24.2.2直线和圆的位置关系
第1课时
课前预习篇
1．直线与圆的位置关系
（1）相离：直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离；
（2）相切：直线与圆只有一个公共点是，叫做直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点；
（3）相交：直线和圆有两个公共点是，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆珠笔的割线。
2．直线与圆的位置关系的判断方法：
（1）代数法（判别式法）；（2）几何法，圆心到直线的距离
典例剖析篇
【例1】(2010重庆)已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离是4cm，则直线l与⊙O的位置关系是________.
【解析】因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相离.
【答案】相离
【例2】菱形对角线的交点O，以O为圆心，以O到菱形一边的距离为半径的圆与其它几边的关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
【解析】因为菱形被对角线分成了四个全等的直角三角形，所以菱形对角线的交点到四边的距离都相等，即圆心O到四边的距离等于半径.
【答案】C
基础夯实篇
1．下列判断正确的是（ D ）
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，则直线与圆相交．
A．①②③ B．①② C．②③ D．③
2．⊙O的半径是10，点O到直线a的距离为15，则直线a与⊙O的位置关系为（ A ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．内含
3.下列四个命题正确的是（ C ）
①与圆有公共点的直线是切线；②垂直于圆的半径的直线是切线；③到圆心的距离等于半径的直线是切线；④过圆直径的端点，垂直于此直径的直线是切线
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4．已知等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm ,底边BC=12cm，若以顶点A为圆心，8cm为半径作圆A，则BC与圆A的位置关系是（ B ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
5．已知圆的半径为r，如果直线与圆有公共点，直线与圆心的距离为d,那么r与d的关系为（ D ）
A．d＞r B.d=r
C.d＜r D.d≤r
6．已知OA平分∠BOC，P是OA上任意一点，如果以P为圆心的圆与OC相离，那么OP与OB的位置关系是（ A ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
7．（2010佛山）如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是( B )
A．MP与RN的大小关系不定 B.MP=RN
C.MP＜RN D.MP＞RN
8．（2010赤峰）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于一点D，点E在⊙O上，∠AED=25°，则∠OBA的度数是______40o _____．
9．（2010义乌）已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线 的距离是5，则⊙O的半径是 5 ．
10．(2010重庆潼南)如图，在矩形ABCD中，AB=6 ，BC=4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是___相离___．
11．（2010长春）如图，⊙P与x轴切与点O，点P的坐标为（0,1），点A在⊙P上，且在第一象限，∠APO=120°，⊙P沿x轴正方向滚动，当点A第一次落在x轴上时，点A的横坐标为 （结果保留）。
决胜中考篇
12．以半圆的一条弦（非直径）为对称轴将弧折叠后与直径交于点，若，且，则的长为 （ A ）
A． B． C． D．4
13． （2010 三明）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴相切于点Q，与y轴交于M（0，2）， N（0，8）两点，则点P的坐标是（ D ）
A．（5，3） B．（3，5） C．（5，4） D．（4，5）
14．（2010青岛）如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（ B ）．
A．相离
B．相切
C．相交
D．相切或相交
15．（2010兰州） 如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为( D )
A．2 B．3 C． D．2
16．（2010宁波）如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线上运动，当⊙P与轴相切时，圆心P的坐标为______（，2）或（，2）_____。
17．(2010怀化)如图6，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则∠ADC=______．
18．（2010达州）如图，一个宽为2 cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么该光盘的直径是 10 cm.
19．（2009新疆）如图，，半径为1cm的 切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与也相切时，圆心移动的水平距离是____cm．
20．(2010毕节)如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．
证明：连接．
∵是⊙O的直径，
．
∵是的中点，
．
．
∵．
．即．
是⊙O的切线．
21．设⊙O的半径为R，直线到圆心O的距离为d。
⑴当d、R是方程的两个根时，直线与圆有怎样的位置关系？
⑵若d、R是方程的两个根，而且直线与⊙O相切，求m的值。
解：⑴∵d、R是方程的两个根
∴d＝5，R＝8或 d＝8，R＝5 。
∴dR。
∴直线与圆相离或相交。
⑵∵直线与⊙O相切，
∴d＝R
∵d、R是方程的两个根，
所以此方程根的判别式=0，即：
36-4m＝0，m=9.
所以当m=9时，直线与⊙O相切。
22．（2010天津）已知是⊙的直径，是⊙的切线，是切点，与⊙交于点.
