2.3一元二次不等式的解法 同步学案

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一元二次不等式的解法学案
一．学习目标
通过对一元二次不等式的解法的学习，明白二次函数、一元二次方程与一元二次不等式之间的联系，深刻理解函数与方程数学思想的应用；同时通过含参不等式的解法的学习，掌握分类讨论的解题思路。
二．前文回顾
1.一元二次方程的求解
对于一元二次方程，该方程的解的情况取决于的符号；
①当时，方程有两个不相等实数根，；
②当时，方程有两个相等的实数根；
③当时，方程无实数根。
2.二次函数：
对于二次函数，若令，即可得到一元二次方程。
若此时方程有解，那它的解便是二次函数与轴交点的横坐标；若方程无解，也就是说二次函数的图像与轴没有交点。
①当时，二次函数的开口向上；
②当时，二次函数的开口向下。
3.解一元二次不等式的步骤：
①确定二次项的系数符号（一般将二次项系数化为正数）；
②计算判别式；
③求解相应的一元二次方程的根；
④根据结合二次函数的图像，写出不等式的解集。（若对应方程有两个实数解，则原不等式大于0取两根之外，小于0取两根之间；其他的情况如下表所示）
总结：对于一元二次不等式的解法问题，常常依托于对应的方程的解的情况，并结合对应二次函数的图像予以处理。
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系
判别式
二次函数
?判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
?
?判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
?
?判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
?
一元二次方程
有两个不同的实数根（）
有两个不同的实数根
无实数根
一元二次不等式
一元二次不等式
?
三．典例分析与性质总结
题型1：常规一元二次不等式的求解
在求解具体一元二次不等式时，应确定其对应的一元二次方程的解的情况，并结合二次函数的图像确定不等式的解集情况。
例1：①不等式的解集是(　　)
A．
B．
C．?
D．
②不等式的解集为(　　)
A．?
B．R
C．
D．
③不等式的解集为(　　)
A．　
B．
C．　
D．
题型2：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系
例2：已知关于x的不等式的解集为，求的解集．
例3：已知关于的不等式的解集为，试求关于的不等式
的解集。
[方法指导]
一元二次不等式，的解集是与其二次项系数的符号和方程的根密切相关的，由二次函数的图像可以看出，不等式解集的端点便是对应一元二次方程的根。
题型3：由不等式的解集情况求解参数的范围
例4：已知不等式的解集为空集，则的取值范围是(　　)
A．
B．
C．或
D．或
例5：当为何值时，不等式的解集是R?
题型4：含参不等式的求解
例6：关于的不等式：的解集是________．
四．分类讨论思想的引入
分类讨论是高中数学的必备思想，如何在解题过程中理解把握分类讨论的标准至关重要。分类讨论的标准简洁来说，就是“不重不漏”。即对于参与讨论的参数在进行讨论的时候，相互之间的交集为空集，之间的并集为全集。
1.对首项系数进行讨论
例7：解不等式解关于的不等式．
2.对所对应方程的根的个数进行讨论
例8：解不等式（）
3.对根的大小进行讨论
例9：解关于的不等式.
五．变式演练与提高
1.不等式的解集是{x|或}，则的值分别是(　　)
A．2,12
B．2，
C．2，
D．，
2..已知函数对任意实数，函数值恒大于零，则实数的取值范围是__________．
3.解不等式解关于的不等式．
六．反思总结
含参数的一元二次不等式需要讨论一般分为三个层次：
①第一层次是对二次项系数进行讨论，最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负；
②第二层次是相应的二次方程有无实根；
③在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小
因为不确定所以需要讨论，在讨论之前需要先明确分类讨论的标准，怎样处理才能不重不漏，通过讨论化不确定为确定。
将所需要讨论的参数的取值点按照从小到大的顺序标注在数轴上，然后按照从左到右的每一个区间与端点进行讨论，这样就可以做到不重不漏不乱，简洁明了。
七．课后作业
1.已知关于的不等式的解集为，求实数的值；
2.若，则不等式的解集是(　　)
A．
B．
C．
D．
3.解不等式
八．参考答案
例1：解析：
①[答案]　D
[解析]　变形为；∴。
②[答案]　A
[解析]　∵，开口向上，
∴的解集为?.
③[答案]　C
[解析]　由，得，
∴或，故选C．
例2：解析：
由的解集为，知，且和是两个根。
由韦达定理，得；所以
即，解得.
所以的解集为。
例3：解析：
依题意，得方程的解集为1、2；
由根与系数的关系，得即
∴不等式为
∵方程的两根分别为；
∴的解集为．
例4：解析：
[答案]　A
欲使不等式的解集为空集，则，∴.
例5：解析：
由，得.
当时，原不等式化为恒成立，∴当时，满足题意．
当时，原不等式化为，∴，不满足题意，故.
当时，由题意，得
，解得.
综上可知，实数的取值范围是.
例6：解析：
解法一：∵方程的解为，，且知.
∴二次函数的图象开口向上，且与轴有两个交点．
∴不等式的解集为．
解法二：注意到，及，
可先因式分解，化为，
∵，∴.
∴不等式的解集为．
例7：解析：
原不等式可化为
①当时，原不等式可化为，解得.
②当时，原不等式可化为，解得或.
③当时，原不等式可化为
当，即时，解得；
当，即时，解得；
当，即时，解得.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
例8：解析：
该不等式的二次项系数为正数，在对应方程有两解的情况下，不等式（大于0）的解集应是两根之外；对应方程有一解的情况下，不等式的解集应是去除特异点；对应方程无实数解的情况下，不等式的解集应是全体实数R。
因此，该不等式的解集情况取决于对应方程解的情况。
①当即，此时对应二次方程的解为，
故而不等式的解集为
②当即，此时对应二次方程的解为，故而不等式的解集为
③当即，此时对应二次方程无实数解，故而不等式的解集为R
例9：解析：
原不等式可化为.
则方程的两根为，
由可知，
(1)当或时，.∴原不等式的解集为或.
(2)当时，，∴原不等的解为或.
(3)当时，原不等式为，∴.
(4)当时，原不等式为，∴.
综上可知：
当或时，原不等式的解集为{x|或}；
当时，原不等式的解集为{x|或}；
当时，原不等式的解集为{x|}；
当时，原不等式的解集为{x}.
四．变式演练与提高
1.解析：
[答案]　D
由题意知,3是方程的两个根，所以，
∴.
2.解析：
[答案]　
①当时，或，
若，则函数化为对任意实数不可能恒大于0.
若，则恒成立．
②当时，据题意应有，
；∴，∴.
综上可知，。
3.解析：
①当时，原不等式可化为，解得.
②当时，原不等式可化为，解得或.
③当时，原不等式可化为
当，即时，解得；
当，即时，解集为?；
当，即时，解得.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为?；
当时，不等式的解集为．
六．课后作业
1.解析：
由不等式解集为得方程仅有一解，由得，；
此时不等式可变为，解之得，从而
2.解析：
[答案]　D
[解析]　原不等式可化为
∵，∴
3.解析：
【分析】
需要分类讨论，先讨论，和；
时，相应二次方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集；时，相应二次方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类．
【详解】
当时，不等式等价于，解得，解集为
当时，原不等式
1）当时，原不等式
①当，即时，易得原不等式解集为
②当，即时，易得原不等式解集为?
③当，即时，易得原不等式解集为
2）当时，原不等式，此时
易得原不等式解集为
综上所述得：
①当时，原不等式解集为
②当时，原不等式解集为
③当时，原不等式解集为
④当时，原不等式解集为?
⑤当时，原不等式解集为
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