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华师版数学八年级上14.1.1
直角三角形三边的关系导学案
课题
14.1.1
直角三角形三边的关系
单元
第14章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、会用数格子的方法求正方形的面积.
2、在直角三角形中，已知两边能求第三边.
重点
难点
在直角三角形中，已知两边能求第三边.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为（ ）
5
B.
6
C.
8
D.
10
2、
若直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边为（ ）
A.
8
B.
12
C.
20
D.
65
合
作
探
究
探究一：
图14.1.1是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即AC2+BC2=AB2
在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
观察图14.1.2,如果每一小方格表示1平方厘米，
那么可以得到:
正方形P的面积=_________平方厘米;
正方形Q的面积=_________平方厘米;
正方形R的面积=__________平方厘米.
(每一小方格表示1平方厘米)
图14.1.2
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系___________________________
由此，我们得出Rt
△ABC的三边长度之间存在的关系是________________
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
由上面的探索可以发现:对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
探究二：
图14.1.4是弦图的示意图,它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形.大正方形的面积等于c2
,同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和,于是有4·ab
+
(b-a)2=
c2
,化简即得a2+
b2=
c2,这就证明了勾股定理.
图14.1.4
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图14.1.5所示的图形与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
探究三：
例1
在Rt△ABC中，已知∠B=90°,AB=6,
BC=8.求AC.
例2
如图14.1.6,
Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm,另一直角边BC长为6
cm.求AC的长.
图14.1.6
例3
如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远?
图14.1.7
注意:
(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。
(2)勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系:两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。
当
堂
检
测
1、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1+S2=36，则S3=（ ）
A.
25
B.
36
C.
40
D.
49
2、
直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A.
25
B.
14
C.
7
D.
7或25
3、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？
课
堂
小
结
这节课你学习了哪些知识？解决了什么问题。
参考答案
自主学习：
1、
解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∵AB=5，AD=3，
∴BD==4，
∴BC=2BD=8，
故选：C．
2、解：∵直角三角形中，斜边的长为13，一条直角边长为5，
∴另一条直角边=，
故选：B．
合作探究：
探究一：
9
16
25
SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2
斜边的长为13cm，上述关系对这个直角三角形仍然成立.
探究二：
证明：∵S正方形=(a+b)2=
∴a2
+
b2
+
2ab
=
c2+2ab
可得:
a2
+
b2
=
c2
探究三：
1、解：根据勾股定理，可得
AB2+
BC2=
AC2.
所以
2、解
由已知AB=AC-2,BC=6cm,根据勾股
定理
,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得
AC
=
10(
cm).
3、解
如图14.1.
7,在Rt△ABC中，
AC=160米，BC=128米，
根据勾股定理，可得
答:从点A穿过湖到点B有96米.
当堂检测：
1、解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2，
又由正方形面积公式得S1=AB2，S2=AC2，S3=BC2，
∴S3=S1+S2=36．
故选：B．
2、解：分两种情况：
①当3和4为两条直角边长时，
由勾股定理得：
第三边长的平方=斜边长的平方=32+42=25；
②当4为斜边长时，
第三边长的平方=42-32=7；
综上所述：第三边长的平方是7或25．
故选：D．
3、解：根据题意可知AB=50米，AC=BC+10米，
设BC=x，由勾股定理得AC2=AB2+BC2，
即（x+10）2=502+x2，解得x=120．
答：该河的宽度BC为120米．
课堂小结：
1.
直角三角形满足勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系.
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精品试卷·第
2
页
（共
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14.1.1
直角三角形三边的关系
数学华师版
八年级上
新知导入
展现在大屏幕上的是2002年
国际数学家大会的会标。这
个标志的设计基础是1700多年前,中国古代数学家赵爽的弦图,是为了证明发明于中国周代的勾股定理而绘制的。
新知讲解
图14.1.1是正方形瓷砖铺成的地面，观察图中着色的三个正方形，显然，两个小正方形P、Q的面积之和等于大正方形R的面积.即AC2+BC2=AB2
P
Q
R
A
B
C
新知讲解
在等腰直角三角形ABC中，两直角边的平方和等于斜边的平方.那么在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢?
新知讲解
试一试
观察图14.1.2,如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到:
正方形P的面积=_________平方厘米;
正方形Q的面积=_________平方厘米;
正方形R的面积=__________平方厘米.