（Ⅰ）如图①，若，，求的长（结果保留根号）；
（Ⅱ）如图②，若为的中点，求证直线是⊙的切线.
解：（Ⅰ）∵ 是⊙的直径，是切线，
∴ .
在Rt△中，，，
∴ .
由勾股定理，得.
(Ⅱ)如图，连接、，
∵ 是⊙的直径，
∴ ，有.
在Rt△中，为的中点，
∴ .
∴ .
又 ∵，
∴.
∵ ，
∴ .
即 .
∴ 直线是⊙的切线.
第2课时
课前预习篇、
1．切线的判定方法
（1）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）经过半径的外端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。
2．切线的性质
（1）切线和圆只有一个公共点；（2）圆心到切点的距离等于圆的半径；
（3）切线垂直于过切点的直径；（4）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
（5）经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
典例剖析篇
【例1】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．求证:DE是⊙O的切线；
【解析】因为已知点D在圆上，可以采用“连半径，证垂直”来证明.
解:（1）证明：连接OD，则OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，
又∵AB＝AC， ∴∠OBD＝∠C，
∴∠ODB＝∠C ， ∴OD∥AC。
又∵DE⊥AC， ∴∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线.
【例2】 如图，⊙O是△ABC的外接圆，FH是⊙O 的切线，切点为F，FH∥BC，连结AF交BC于E，∠ABC的平分线BD交AF于D，连结BF．
（1）证明：AF平分∠BAC；
（2）证明：BF＝FD；
证明（1）连结OF。∵FH是⊙O的切线，∴OF⊥FH
∵FH∥BC ，∴OF垂直平分BC
∴，∴AF平分∠BAC
（2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 ，∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3 ，∠FDB=∠FBD，∴BF=FD
基础夯实篇
1．已知圆的半径为4 cm，圆心到直线l的距离为3 cm，那么这条直线与这个圆的公共点的个数是（ C ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.无法确定
2．直角三角形外接圆半径是10cm,内切圆半径是2 cm，则此三角形的周长是（ B ）
A.48 cm B.44 cm C.30 cm D.50 cm
3．如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E。若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的周长是（ D ）
A、9 B、10 C、12 D、14
4．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON、NP.下列结论：
1 四边形ANPD是梯形；
2 ON=NP；
3 DP·PC为定植；
4 PA为∠NPD的平分线.
其中一定成立的是（ B ）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④
5．如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（ D ）
①AD⊥BC，②∠EDA＝∠B，③OA＝AC，
④DE是⊙O的切线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P=50°，那么∠ACB等于___65°_ ．
7．（2009荆门）Rt△ABC中，．则△ABC的内切圆半径___2___．
决胜中考篇
8．如图，AB是圆O的直径，AC是圆O的切线，A为切点，连结BC交圆于点D，连结AD，若∠ABC＝45°，则下列结论正确的是（ A ）
A． B．
C． D．
9．（2010温州）如图，在AABC中，AB=BC=2，以AB为直径的⊙0与BC相切于点B，则AC等于( C )
A．
B．
c．2
D．2
10．如图，直线与半径为2的相切于点是上一点，且，弦，则的长度为（ B ）
A．2 B． C． D．
11．（2009钦州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点C在上，若PA长为2，则△PEF的周长是_ 4 _．
12．如图，已知⊙是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，,点在数轴上运动，若过点且与平行的直线与⊙有公共点, 设，则的取值范围是（ C ）
A．－1≤≤1 B．≤≤
C．0≤≤ D．＞
13．如果点P在坐标轴上，以点P为圆心，为半径的圆与直线：相切，则点P的坐标是 （0,0）或（6,0）
14．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP＝，∠A＝30 ．
(1)求劣弧的长；
(2)若∠ABD＝120 ，BD＝1，求证：CD是⊙O的切线．
(1)解：延长OP交AC于E，
∵ P是△OAC的重心，OP＝，
∴ OE＝1，
且 E是AC的中点.
∵ OA＝OC，∴ OE⊥AC.
在Rt△OAE中，∵ ∠A＝30°，OE＝1，
∴ OA＝2.
∴ ∠AOE＝60°.
∴ ∠AOC＝120°.
∴ ＝π.
(2)证明：连结BC.
∵ E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴ BC∥OE，且BC＝2OE＝2＝OB＝OC.
