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专题25.3
用频率估计概率
知识点解读
利用频率估计概率
1.利用频率估计概率。在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2.在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3.随机数。在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
对点例题解析
【例题1】某校对学生“一周课外阅读时间”的情况进行随机抽样调查，调查结果如统计图所示，若该校有2000名学生，则根据调查结果可估算该校学生一周阅读时间不足3小时的人数是（ ）
A．280人
B．400人
C．660人
D．680人
【例题2】某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了
名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有
人；
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是
．
【例题3】“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．
请根据图中信息完成下列各题．
（1）将频数分布直方图补充完整人数；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；
（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．
达标训练题
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为（ ）
A．500
B．800
C．1000
D．1200
二、解答题
1.赏郎中学初三某班的同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：
第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回投球次数
5
10
15
20
25
30
每回进球次数
3
8
16
17
18
相应频率
0.6
0.8
0.4
0.8
0.68
0.6
（1）请将数据表补充完整。
（2）画出班长进球次数的频率分布折线图。
（3）就数据5、10、15、20、25、30而言，这组数据的中位数是多少？
（4）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由。（结果用分数表示）
2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
（2）小颖说：“根据上述实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗？为什么？
3.一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是年平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
（1）请将数据补充完整；
（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
4．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近
；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是
，摸到黑球的概率是
；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．
5.为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考，小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭，发现其中10个家庭有子女参加中考．
（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少？
（2）如果你随机调查一个家庭，估计该家庭有子女参加中考的概率是多少？
（3）已知淮安市约有1.3×106个家庭，假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生，请你估计今年全市有多少名考生参加中考？
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专题25.3
用频率估计概率
知识点解读
利用频率估计概率
1.利用频率估计概率。在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。
2.在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。
3.随机数。在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。
对点例题解析
【例题1】某校对学生“一周课外阅读时间”的情况进行随机抽样调查，调查结果如统计图所示，若该校有2000名学生，则根据调查结果可估算该校学生一周阅读时间不足3小时的人数是（ ）
A．280人
B．400人
C．660人
D．680人
【答案】D
【解析】2000×（）＝680（人）；
即估算该校学生一周的课外阅读时间不足三小时的人数为680人．
【点拨】由总人数乘以时间不足三小时的人数的频率即可．
【例题2】某校研究学生的课余爱好情况，采取抽样调查的方法，从阅读、运动、娱乐、上网等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了
名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1500名，估计爱好运动的学生有
人；
（4）在全校同学中随机选取一名学生参加演讲比赛，用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率是
．
【答案】（1）100（2）见解析（3）600；（4）
【解析】（1）爱好运动的人数为40，所占百分比为40%
∴共调查人数为：40÷40%=100
（2）爱好上网的人数所占百分比为10%
∴爱好上网人数为：100×10%=10，
∴爱好阅读人数为：100﹣40﹣20﹣10=30，
补全条形统计图，如图所示，
（3）爱好运动所占的百分比为40%，
∴估计爱好运用的学生人数为：1500×40%=600
（4）爱好阅读的学生人数所占的百分比30%，
∴用频率估计概率，则选出的恰好是爱好阅读的学生的概率为3/10
【例题3】“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”，某校举办了首届“中国诗词大会”，经选拔后有50名学生参加决赛，根据测试成绩（成绩都不低于50分）绘制出如图所示的部分频数分布直方图．
请根据图中信息完成下列各题．
（1）将频数分布直方图补充完整人数；
（2）若测试成绩不低于80分为优秀，则本次测试的优秀率是多少；
（3）现将从包括小明和小强在内的4名成绩优异的同学中随机选取两名参加市级比赛，求小明与小强同时被选中的概率．
【答案】见解析。
【解析】（1）70到80分的人数为50﹣（4+8+15+12）=11人，
补全频数分布直方图如下：
（2）本次测试的优秀率是×100%=54%；
（3）设小明和小强分别为A、B，另外两名学生为：C、D，
则所有的可能性为：AB、AC、AD、BC、BD、CD，
所以小明与小强同时被选中的概率为．
达标训练题
一、选择题
1．抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为（ ）
A．500
B．800
C．1000
D．1200
【答案】C
【解析】由抛掷一枚硬币正面向上的可能性为0.5求解可得．
抛掷一枚质地均匀的硬币2000次，正面朝上的次数最有可能为1000次，
【点拨】本题主要考查随机事件，关键是理解必然事件为一定会发生的事件；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．
二、解答题
1.赏郎中学初三某班的同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表是他的测试成绩及相关数据：
第一回投球
第二回投球
第三回投球
第四回投球
第五回投球
第六回投球
每回投球次数
5
10
15
20
25
30
每回进球次数
3
8
16
17
18
相应频率
0.6
0.8
0.4
0.8
0.68
0.6
（1）请将数据表补充完整。
（2）画出班长进球次数的频率分布折线图。
（3）就数据5、10、15、20、25、30而言，这组数据的中位数是多少？
（4）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试的频率将稳定在他投球1次时进球的概率附近，请你估计这个概率是多少？并说明理由。（结果用分数表示）
【答案】见解析。
【解析】本题要同学们区别开概率与频率，概率是伴随着随机事件客观存在的，只要有随机事件就一定有存在概率，频率是通过实验得到的，随着试验次的变化而变化，但是当试验的次数重复次数足够大后，频率在概率附近摆动，为了求一个随机事件的概率，我们就可以通过多次试验，用所得的频率来估计事件的概率．
本题是与数据的整理与描述相结合的，首先对数据进行分析，然后通过实验频率来估计概率。
第（1）问由频率计算频数，频数＝总数×频率＝15×0.4＝6
（2）通过描点、连线画出折线图，又折线图我们可以看到频率稳定在0.6左右
（3）要注意中位数的定义，是按顺序将数据排列起来后处在中间位置的数据，因为有6个数据，所以应是第3、4个数的平均数为17.5
（4）因为当实验的次数足够大时，事件发生的频率稳定在该事件发生的概率附近，反之可以用频率来估计概率，即：
2.小颖和小红两位同学在学习“概率”时，做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了60次实验，实验的结果如下：
朝上的点数
1
2
3
4
5
6
出现的次数
7
9
6
8
20
10
（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.