(每一小方格表示1平方厘米)
图14.1.2
16
9
25
新知讲解
我们发现，正方形P、Q、R的面积之间的关系是___________________________
由此，我们得出Rt
△ABC的三边长度之间存在的关系是________________
(每一小方格表示1平方厘米)
图14.1.2
SP+SQ=SR
AC2+BC2=AB2
新知讲解
画出两条直角边分别为5cm、12cm的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长，并验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
做一做
新知讲解
斜边的长为13cm，上述关系对这个直角三角形仍然成立.
新知讲解
概括
由上面的探索可以发现:对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
这种关系我们称为勾股定理.
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
新知讲解
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.
新知讲解
图14.1.4是弦图的示意图,它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成,恰好拼成一个大正方形.
大正方形的面积等于c2
,同时它的面积又等于四个全等的直角三角形和小正方形的面积之和,于是有
4·
ab
+
(b-a)2=
c2
,化简即得a2+
b2=
c2,这就证明了勾股定理.
图14.1.4
新知讲解
做一做
用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图14.1.5所示的图形.与上面的方法类似，根据这一图形，也能证明勾股定理.请你试一试，写出完整的证明过程.
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
图14.1.5
新知讲解
证明：∵S正方形=(a+b)2
=
∴a2
+
b2
+
2ab
=
c2+2ab
可得:
a2
+
b2
=
c2
b
a
b
a
b
a
b
a
c
c
c
c
图14.1.5
新知讲解
例1
在Rt△ABC中，已知∠B=90°,AB=6,
BC=8.求AC.
解：根据勾股定理，可得
AB2+
BC2=
AC2.
所以
应用勾股定理,由直角
三角形任意两边的长度，可以求出第三边的长度.
新知讲解
例2
如图14.1.6,
Rt△ABC的斜边AC比直角边
AB长2cm,另一直角边BC长为6
cm.求AC的长.
解
由已知AB=AC-2,BC=6cm,
根据勾股定理
,可得
AB2+BC2=(AC-2)2+62=AC2，
解得
AC
=
10(
cm).
C
A
B
图14.1.6
新知讲解
变式
如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为（ ）
A.
5
B.
9
C.
16
D.
25
解：由勾股定理得，AB2=32+42=25，
∴以AB为边长的正方形面积AB2=52=25
新知讲解
例3
如图14.1.7,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形.通过测量，得到AC的长为160米，BC的长为128米.问从点A穿过湖到点B有多远?
图14.1.7
新知讲解
解
如图14.1.7,在Rt△ABC中，
AC=160米，BC=128米，
根据勾股定理，可得
=96(米).
答:从点A穿过湖到点B有96米.
图14.1.7
注意:
(1)勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，三边就没有这种关系。
(2)勾股定理揭示的是直角三角形三边之间的数量关系:两直角边的平方和等于斜边的平方，不是任意两边的平方和都等于第三边的平方。
新知讲解
课堂练习
1、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图，分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1+S2=36，则S3=（ ）
A.
25
B.
36
C.
40
D.
49
课堂练习
解：∵在Rt△ABC中，AC2+AB2=BC2，
又由正方形面积公式得S1=AB2，S2=AC2，S3=BC2，
∴S3=S1+S2=36．
故选：B．
课堂练习
2、直角三角形中，有两边的长分别为3和4，那么第三边的长的平方为（ ）
A.
25
B.
14
C.
7
D.
7或25
课堂练习
解：分两种情况：
①当3和4为两条直角边长时，
由勾股定理得：
第三边长的平方=斜边长的平方=32+42=25；
②当4为斜边长时，
第三边长的平方=42-32=7；
综上所述：第三边长的平方是7或25．
故选：D．
拓展提高
3、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米.
拓展提高
解：根据题意可知AB=50米，
AC=BC+10米，
设BC=x，由勾股定理得
AC2=AB2+BC2，
即（x+10)2=502+x2，
解得x=120．
答：该河的宽度BC为120米．
课堂总结
这节课你学习了哪些知识？解决了什么问题？
1.
直角三角形满足勾股定理：
两直角边的平方和等于斜边的平方.
2．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形任意两边，求第三边；
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；
（3）用于说明平方关系
板书设计
课题：14.1.1
直角三角形三边的关系
?
教师板演区
?
学生展示区
一、勾股定理
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P111练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P112练习第1、2题