∴ △OBC是等边三角形.
法1：∴ ∠OBC＝60°.
∵ ∠OBD＝120°，∴ ∠CBD＝60°＝∠AOE.
∵ BD＝1＝OE，BC＝OA，
∴ △OAE ≌△BCD.
∴ ∠BCD＝30°.
∵ ∠OCB＝60°，
∴ ∠OCD＝90°.
∴ CD是⊙O的切线.
15．（2010德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点, 交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．
（1）证明：连接OE，
∵AB=AC且D是BC中点，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
∴∠OEA=∠DAE．∴OE∥AD．
∴OE⊥BC．∴BC是⊙O的切线．
（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°．
∴∠EOB =60°． ∴∠EAO =∠EAG =30°．
∴∠EFG =30°．
16．已知：AB是⊙O的弦，D是的中点，过B作AB的垂线交AD的延长线于C．
（1）求证：AD＝DC；
（2）过D作⊙O的切线交BC于E，若DE＝EC，求∠ C的度数．
证明：连BD∵∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD 。
∵∠A+∠C＝90°，∠DBA+∠DBC＝90°，∴∠C＝∠DBC，∴BD＝DC，
∴AD＝DC 。
（2）连接OD∵DE为⊙O切线 ∴OD⊥DE
∵，OD过圆心， ∴OD⊥AB
又∵AB⊥BC ∴四边形FBED为矩形∴DE⊥BC
∵BD为Rt△ABC斜边上的中线∴BD＝DC ∴BE＝EC＝DE
∴∠C＝45°
17．（2010镇江）推理证明
如图，已知△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作DE⊥BC，垂足为E，连结OE，CD=，∠ACB=30°.
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）分别求AB，OE的长；
（3）填空：如果以点E为圆心，r为半径的圆上总存在不同的两点到点O的距离为1，则r的取值范围为 .
（1）∵AB是直径，∴∠ADB=90°
∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.
（2）在，所以BD=BC，所以由勾股定理可求得BC=2
（3）
第3课时
课前预习篇
1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
3．内切圆和内心
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心叫三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点。
典例剖析篇
【例1】AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B,AC交⊙O于D点,过D作⊙O的切线DE交BC于E. 求证:CE=BE.
【解析】证明BE=CE（特点是两线段在一条直线上，且连在一起），就是证明E是BC中点，常用方法有两种，一是利用直角三角形斜边上的中线组成的图形，连接BD，证明BE=DE=EC；二是利用中位线定理的逆定理，因为图中已经有中点O，连接OE，证明OE∥AC。 无论采取哪种方法，都会用到切线长定理。
证法1:连结DB. ∵AB是直径, ∴∠ADB=90°。
∴∠BDC=90°。 ∵BC、DE是切线， ∴BE=ED。
∴∠EBD=∠EDB。 ∵∠EBD+∠C=90°，且∠EDB+ ∠EDC=90°， ∴∠EBD+∠C=∠EDB+∠EDC。 ∴∠C =∠EDC。 ∴ED=EC。 ∴BE=EC。
证法2：连结OD、OE。 ∵DE切⊙O于D， ∴OD⊥DE。 ∴∠ODE=90°。 同理∠B=90°。 ∵OB=OD，且OE=OE， ∴△ODE≌△OBE。 ∴∠BOE=∠EOD。 ∴∠BOE=∠A。 ∴OE∥AC。
∵O是AB中点， ∴E是BC中点。 ∴BE=EC。
【例1】如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（ ）
A．130° B．100° C．50° D．65°
【解析】此题解题的关键是弄清三角形内切圆的圆心是三角形内角平分线的交点．先根据三角形内角和180°的性质求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质求出∠CBO+∠BCO的度数，再根据三角形内角和180°的性质即可求得∠BOC的度数。此题∠BOC=130°
【答案】130°
基础夯实篇
1．三角形的内心是（ C ）
A．三边中垂线的交点
B．三边高的交点
C．三内角平分线的交点
D．三边中线的交点
2．到三角形各边距离相等的点是三角形的（ B ）
A.外心 B.内心 C.中心 D.重心
