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22.2降次──解一元二次方程
22.2.1配方法
第1课时
课前预习篇
1．直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法。x2=p（p≥0），那么x=± HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，达到降次转化之目的．
2．直接开平方法适用的类型
（1）形如x2=p（p≥0）的方程，x=± HYPERLINK "http://www.1230.org/" EMBED Equation.DSMT4 即为方程的根；
（2）方程可化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式，mx+n=± HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，进而解一元一次方程可得解。
典例剖析篇
【例1】(2009温州)方程(x－1)2=4的解是
【解析】观察此方程的特点可知本题可以采用直接开平方法进行解题，即x－1= ±2 所以方程的解为：x1 =3 x2 = －1
【答案】x1 =3 x2 =－ 1
【例2】利用直接开平方法解下列方程：
（1）； （2）；
（3）。
【解析】本题考查了利用直接开平方法求一元二次方程的解。若x2=a（a≥0），那么，解此类题时，要先将方程化为（mx+n）2=p（p≥0）的形式，再开方即可。
解：（1）方程两边同除以16得：，
直接开方得：；
（2）移项得：；即，
直接开平方得：，
所以或，
所以，
（3）直接开平方得：=，
所以或，
所以，
基础夯实篇
1．方程的实数根有（ B ）
A．1个 B．2个 C．1个或2个 D．无数个
2．（2009庆阳）方程的根是（ C ）
A． B． C． D．
3．（2009河南）方程=x的解是（ C ）.
（A）x=1 （B）x=0
(C) x1=1 x2=0 (D) x1=﹣1 x2=0
4．用直接开平方法解方程，得方程的根为（ D ）
（A）x=7+
（B）x=7-
(C) x1=7+ ， x2=7-
(D) x1=7+ ， x2=7-
5．解方程，得该方程的根是（ D ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．无实数根
6．（2010武汉）若是方程=4的两根，则的值是（ D ）
A.8 B.4 C.2 D.0
7．已知方程有两个不相等的实数根，则a与c的关系是（ D ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
8．方程可变为 =81，它的根为 。
9．（2010眉山）一元二次方程的解为___________．
10．（2010本溪）一元二次方程的解是 x=±2 .
11．用直接开平方法解下列方程：
（1）；
解：（1）
（2）．
解：（2）
（3）(1)2y2＝32．
解：
（4）
解：
决胜中考篇
12．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（ B ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
13．（2010台湾） 若a为方程式(x)2=100的一根，b为方程式(y4)2=17的一根， 且a、b都是正数，则ab之值为何？ （ B ）
(A) 5 (B) 6 (C) (D) 10
14．5x2＋125＝0的根是( C )．
A.x1＝5，x2＝－5 B.x＝5
C.无实数根 D.以上均不正确
15．如果x＝4是一元二次方程的一个根，则常数a的值是（ C ）
A．2 B．－2 C．±2 D．±4
16．解下列方程：
(1).
(1)解：原方程可变形为， .
解得
所以原方程的根
(2)(x＋2)2＝5．
（2）
(3)
（3）
(4)5(2x－1)2－125＝0．
（4）
17．解下列方程：
（1）
解：（1）
（2）
解：
18．(2009定西)在实数范围内定义运算“”，其法则为：，求方程（43）的解．
解：∵ ，
∴ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．
第2课时
课前预习篇
1．配方法
通过配方,将方程的左边化成一个含未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,运用直接开平方求出方程的解的方法。
2．用配方法解一元二次方程的步骤
（1）移项；（2）二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m）2=n的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
典例剖析篇
【例1】（2009太原）用配方法解方程时，原方程应变形为（ B ）
A． B．
C． D．
【解析】选B．根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，整理即可得到B项是正确的
【答案】 B
【例2】用配方法解下列方程：、
（1）（2009仙桃）解方程：．
（2）．
【解析】有配方法解一元二次方程时，二次项系数要先化为1，然后再根据一次项系数进行配方，最后按直接开平方的方法得出方程的解。
解：（1）移项得：，
方程两边同时加4得：即：
∴
（2）化二次项系数为1，得．
移项，得．
配方，得．即．
所以，所以，
所以，，
基础夯实篇
1．将9x2＋81y2配成完全平方式应加上( D )．
(A)27xy (B)－54xy
(C) 54xy (D) ±54xy
2．若关于x的二次三项式x2－2ax＋a+6是一个完全平方式，则a的值为( D )．
(A)－2 (B)3
(C)－6 (D)-2或3