（2）小颖说：“根据上述实验，一次实验中出现5点朝上的概率最大”；小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次”.小颖和小红的说法正确吗？为什么？
【答案】见解析。
【解析】概率是描述随机现象的数学模型，它不能等同于频率.只有在一定的条件下，大量重复试验时，随机事件的频率所逐渐稳定到的常数，才可估计此事件的概率.
（1）“3点朝上”的频率是6/60=1/10；“5点朝上”的频率是20/60=1/3.
（2）小颖的说法是错误的.因为“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大，只有当实验的次数足够大时，该事件发生的频率稳定在事件发生的概率附近.小红的说法也是错误的.因为事件的发生具有随机性，所以“6点朝上”的次数不一定是100次.
3.一粒木质中国象棋子“兵”，它的正面雕刻一个“兵”字，它的反面是年平的．将它从一定高度下掷，落地反弹后可能是“兵”字面朝上，也可能是“兵”字面朝下．由于棋子的两面不均匀，为了估计“兵”字面朝上的概率，某实验小组做了棋子下掷实验，实验数据如下表：
实验次数
20
40
60
80
100
120
140
160
“兵”字面朝上频数
14
38
47
52
66
78
88
相应频率
0.7
0.45
0.63
0.59
0.52
0.56
0.55
（1）请将数据补充完整；
（2）画出“兵”字面朝上的频率分布折线图；
（3）如果实验继续进行下去，根据上表的数据，这个实验的频率将稳定在它的概率附近，请你估计这个概率是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）所填数字为：40×0.45=18，66÷120=0.55；
（2）折线图：
（3）根据表中数据，试验频率为0.7，0.45，0.63，0.59，0.52，0.55，0.56，0.55稳定在0.55左右，故估计概率的大小为0.55．
4．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近
；
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是
，摸到黑球的概率是
；
（3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
（4）解决了上面的问题，小明同学猛然顿悟，过去一个悬而未决的问题有办法了．这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可以借助其他工具及用品）请你应用统计与概率的思想和方法解决这个问题，写出解决这个问题的主要步骤及估算方法．
【答案】见解析。
【解析】（1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近
（0.58+0.64+0.58+0.59+0.605+0.601）÷6≈0.60；
（2）摸到白球的概率是0.60，摸到黑球的概率是1﹣0.60=0.4；
（3）白球有20×O.60=12（只），黑球有20﹣12=8（只）；
（4）把a个黑球装入口袋中，将黑球、白球混合搅匀，做摸球实验，随机摸出一个球记下颜色，再放回口袋中，不断重复，可得到摸到黑球的频率P，
由于黑球有a个，则设白球的数量为b，得=P，
解得：b=．
5.为了调查淮安市今年有多少名考生参加中考，小华从全市所有家庭中随机抽查了200个家庭，发现其中10个家庭有子女参加中考．
（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是多少？
（2）如果你随机调查一个家庭，估计该家庭有子女参加中考的概率是多少？
（3）已知淮安市约有1.3×106个家庭，假设有子女参加中考的每个家庭中只有一名考生，请你估计今年全市有多少名考生参加中考？
【答案】见解析。
【解析】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．部分的具体数目=总体数目×相应频率．
（1）本次抽查的200个家庭中，有子女参加中考的家庭的频率是10/200=1/20；
（2）该家庭有子女参加中考的概率是1/20；
（3）今年全市有1.3×106×1/20=6.5×104名考生参加中考.
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