人教版八年级上册数学课件：12.3角的平分线的性质（共37张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版八年级上册数学课件：12.3角的平分线的性质（共37张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-29 14:00:59 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
12.3角的平分线的性质
角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线..
1.什么叫角平分线？
复习：
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
下图是一个平分角的仪器，其中AB
=AD，
BC
=DC，将点A
放在角的顶点，AB
和AD
沿着角的两
边放下，沿AC
画一条射线AE，AE
就是∠DAB
的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
1/2
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
思考
A
O
B
P
E
D
C
你能证明吗？
将∠AOB
沿OC
对折，我发现PD与PE
重合，
即PD与PE相等.
图1-26
∵
PD⊥OA，
PE⊥OB，
∴
∠PDO
=∠PEO
=
90°.
在△PDO和△PEO中，
∵
∠PDO
=∠PEO，
∠DOP
=∠EOP，
OP
=
OP，
∴
△PDO≌△PEO.
∴
PD
=
PE.
我们来证明这个结论.
图1-26
图1-26
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵∠1=
∠2
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∴PD=PE.
∵
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∴PD=PE.
C
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
同学甲、乙谁的画法是正确的?
B
思考：
如图所示OC是∠AOB
的平分线,P
是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
O
A
E
D
C
P
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
1、
∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,
DE⊥AB
∴___________
(______________________________)
A
C
D
E
B
1
2
DC=DE
角平分线上的点到角的两边的距离相等
2、判断题（
）
∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD
=
DC
，
(
)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
×
∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
例1.
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD
、PE、PF分别垂直于AB、BC、
CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理
PE=PF.
∴
PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
D
E
F
A
B
C
P
M
N
例2.
已知：在等腰Rt△ABC中，AC
＝
BC
∠C＝90°，AD平分∠
BAC，DE⊥AB于点E。
求证：BD＋DE
＝AC
变式
已知AB
＝15cm,
求△DBE的周长
E
D
C
B
A
动脑筋
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？
如图1-27，点P
在∠AOB
的内部，
作PD⊥OA，
PE⊥OB，
垂足分别为点D，E.
若PD=
PE，
那么点P在∠AOB的平分线上吗？
图1-27
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵
OP
=
OP，PD
=
PE，
∴
Rt△PDO≌Rt△PEO.
∵
PD⊥OA，
PE⊥OB，
∴
∠PDO
=∠PEO
=
90°.
如图1-27，过点O，P作射线OC.
∴
∠AOC
=∠BOC.
∴
OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
图1-27
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
角平分线的判定定理：
A
O
B
P
D
E
C
用符号语言表示为：
∵
PD
⊥OA
，PE
⊥OB且PD=PE
∴
OC平分∠AOB
.
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：
已知：如图在四边形
ABCD中，
AB＝AD，
AB⊥BC，AD⊥DC．
求证：点
A在∠DCB的平分线上．
举
例
例1
如图1-28，∠BAD
=∠BCD
=
90°，∠1=∠2.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
图1-28
证明：
在△ABC中，
∵
∠1=∠2，
∴
BA
=
BC.
又
BA⊥AD，
BC⊥CD，
∴
点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
图1-28
证明：
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵
BA
=
BC，
BD
=
BD，
∴
Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴
∠ABD
=∠CBD.
∴
BD是∠ABC的平分线.
（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
例
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
B
C
P
M
N
A
B
C
P
M
N
练习：
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD
、PE、PF分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为D、E、F
F
D
E
D
E
又∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理
PE=PF.
∴
PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
想一想，点P在∠A
的
平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，
FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
解：设要截取的长度为Ｘm,则：
练习：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺
1：20
000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
解得：Ｘ＝0.025m
＝2.5cm
Ａ
则点Ａ即为所求的点
拓展思维：若把在Ｓ区去掉，有几处A点
解
作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所
求作的点P.（提示：用尺规作图）
练习
如图，在直线MN上求作一点P
，使点P到∠AOB两边
的距离相等.
P
2.
如图，在△ABC
中，AD
平分∠BAC，
DE⊥AB
于点E，DF⊥AC
于点F，BD=CD.
求证：AB=AC.
证明
∵
点D在∠BAC的平分线上，
DE⊥AB，DF⊥AC
，
∴
DE
=
DF.
∴
AB
=
AC.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵
BD
=
CD，
DE
=
DF，
∴
Rt△BED≌Rt△CFD.
∴
∠B
=∠C.
动脑筋
如图1-29，
已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF
的中点.
需添加一个什么条件，
就可使CM，AM
分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
图1-29
图1-29
∵
ME⊥CD，
MN⊥CA，
同理可得AM是∠CAB的平分线.
可以添加条件MN
=ME
（或MN
=MF）.
∴
M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.
图1-29
如图1-30，在△ABC
的外角∠DAC
的平分线上任取
一点P，作PE⊥DB，
PF⊥AC，
垂足分别为点E，F.
试探索BE
+
PF与PB的大小关系.
例2
∴
PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
∴
BE+PF>PB.
∵
AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB，
PF⊥AC，
解
图1-30
举
例
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(
)
A.一处
B.
两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
练习3
如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
练习
如图，E
是∠AOB
的平分线上一点，EC⊥OA
于点C，ED⊥OB
于点D.
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD.