3．（2009台州）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（ D ）
A．（ B． C． D．
4．（2009呼和浩特）用配方法解方程，则方程可变形为（ B ）
A． B．
C． D．
5．（2010滨州） 一元二次方程x2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( C )
A.3 B.-1 C.-3 D.-2
6．把方程化成的形式是： ．
7．方程左边配成一个完全平方式，所得的方程是 ．
8．方程的根是______．
9．用适当的数（式）填空：
（1）
（2）
（3） 2 14 ．
（4）（ 36 ）（ 6 ．
（5）（ ）＝（ ．
（6）（ ）＝（．
10．用配方法解下列方程：
（1）x2－2x－1＝0．
解：
∴；
（3）
解：移项,得：，
二次项系数化为1，得：，
两边同时加上1得： ，
，，
，．
决胜中考篇
11．（2010 嵊州）已知是方程的两根，且，则的值等于（ C ）
A．－5 B.5 C.-9 D.9
13．若分式的值为零，则x= 。
14．用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，把方程化为的形式；把常数项移到方程右边即 方程两边同时加上，整理得到 ；当时，，当时，原方程 无解 ．
15．(2010苏州)若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b= 5 ．
16． (2009兰州)用配方法解一元二次方程：
解析：移项，得
二次项系数化为1，得
配方
由此可得
，
（2）
解：
，即
，．
17．（2010 珠海）已知x1=-1是方程的一个根，求m的值及方程的另一根x2。
解：由题意得： 解得m=-4
当m=-4时，方程为
解得：x1=-1 x2=5
所以方程的另一根x2=5
18．用配方法证明：
多项式的值总大于的值．
证明：
，．
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22．2．3因式分解法
课前预习篇
1．因式分解法
若一个一元二次方程等号的一边是0，等号的另一边可以化为两个一次因式的积的形式，这时可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解。这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
2．因式分解法解一元二次方程的步骤
（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的积的形式；（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解。
典例剖析篇
【例1】用因式分解法解下列方程：(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】方程(1)等号右边是零,左边可用提公因式法分解因式;(2)要先移项,使方程右边为零,再利用提公因式法分解因式;方程(3) 等号右边是零,左边是一个完全平方式,用完全平方式分解因式;方程(4) 要先移项,使方程右边为零,再利用平方差公式分解因式.
解: (1)
或
(2)
即
或
(3)
(4)即
或
基础夯实篇
1．方程(x－a)(x－b)＝0的两个根是( A )．
(A)x1＝a，x2＝b (B)x1＝a，x2＝－b
(C)x1＝－a，x2＝b (D)x1＝－a，x2＝－b
2．方程可化成的一元一次方程是（ D ）
A． B．
C． D．
3．（2010内江）方程x(x－1)＝2的解是（ D ）
A．x＝－1 B．x＝－2
C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝－1，x2＝2
4．方程x(x－5)＝2(5－x)的根为( D )．
(A)x＝－5 (B)x＝5
(C)x1＝5，x2＝－5 (D)x1＝5，x2＝－2
5．(2009南充)方程的解是（ D ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2010常德）方程的两根为( A )
A． 6和-1 B．-6和1
C．-2和-3 D．2和3
7．（2009十堰）方程(x＋2)(x－1)=0的解为 －2，1 ．
8．（2010西安）方程的解是 。
9．（2010柳州）关于x的一元二次方程(x+3)(x-1)=0的根是_____ x=1或x=-3________．
10．（2010呼和浩特）方程（x﹣1）（x + 2）= 2（x + 2）的根是 x1 =﹣2，x2 = 3 ．
决胜中考篇
11．下列解方程的过程，正确的是( D )．
(A)2x2＝x，两边同除以x，得x＝2
(B)x2＋36＝0，直接开平方法可得，x＝±6
(C)(x－4)(x＋3)＝3×2 ∵x－4＝3，x＋3＝2， ∴x1＝7，x2＝－1
(D)(2－3x)＋(3x－2)2＝0整理得 3(3x－2)(x－1)＝0 ∴x1＝，x2＝1
12．已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x2－16x＋55＝0的一个根，则第三边长是( A )
A．5 B．5或11 C．6 D．11
13．王刚同学在解关于x的方程x -3x+c=0时，误将-3x看作+3x，结果解得x1=1 x2=-4，则原方程的解为（ ）
A．x1=-1 x2=-4 B.x1=1 x2=4
C．x1=-1 x2=4 D.x1=2x2=3
14．（2009黄石）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ B ）
A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对
15．解下列方程：
（1）
解：
或
即或
（2）.
