BEC=﹣OE×DE+BE?CE=﹣2+2=．
3.
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则的长为（ ）
A．π
B．π
C．π
D．π
【答案】B．
【解析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．
∵∠OCA=50°，OA=OC，
∴∠A=50°，
∴∠BOC=100°，
∵AB=4，
∴BO=2，
∴的长为：
=π．故选：B．
二、填空题
1.
如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是______（结果保留）
【答案】
【解析】根据题意可得：阴影部分的面积等于半径为4的圆的四分之一的面积减去半径为2的圆的一半的面积.S=π×÷4－π×÷2=4π－2π=2π.
2．如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为
（结果保留π）．
【答案】3π﹣．
【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣
【点评】本题考查扇形面积的计算、圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r＝2cm，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥的母线长l为
cm．
【答案】6
【解析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．
圆锥的底面周长＝2π×2＝4πcm，
设圆锥的母线长为R，则：＝4π，
解得R＝6．
【点拨】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．
4.如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：
（1）AB的长为 米；
（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为 米．
【答案】（1）1
（2）．
【解析】（1）连接BD，
∵∠BAC=90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC=，
∴AB=BC=1；
（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意得2πr=，
解得r=．
5．如图，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为
cm2．
【答案】4．
【解析】连接BD，判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ABD＝60°，再求出∠CBD＝60°，然后求出阴影部分的面积＝S△ABD，计算即可得解．
如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
又∵菱形的对边AD∥BC，
∴∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠CBD＝120°﹣60°＝60°，
∴S阴影＝S扇形BDC﹣（S扇形ABD﹣S△ABD），
＝S△ABD，
＝×4×＝4cm2．
故答案为：4．
6．已知圆锥的底面半径是1，高是，则该圆锥的侧面展开图的圆心角是
度．
【答案】90．
【解析】先根据勾股定理求出圆锥的母线为4，进而求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．
设圆锥的母线为a，根据勾股定理得，a＝4，
设圆锥的侧面展开图的圆心角度数为n°，
根据题意得2π?1＝，解得n＝90，
即圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7．如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是
．
【答案】8π．
【解析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，由圆的周长公式即可得出结果．
由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，
∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π；
【点拨】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长＝2个圆的周长是解题的关键．
8．若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是
．
【答案】3
【解析】设该圆锥底面圆的半径是为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到×2π×r×5＝15π，然后解关于r的方程即可．
解：设该圆锥底面圆的半径是为r，
根据题意得×2π×r×5＝15π，解得r＝3．
即该圆锥底面圆的半径是3．
【点拨】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
三、解答题
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查了切线的性质，角平分线的定义，扇形面积的计算和勾股定理．熟练掌握切线的性质是解题的关键．
（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠CDA=∠AED，
∵AE为直径，
∴∠ADE=90°，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠BAC=45°，
∵BC相切⊙O于点D，
∴∠ODB=90°，
∴OD=BD，∴∠BOD=45°，
设BD=x，则OD=OA=x，OB=x，
∴BC=AC=x+1，
∵AC2+BC2=AB2，
∴2（x+1）2=（x+x）2，
∴x=，
∴BD=OD=，
∴图中阴影部分的面积=S△BOD﹣S扇形DOE=﹣=1﹣．
2．如图，O为Rt△ABC的直角边AC上一点，以
OC为半径的⊙O与斜边AB相切于点D，交OA于点E．已知BC=，AC=3．
（1）求AD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【解析】A.首先利用勾股定理求出AB的长，再证明BD=BC，进而由AD=AB﹣BD可求出；
B.利用特殊角的锐角三角函数可求出∠A的度数，则圆心角∠DOA的度数可求出，在直角三角形ODA中求出OD的长，最后利用扇形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
（1）在Rt△ABC中，∵BC=，AC=3．
∴AB==2，
∵BC⊥OC，
∴BC是圆的切线，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴BD=BC，
∴AD=AB﹣BD=2﹣=；
（2）在Rt△ABC中，
∵sinA===，
∴∠A=30°，
∵⊙O与斜边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，
∴∠AOD=90°﹣∠A=60°，
∵=tanA=tan30°，
∴=，
∴OD=1，
∴S阴影==．
3．如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．
（1）求证：AP=BQ；
（2）当BQ=4时，求的长（结果保留π）；
（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．
【答案】见解析。网版权所有
【解析】A.连接OQ．只要证明Rt△APO≌Rt△BQO即可解决问题；
B.求出优弧DQ的圆心角以及半径即可解决问题；
C.由△APO的外心是OA的中点，OA=8，推出△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8；
（1）证明：连接OQ．
∵AP、BQ是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，OQ⊥BQ，
∴∠APO=∠BQO=90°，
在Rt△APO和Rt△BQO中，
，
∴Rt△APO≌Rt△BQO，
∴AP=BQ．
（2）∵Rt△APO≌Rt△BQO，
∴∠AOP=∠BOQ，
∴P、O、Q三点共线，
∵在Rt△BOQ中，cosB===，
∴∠B=30°，∠BOQ=60°，
∴OQ=OB=4，
∵∠COD=90°，
∴∠QOD=90°+60°=150°，
∴优弧的长==π，
（3）∵△APO的外心是OA的中点，OA=8，
∴△APO的外心在扇形COD的内部时，OC的取值范围为4＜OC＜8．
4．如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA=3．
（1）求证：AB平分∠OAD；
（2）若点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，求扇形OAB的面积．（计算结果保留π）
【答案】见解析。
【解析】A.连接OB，由切线的性质得出OB⊥BC，证出AD∥OB，由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠DAB=∠OAB，即可得出结论；
B.由圆周角定理得出∠AOB=120°，由扇形面积公式即可得出答案．
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC，
∵AD⊥BC，∴AD∥OB，∴∠DAB=∠OBA，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠DAB=∠OAB，
∴AB平分∠OAD；
（2）解：∵点E是优弧上一点，且∠AEB=60°，
∴∠AOB=2∠AEB=120°，
∴扇形OAB的面积==3π．
5．图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．
（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于
【答案】（1）见解析（2）．
【解析】（1）作AE的垂直平分线交⊙O于C，G，作∠AOG，∠EOG的角平分线，分别交⊙O于H，F，反向延长
FO，HO，分别交⊙O于D，B顺次连接A，B，C，D，E，F，G，H，八边形ABCDEFGH即为所求；
（2）由八边形ABCDEFGH是正八边形，求得∠AOD=3=135°得到的长=，设这个圆锥底面圆的半径为R，根据圆的周长的公式即可求得结论。
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠AOD=3=135°，
∵OA=5，
∴的长=，
设这个圆锥底面圆的半径为R，
∴2πR=，
∴R=，即这个圆锥底面圆的半径为．
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