3．既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（ D ）
A.矩形 B.菱形 C.矩形和菱形 D.正方形4．（2010珠海）如图，PA、PB是O的切线，切点分别是A、 B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等于（ D ）
A.60°
B.90°
C.120°
D.150°
5．圆O内切Rt△ABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是（ A ）
A．正方形 B．菱形
C．矩形 D ．直角梯形
6．PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，则下列结论不正确的是（ C ）．
A．OP⊥AB B．OP平分AB
C．∠BAP=90° D．∠APO=∠BPO
7．已知，如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，OP交弦AB于点F，连接OA、OB，则图中全等三角形的对数为（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，等边三角形的内切圆半径为3，则的周长为 ．
决胜中考篇
9．（2009绵阳）一个钢管放在V形架内，右图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25 cm，∠MPN = 60，则OP =( A )
A．50 cm B．25cm
C．cm D．50cm
10．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=3，CD=2，BF=6，且△ABC的面积为6．则内切圆的半径= ．
11．如图，⊙I内切于△ABC，切点分别是D、E、F，∠A=64°，求∠EDF的度数．
解：连结IE，IF．
∵ ⊙I分别切AC、AB于E、F，
∴ ∠AEI=∠AFI=90°。
∴ ∠EIF=360°-∠AEI-∠AFI-∠A
=360°-90°×2-64°
=116°．
12． （2010无锡）如图，已知点，经过A、B的直线以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为秒．
（1）用含的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥轴
于D,问：为何值时,以P为圆心、1为半
径的圆与直线OC相切？并说明此时
与直线CD的位置关系．
解：⑴作PH⊥OB于H ﹙如图1﹚，∵OB＝6，OA＝，∴∠OAB＝30°
∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝，HP＝ ;
∴OH＝，∴P﹙，﹚
⑵当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图2﹚，
∵OB＝，∠BOC＝30°
∴BC＝
∴PC
由，得 ﹙s﹚,此时⊙P与直线CD相割．
当⊙P在左侧与直线OC相切时﹙如图3﹚，
PC
由，得﹙s﹚，此时⊙P与直线CD相割．
综上，当或时，⊙P与直线OC相切，⊙P与直线CD相割．
E
D
C
A
B
P
C
D
B
O
A
B
C
A
E
F
D
O
B
C
A
E
F
D
(第9题图)
O
H
H
H
G
O
F
O
A
D
B
E
C
第24题图
图3
图1
图2登陆21世纪教育 助您教考全无忧
24．2 与圆有关的位置关系
24.2.1点与圆的位置关系
课前预习篇
1．点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r, 点P到圆心的距离为d ,则有：
（1）若点P在圆上，则d=r；（2）若点P在圆内，则d＜r；
（3）若点P在圆外，则d＞r
2．确定圆的条件
（1）过一个已知点可以做无数个圆；（2）过两个已知点可以做无数个圆，圆心在两个已知点所连线段的垂直平分线上；
（3）过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，过同一直线上的三点不能作圆。
3．三角形的外接圆及三角形的外心
经过三角形的三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，其圆心叫三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点。这个三角形叫做圆的内接三角形。
典例剖析篇
【例1】（2009江西）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a , ⊙A的半径为2.下列说法中，不正确的是（ ）
A．当a＜5 时，点B在⊙A内
B．当1＜a＜5 时，点B在⊙A内
C．当a＜1 时，点B在⊙A外
D．当a＞5 时，点B在⊙A外
【解析】解答本题可以通过数轴，将点A的位置在数轴上表示出来（如图），结合题目中的四个选项，采用排除法即可求解.