解：原方程可变形为，
可得
解得
所以原方程的根
（3）
解:
或
即或
（4）
16．用因式分解法解下列方程：
（1）
（2）
解：略。
17．请你用3种方法解方程：10x2－x－3＝0。
解：x1＝，x2＝－
18．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值
解：(x2＋y2)(x2＋y2－1)－12＝0，
(x2＋y2)2－(x2＋y2)－12＝0，
(x2＋y2－4)(x2＋y2＋3)＝0，
∴x2＋y2＝4或x2＋y2＝－3(舍去)?
所以x2＋y2的值为4。
19．已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代数式的值．
解：由x2－xy－2y2＝0，得(x－2y)(x＋y)＝0，∴x－2y＝0或x＋y＝0，∴x＝2y或x＝－y．
当x＝2y时，
．
当x＝－y时，
20．探究下表中的奥秘，并完成填空：
一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解
x2-2x+1=0 x1=1 x2=1 x2-2x+1=（x-1）（x-1）
x2-3x+2=0 x1=1 x2=2 x2-3x+2=（x-1）（x-2）
3x2+x-2=0 x1= x2=-1 3x2+x-2=2（x-）（x+1）
2x2+5x+2=0 x1=- x2=-2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2）
4x2+13x+3=0 x1= - x2= -3 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ 3 ）
将你发现的结论一般化，并写出来
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22.2.2公式法
课前预习篇
1．公式法
已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，则它的两个根x1=，x2=
2．用公式法解一元二次方程的步骤：
（1）变形:化已知方程为一般形式; 确定系数:用a,b,c写出各项系数;（2）计算b2-4ac的值;
（3）代入:把有关数值代入求根公式计算;（4）定根:写出原方程的根.
典例剖析篇
【例1】 用公式法下列一元二次方程：
（1） （2）
【解析】用公式法解一元二次方程时，要先将一元二次方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，再利用公式求解即可。
解：（1）,,
所以，
所以
（2）原方程化为一般形式为：，
，，
所以，
所以。
【例2】（2010 成都）若关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围及的非负整数值.
【解析】此题主要考查学生对一元二次方程的根的判别式的掌握情况。对于ax2+bx+c=0（a≠0），当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程没有实数根；当时，方程有两个相等的实数根。
解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴△=
解得
∴的非负整数值为0,1,
【例3】（2010广州）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值。
【解析】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝，可得出a、b之间的关系，然后将化简后，用含b的代数式表示a，即可求出这个分式的值．
解：∵ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，
∴⊿＝，即．
所以=
∵，∴
基础夯实篇
1．下列方程没有实数根的方程是（ C ）
(A) x +9x=0 (B)2010 x +2x-1=0
(C)2010 x +60x+2=0 (D) (x-1)(x-2)=0
2．（2010益阳）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根，则满足的条件是（ B ）
Ａ．＝0 Ｂ．＞0
Ｃ．＜0 Ｄ．≥0
3．（2010上海）已知一元二次方程 x2 + x ─ 1 = 0，下列判断正确的是（ B ）
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
4．（2010苏州）下列四个说法中，正确的是（ D ）
A．一元二次方程有实数根
B．一元二次方程有实数根
C．一元二次方程有实数根
D．一元二次方程x2+4x+5=a(a≥1)有实数根
5．（2010芜湖）关于x的方程(a －5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（ A ）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5
C．a≥1且a≠5 D．a≠5
6．（2010潍坊）关于x的一元二次方程x2－6x＋2k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ B ）．
A．k≤ B．k＜ C．k≥ D．k＞
7．（2010攀枝花）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ D ）
A．x+1=0 B．9 x—6x+1=0
C．x—ｘ＋２＝０ D．x－２ｘ－２＝０
8．（2010桂林）一元二次方程的解是 （ D ）．
A． B．
C． D．
9．（2010兰州） 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是 且 ．
10．（2010荆门）如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实数根，则实数a的取值范围是 a＜1且a≠0
决胜中考篇
11．（2010杭州）方程 x2 + x – 1 = 0的一个根是 （ D ）
A. 1 – B. C. –1+ D.
12．（2010 孝感）方程的较小根为，下面对的估计正确的是 （ B ）
A． B．
C． D．
13．（2010 钦州）已知关于x的一元二次方程x2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．
14．（2010无锡）方程的解是 ．
14．（2010上海）方程 = x 的根是____ x=3________.
