中小学教育资源及组卷应用平台
专题21.1
一元二次方程
知识点解读
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2
是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.
一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
对点例题解析
【例题1】对于一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)说法错误的是（
）
A.其中ax2
是二次项，
B.a是二次项系数；
C.b是一次项，bx是一次项系数；
D.c是常数项。
【例题2】若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为
．
【例题3】已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【例题4】某种植基地2018年蔬菜产量为80吨，预计2020年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100
B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100
D．80（1+x2）=100
达标训练题
一、选择题
1.将方程4x2﹣5x=2021化为一元二次方程的一般形式后，常数项说法正确的是（
）
A.4x2
B.-5x
C.2021
D.-2021
2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
3．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890
B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
4．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( )
A．
x(x－10)＝200
B．
2x＋2(x－10)＝200
C．
x(x＋10)＝200
D．
2x＋2(x＋10)＝200
5.湛江市2018年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．5500（1+x）2=4000
B．5500（1﹣x）2=4000
C．4000（1﹣x）2=5500 D．4000（1+x）2=5500
6.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．
x（x﹣1）=45
B．
x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45
D．x（x+1）=45
7．随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8
B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
8.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18
B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18
D．x2+3x+16=0
二、填空题
9．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=
．
10．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=
．
11．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为
．
三、解答题
12.将方程3x（x-1）=5（x-1）化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
13．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，求m﹣n的值．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题21.1
一元二次方程
知识点解读
1．定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2
是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.
一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
对点例题解析
【例题1】对于一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)说法错误的是（
）
A.其中ax2
是二次项，
B.a是二次项系数；
C.b是一次项，bx是一次项系数；
D.c是常数项。
【答案】C
【解析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a≠0)，
其中ax2
是二次项，a是二次项系数；b是一次项系数，bx是一次项；
c是常数项。
【点拨】牢记一元二次方程的一般形式，知道二次项系数(a≠0)的原因，知道各项名称。
【例题2】若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为
．
【答案】2019
【解析】由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2016=2019
【点拨】将m代入方程得到关于m的方程，利用整体思想解决问题。
【例题3】已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
【答案】﹣3．
【解析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
【点拨】将根代入方程，得到关于k的方程。
【例题4】某种植基地2018年蔬菜产量为80吨，预计2020年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．80（1+x）2=100
B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100
D．80（1+x2）=100
【答案】A．
【解析】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2018年蔬菜产量为80吨，则2019年蔬菜产量为80（1+x）吨，2020年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2020年蔬菜产量达到100吨，即：
80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．
【点拨】理解蔬菜产量年平均增长率的含义是列方程关键。
达标训练题
一、选择题
1.将方程4x2﹣5x=2021化为一元二次方程的一般形式后，常数项说法正确的是（
）
A.4x2
B.-5x
C.2021
D.-2021
【答案】D
【解析】方程4x2﹣5x=2021化为一元二次方程的一般形式为4x2﹣5x-2021=0
其中二次项为4x2
，B.一次项为-5x，常数项为-2021。
2．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【答案】B．
【解析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．
把x=1代入方程得1+k﹣3=0，
解得k=2．
3．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890
B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
【答案】B．
【解析】设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．
4．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为( )
A．
x(x－10)＝200
B．
2x＋2(x－10)＝200
C．
x(x＋10)＝200
D．
2x＋2(x＋10)＝200
【答案】C
【解析】∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，
∴长为(x＋10)米，
∵花圃的面积为200，
∴可列方程为x(x＋10)＝200．
5.湛江市2018年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2020年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．5500（1+x）2=4000
B．5500（1﹣x）2=4000
C．4000（1﹣x）2=5500
D．4000（1+x）2=5500
【答案】D．
【解析】设年平均增长率为x，
那么2019年的房价为：4000（1+x），
2020年的房价为：4000（1+x）2=5500．
6.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．
x（x﹣1）=45
B．
x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45
D．x（x+1）=45
【答案】A．
【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45
7．随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．20（1+2x）=28.8
B．28.8（1+x）2=20
C．20（1+x）2=28.8
D．20+20（1+x）+20（1+x）2=28.8
【答案】C．
【解析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20（1+x）2=28.8
8.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（ ）
A．（x+1）（x+2）=18
B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18
D．x2+3x+16=0
【答案】C．
【解析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，
宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18
二、填空题
9．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m= ．
【答案】2．
【解析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2．
10．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n= ．
【答案】﹣2．
【解析】∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2
11．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
x（x﹣1）=21．
【解析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．
设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21
三、解答题
12.将方程3x（x-1）=5（x-1）化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。
【答案】见解析。
【解析】3x（x-1）=5（x-1）
去括号：3x2﹣3x=5x-5
移项：3x2﹣3x-5x+5=0
合并同类项：3x2﹣8x+5=0
其中的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为5。
13．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，求m﹣n的值．
【答案】．
【解析】∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
