人教版九年级数学上册第二十四章第三节正多边形和圆课时同步训练

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24.3正多边形和圆
课前预习篇
1．正多边形有关的概念：
（1）中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的叫心；
（2）半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径；
（3）中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
（4）边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。
2．与正n边形有关的计算：
（1）正n边形每个内角的度数为：，每个外角的度数为：；
（2）正n边形中心角的度数为：；
（3）若正n边形的边长为a,半径为R，边心距为 r，则有关系式：。
典例剖析篇
【例2】如图，两相交圆的公共弦AB为，在⊙O1中为内接正三角形的一边，在⊙O2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
【解析】欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径与的平方比即可。
解：设正三角形外接圆⊙O1的半径为，正六边形外接圆⊙O2的半径为，由题意得：，，∴∶＝∶；∴⊙O1的面积∶⊙O2的面积＝1∶3。
基础夯实篇
1．下列命题中,假命题的是( B )
A.各边相等的圆内接多边形是正多边形.
B.正多边形的任意两个角的平分线如果相交,则交点为正多边形的中心.
C.正多边形的任意两条边的中垂线如果相交,则交点是正多边形的中心.
D.一个外角小于一个内角的正多边形一定是正五边形.
2．下列说法正确的是（ D ）
A．正五边形是中心对称图形
B．每个角都相等的圆内接多边形是正多边形
C．四个角相等的圆内接正多边形是正主形
D．正n边形有n条对称轴
3．（2009天津）边长为的正六边形的内切圆的半径为（ C ）
A．　　B．　　C．　　D．
4．同圆的内接正四边形与外切正四边形的面积之比是( )
A.1: B.1: C.1:2 D.:1
5．正六边形的两条平行边间距离是1,则边长是( )
A. B. C. D.
6．（2010台湾）如图(十六)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH，若△ADE的面积为 10，则正八边形ABCDEFGH的面积为何？（ A ）
(A) 40 (B) 50 (C) 60 (D) 80 。
8．正三角形的边心距、半径和高的比是( )
A.1:2:3 B.1:: C.1::3 D.1:2:
9．（2010晋江）将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形ABCD，则∠BAD的大小是_72___度.
10．（2010 嵊州）如图，7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为 。
决胜中考篇
11．（2010 德州）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是（ C ）
(A)0，1，2，3 (B)0，1，2，4
(C)0，1，2，3，4 (D)0，1，2，4，5
12．（2010毕节）如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为（　C 　）
A B. 9 cm
C. cm D. cm
13．（2010 绵阳）如图，等腰梯形ABCD内接于半圆D，且AB = 1，BC = 2，则OA =（ A ）．
A． B． C． D．
14．（2009台州）⊙的内接多边形周长为3 ，⊙的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ C ）
A． B． C． D．
15．（2010 济南） 如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口a的值应是（　A　）
　
A． cm　　 　 　　B．cm
　　 C． cm　　 　D．1cm
16．（2010宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若，。
（1）求⊙O的半径;
（2）求图中阴影部分的面积。
解：（1）∵直径AB⊥DE， ∴。
∵DE平分AO， ∴。
又∵，∴。
在Rt△COE中，所以CO=OE，
所以可由勾股定理求得OE=2
∴⊙O的半径为2。
（2）连结OF
在Rt△DCP中，∵
∴，∴
∴
17．如图，有一个圆O和两个正六边形， .的6个顶点都在圆周上，的6条边都和圆O相切（我们称，分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形） .
（1）设，的边长分别为，，圆O的半径为，求及的值；
（2）求正六边形，的面积比：的值 .
答案：（1）连接圆心O和T的6个顶点可得6个全等的正三角形 .所以r∶a=1∶1;
连接圆心O和T相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以r∶b=∶2;
（2）∶的连长比是∶2，所以S∶S=
18．（2010邵阳）阅读下列材料，然后解答问题。
经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图（十三），已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为S，正四边形ABCD的面积为S，以圆心O为顶点作∠MON，使∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别与⊙O相交于点E、F，分别与正四边形ABCD的边相交于点G、H。设OE、OF、及正四边形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S
（1）当OM经过点A时（如图①），则S、S、S之间的关系为：S＝ （用含S、S的代数式表示）；
（2）当OM⊥AB时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由。
（3）当∠MON旋转到任意位置时（如图③，）则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．
解：（1）
（2）成立。理由：连OB，可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
（3）成立。过点O分别作AB、BC的垂线交AB、BC于点P、Q，交圆于点X、Y，可证直角三角形OPG全等于直角三角形OQH，可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积．
19．（2010嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个的顶点与点P重合，第二个的顶点是与PQ的交点，…，最后一个的顶点、在圆上．
（1）如图1，当时，求正三角形的边长；
（2）如图2，当时，求正三角形的边长；
（3）如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．
解：（1）设与交于点D，连结，
则，
在中，，
即，解得．
（2）设与交于点E，连结，
则，
在中，
即，解得．
（3）设与交于点F，连结，
则，
在中，
即，解得．
H
G
F
E
D
C
A
B
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