【答案】A
【例2】根据下列条件，能且只能画一个圆的是（ ）
A．经过点A且以r为半径画圆
B．经过点、B且以r为半径画圆
C．经过△ABC的三个顶点画圆
D．过不在同一直线上的四个点画圆
【解析】△ABC的三个顶点不在同一直线上，故不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故选C。
【答案】C
基础夯实篇
1．下列说法正确的是（ D ）
A．经过三点只可以作一个圆
B.一个圆有多个内接三角形，一个三角形也有多个外接圆
C.三角形的外心到三角形各边的距离相等
D.三角形的外心到三角形各个项点的距离相等
2．下列命题中，错误的是（ D ）
①三角形只有一个外接圆 ②直角三角形的外心在三角形的边上 ③钝角三角形的外心在三角形的外部 ④等边三角形的外心也是其三边中垂线、高及角平分线的交点 ⑤锐角三角形的外心不可能在三角形的边上
A．0个 B.1个 C.2个 D.3个
3．若一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ A ）
A．锐角开角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
4．圆心都为O的甲、乙两圆半径分别为R与r，且r＜OA＜R,那么点A在（ C ）
A．乙圆内 B.甲圆外
C.乙圆外甲圆内 D.无法确定
5．（2010宜宾）若⊙O的半径为4cm，点A到圆心O的距离为3cm，那么点A与⊙O的位置关系是( A )
A．点A在圆内 B．点A在圆上
C．点A在圆外 D．不能确定
6．（2010兰州） 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ B ）
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
7．（2010乌鲁木齐）如图2，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4），（5，4），（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是( D )
A．（2，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（3，1）
8．（2010昆明）半径为r的圆内接正三角形的边长为 r .（结果可保留根号）
决胜中考篇
9．已知⊙O的半径为5㎝，点P到圆心O的距离为㎝，那么点P的位置（ A ）
A.一定在⊙O的内部 B.一定在⊙O的外部
C.一定在⊙O的上 D.不能确定
10．（2010陕西）如图，点A、B、P在⊙O上，点P为动点，要使△ABP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有（D）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
11（2010河北）如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是( B )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
12． (2010苏州)如图，已知A、B两点的坐标分别为、(0，2)，P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为 ．
13．（2010济南）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为 ．
14．（2009新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点，已知点的坐标是，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_____．
15．（2010江西）如图，以点P为圆心的圆弧与X轴交于A，B；两点，点P的坐标为（4，2）点A的坐标为（2，0）则点B的坐标为 ．
16．爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域，这个导火索的长度是18cm，那么点导火索的人每秒跑6.5m是否安全 ？ 安全 ．
17．（2010淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点．E为⊙O上在第一象限的某一点，直线BF交⊙O于点F，且∠ABF＝∠AEC，则直线BF对应的函数表达式为 ， ．
18.用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。
已知：如图，⊙O中不是直径的弦AB与CD相交于点P。
求证：AB与CD不能互相平分。
证明：连接OP，假设AB与CD互相平分，即PA=PB，PC=PD。
根据垂径定理，有OP⊥AB,OP⊥CD,这样过P点有两条直线AB、CD都垂直于OP，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，假设不成立，故AB与CD不能互相平分。
P
C
B
A
Q
R
M
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24.2.3圆和圆的位置关系
课前预习篇
1．圆和圆的位置关系
（1）在同一平现内，两圆的位置关系有以下5种：
2．两圆的各种位置和两圆半径（设为R，r）与圆心距（设为d）之间的数量关系之间的转换。
（1）两圆外离 d > R+r； （2）两圆外切 d = R+r
（3）两圆相交 R- rr)
（5）两圆内切 d = R- r，（R>r)
3．如果两圆相切，那么两圆的连心线经过切点；如果两圆相交，两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
典例剖析篇
【例1】已知半径分别为6 cm和9 cm的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ C ）
A．1 cm B．3 cm C．10 cm D．15 cm
【解析】本题考查了两圆相交时，其圆心距取值范围的知识。当两圆相交时，圆心距的取值范围是，所以此题选C。
【答案】C
【例2】 如果两圆外切，切点为M，外公切线AB，切点为A、B，则∠AMB＝_________。
【解析】 如图所示，过点M作两圆的公切线交AB于点C，
∵AB是两圆的公切线，
∴CA=CM=CB
∴∠CAM=∠CMA
∠CBM=∠CMB，
∵∠CAM+∠CMA+∠CBM+∠CMB=180°
∴∠CMA+∠CMB=90°
即∠AMB=90°，故填90°
【答案】90°
【例3】两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm，则AB的长为_____________。
【解析】公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键。如图所示，连结O1A、O2B，过点A作AC∥O1O2，则∠BAC=30°，AC=O1O2=10cm，
在Rt△中，根据30°所对的直角边长为斜边的一半及勾股定理即可求得AB的长。AB的长为cm。
【答案】
基础夯实篇
1．（2010上海）已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则圆O1与圆O2的位置关系是（ A ）
A.相交或相切 B.相切或相离
C.相交或内含 D.相切或内含
2．（2010宁波）两圆的半径分别为3和5，圆心距为7，则两圆的位置关系是( B )
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
3．（2010常州）若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为( B )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
4．（2010兰州）已知两圆的半径R、r分别为方程的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是（ B ）
A．外离 B．内切 C．相交 D．外切
5．（2010无锡）已知两圆内切，它们的半径分别为3和6，则这两圆的圆心距d的取值满足（ D ）
A． B．
C． D．
6．（2010长沙）已知⊙O1、⊙O2的半径分别是、，若两圆相交，则圆心距O1O2可能取的值是( B )
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2010成都）已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（ A ）
A.相交 B.外切 C.外离 D.内含
8．（2010眉山）4．⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为5cm，圆心距O1O2=2cm，这两圆的位置关系是( C )
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含
9．（2010金华） 如果半径为3cm的⊙O1与半径为4cm的⊙O2内切，那么两圆的圆心距O1O2＝ 1 cm.