15．（1）解方程:2x2+3x-5=0.
解：因为a=2，b=3，c=-5，b2-4ac=49>0
=
∴.
（2）.
(2) 解:a=1，b= -1，c= -1 ，
所以 ， 故
16．（2010北京）已知关于x的一元二次方程x -4x+m-1=0有两个相等实数根，求的m值及方程的根．
解:由题意可知△=0.
即(－4)2－4x(m－1)=0.
解得m=5.
当m=5时，原方程化为. x2－4x+4 =0
解得x1=x2=2
所以原方程的根为x1=x2=2。
17．（2010 南充）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
解：（1）方程有两个不相等的实数根，
∴＞0．即，解得，．
（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．
如果k＝－1，原方程为 ．
解得，．
（如果k＝－2，原方程为，解得，，）
18．（2010乐山）若关于的一元二次方程有实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）设，求t的最小值．
解：（1）∵一元二次方程有实数根，
∴，
即，
解得．
（3）由根与系数的关系得：，
∴，
∵，∴，
∴，
即t的最小值为－4．
A
B
C
D
Q
P
图（11）
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22．2．4一元二次方程的根与系数的关系
课前预习篇
1．一元二次方程的一般式为： ，其求根公式是： 。
2．一元二次方程的根与系数的关系是：，其文字意义： 两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的商。特别地，若是方程(二次项系数为1) 的两根，则 ，
典例剖析篇
【例1】填空：
（1）方程x2+2x+1=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x1=______，x1·x2=_____；
（2）方程x2-3x-4=0的根为x1=____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____；
（3）方程2x2+3x-1=0的根为x1=_____，x2=_____，则x1+x2=______，x1·x2=_____．
由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？并证明你的猜想．请用你的猜想解答下题
【解析】此题的目的是帮助学生加深对一元二次方程的根与系数的关系的认识，通过同学们自己根据题目中已给出的条件推理，亦可得出一元二次方程式的根与系数的关系。
【答案】（1）-1 -1 -1 1 （2）4 -1 3 -4
（3）-1
由（1）（2）（3）可猜想：对一元二次方程，其两根分别为，则。
证明：设一元二次方程两根分别为，则x1=，x2=
则=+=
x1·x2=×
==
【例2】（2010 成都）设，是一元二次方程的两个实数根，则的值为____．
【解析】根据根与系数的关系是：，得：=3，=-2，将式子变形，使之变出含有的整体，即=，再将其值代入则可求解。
【答案】7
基础夯实篇
1．（2010昆明）一元二次方程的两根之积是（ B ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
2．（2010 玉溪）一元二次方程x2-5x+6=0 的两根分别是x1,x2, 则x1+x2等于（ A ）
A. 5 B. 6 C. -5 D. -6
3．（2010日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（ A ）
（A）－3，2 （B）3，-2
（C）2，－3 （D）2，3
4．如果是一元二次方程的两个实数根，那么－1的值是（ B ）
A．3 B．—3 C． D．—1
5．（2009长沙）已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ A ）
A．1 B． C．2 D．
6．如果是方程的两实根，那么 24
7．（2009梅州）已知一元二次方程的两根为，则=
8．（2010 荷泽）已知2是关于的一元二次方程x2＋4x－p＝0的一个根，则该方程的另一个根是 －6 ．
9．设下列方程中的两根为，，则 3 ，－ 2 ；，则 ， 。
10．（2010娄底）阅读材料：
若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实根为x1、x2，则两根与方程系数之间有如下关系：
x1+x2= －，x1x2=
根据上述材料填空：
已知x1、x2是方程x2+4x+2=0的两个实数根，则 +=__－2 __.
决胜中考篇
11．（2009眉山）若方程的两根为、，则的值为（ B )
A．3 B．－3 C． D．
12． ，，当时，，
，；当时，，，，故原方程的解为，
，，．
解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程．
解：（1）换元法
（2）设，那么原方程可化为
解得；
当时，；
当时，不符合题意，舍去．
原方程的解为，．
20．已知方程的两根都是整数，试求整数a的值。
思路分析：当a取值不同时，方程的系数就随之不同，方程的根的情况也就发生变化。究意什么情况下，方程的两根都是整数呢？还是从根与系数的关系入手比较好。
解：设方程的两整数根为、，根据根与系数关系得：
（1）＋（2）得：
所以
或
或或
所以或或或
因为，所以
只有或符合题意，代入（2）得：
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