10．（2010株洲）两圆的圆心距，它们的半径分别是一元二次方程的两个根，这两圆的位置关系是 外切 .
决胜中考篇
11．（2010宁德）如图，在8×4的方格（每个方格的边长为1个单位长）中，⊙A的半径为1，⊙B的半径为2，将⊙A由图示位置向右平移1个单位长后，⊙A与静止的⊙B的位置关系是（ D ）．
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切
12．如图，一种圆管的横截面是同心圆的圆环面，大圆的弦AB切小圆于点C，大圆弦AD交小圆于点E和F．为了计算截面(图中阴影部分)的面积，甲、乙、丙三位同学分别用刻度尺测量出有关线段的长度．甲测得AB的长，乙测得AC的长，丙测得AD的长和EF的长．其中可以算出截面面积的同学是( C )
A．甲、乙 B．丙
C．甲、乙、丙 D．无人能算出
13．四个半径为的圆如图放置，相邻两个圆交点之间的距离也为，不相邻两个圆的圆周上两点间的最短距离等于2，则的值是( A )
A． B． C． D．
14．（2010杭州）如图，5个圆的圆心在同一条直线上, 且互相相切，若大圆直径是12，4个 小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为 （ B ）
A. 48 B. 24 C. 12 D. 6
15．（2010咸宁）如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若，则的度数为（ B ）
A． B． C． D．
16．（2010芜湖）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一圆的半径为___3或17____．
17．（2010益阳）1如图5，分别以A、B为圆心，线段AB的长为半径的两个圆相交于C、D两点，则∠CAD的度数为 120° ．
18．（2010徐州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆的半径为5 cm，小圆的半径为3 cm，则弦AB的长为____8___cm．
19．已知两圆的半径分别为8和6，如果两圆的圆心距为14，则两圆的公切线条数有____3____。
20．（2010兰州） 如图，扇形OAB，∠AOB=90，⊙P 与OA、OB分别相切于点F、E，并且与弧AB切于点C，则扇形OAB的面积与⊙P的面积比是 ．
21．如图，两半径为的等圆⊙O1和⊙O2相交于M，N两点，且⊙O2过点O1．过M点作直线AB垂直于MN，分别交⊙O1和⊙O2于A，B两点，连结NA，NB．
（1）猜想点O2与⊙O1有什么位置关系，并给出证明；
（2）猜想△NAB的形状，并给出证明；
解：（1）O2在⊙O1上
证明：∵⊙O2过点O1，
∵O1 O2＝。
又∵⊙O1的半径也是，
点O2在⊙O1上．
（2）△NAB是等边三角形
证明：∵MN⊥AB，
∴∠NMB＝∠NMA＝ 90°．
∴BN是⊙O2的直径，AN是⊙O1的直径，
即BN＝AN＝2，O2在BN上，O1在AN上．
连结O1 O2，则O1 O2是△NAB的中位线．
∴AB＝2 O1 O2＝2．
∴AB＝BN＝AN，则△NAB是等边三角形．
22．如图，圆心为A、B、C的三个圆彼此相切，且均与直线l相切，若⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为a,b,c,(0＜c＜a＜b),则a、b、c一定满足的关系式为（ D ）
A.2b=a+c B.
C. D.
23．已知半径分别为R和r（R＞r）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，求R：r的值。
解：连结O1A、O2B、O1O2（如图所示），则O1A⊥AB，O2B⊥AB，O1O2过点P且平分∠APC，过点O2作O2E⊥O1A，则O2E∥AB
∴∠O1O2E=∠O1PA=45°，
∴△O1O2E是等腰直角三角形。
∴，
∵，
∴
∴，
∴
B
A
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