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，
∵
OE=
OE，
ED
=
EC，
∴
Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴
OD=OC.
证明
（1）∵
点E在∠BOA的平分线上，
EC⊥AO，ED⊥OB
，
∴
ED
=EC.
∴
∠ECD=∠EDC.
∴
△EDC
是个等腰三角形.
2.
如图，在△ABC
中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，
BC
分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.
求证：AB=AD+BE.
M
证明
作CM⊥AB于点M.
∵
AC，BC
分别平分∠BAD，∠ABE，
∴
CD
=
CM，CE
=
CM.
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵
CM
=
CD，AC
=
AC，
∴
Rt△ACD
≌Rt△ACM.
∴
AD
=
AM.
同理，
BE
=
BM.
又
AB=AM+BM，
∴
AB=AD+BE.
12.3角的平分线的性质
角平分线是从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线..
1.什么叫角平分线？
复习：
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
下图是一个平分角的仪器，其中AB
=AD，
BC
=DC，将点A
放在角的顶点，AB
和AD
沿着角的两
边放下，沿AC
画一条射线AE，AE
就是∠DAB
的平分
线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于
1/2
ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
思考
A
O
B
P
E
D
C
你能证明吗？
将∠AOB
沿OC
对折，我发现PD与PE
重合，
即PD与PE相等.
图1-26
∵
PD⊥OA，
PE⊥OB，
∴
∠PDO
=∠PEO
=
90°.
在△PDO和△PEO中，
∵
∠PDO
=∠PEO，
∠DOP
=∠EOP，
OP
=
OP，
∴
△PDO≌△PEO.
∴
PD
=
PE.
我们来证明这个结论.
图1-26
图1-26
用符号语言表示为：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵∠1=
∠2
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∴PD=PE.
∵
OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，
PD
⊥OA
，PE
⊥OB
∴PD=PE.
C
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
同学甲、乙谁的画法是正确的?
B
思考：
如图所示OC是∠AOB
的平分线,P
是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?
O
A
E
D
C
P
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.
1、
∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,
DE⊥AB
∴___________
(______________________________)
A
C
D
E
B
1
2
DC=DE
角平分线上的点到角的两边的距离相等
2、判断题（
）
∵
如图，AD平分∠BAC（已知）
∴
BD
=
DC
，
(
)
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
×
∵
如图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD
CD
（×）
∵
AD平分∠BAC,
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）
∴
=
，（
）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
例1.
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD
、PE、PF分别垂直于AB、BC、
CA，垂足为D、E、F
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE
（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）
同理
PE=PF.
∴
PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
D
E
F
A
B
C
P
M
N
例2.
已知：在等腰Rt△ABC中，AC
＝
BC
∠C＝90°，AD平分∠
BAC，DE⊥AB于点E。
求证：BD＋DE
＝AC
变式
已知AB
＝15cm,
求△DBE的周长
E
D
C
B
A
动脑筋
角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？
如图1-27，点P
在∠AOB
的内部，
作PD⊥OA，
PE⊥OB，
垂足分别为点D，E.
若PD=
PE，
那么点P在∠AOB的平分线上吗？
图1-27
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵
OP
=
OP，PD
=
PE，
∴
Rt△PDO≌Rt△PEO.
∵
PD⊥OA，
PE⊥OB，
∴
∠PDO
=∠PEO
=
90°.
如图1-27，过点O，P作射线OC.
∴
∠AOC
=∠BOC.
∴
OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
图1-27
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
角平分线的判定定理：
A
O
B
P
D
E
C
用符号语言表示为：
∵
PD
⊥OA
，PE
⊥OB且PD=PE
∴
OC平分∠AOB
.
由此得到角平分线的性质定理的逆定理：
已知：如图在四边形
ABCD中，
AB＝AD，
AB⊥BC，AD⊥DC．
求证：点
A在∠DCB的平分线上．
举
例
例1
如图1-28，∠BAD
=∠BCD
=
90°，∠1=∠2.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
图1-28
证明：
在△ABC中，
∵
∠1=∠2，
∴
BA
=
BC.
又
BA⊥AD，
BC⊥CD，
∴
点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
图1-28
证明：
在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵
BA
=
BC，
BD
=
BD，
∴
Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴
∠ABD
=∠CBD.
∴
BD是∠ABC的平分线.
（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
例
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
A
B
C
P
M
N
A
B
C
P
M
N
练习：
已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD
、PE、PF分别垂直于AB、
BC、CA，垂足分别为D、E、F
F
D
E
D
E
又∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上
∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边
的距离相等）
同理
PE=PF.
∴
PD=PE=PF.
即点P到边AB、BC、
CA的距离相等
想一想，点P在∠A
的
平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
G
H
M
∵点F在∠BCE的平分线上，
FG⊥AE，
FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上，
FH⊥AD，
FM⊥BC
∴FM＝FH
∴FG＝FH
∴点F在∠DAE的平分线上
解：设要截取的长度为Ｘm,则：
练习：要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺
1：20
000）
Ｓ
Ｏ
公路
铁路
解得：Ｘ＝0.025m
＝2.5cm
Ａ
则点Ａ即为所求的点
拓展思维：若把在Ｓ区去掉，有几处A点
解
作∠AOB的角平分线，交MN于一点，则这点即为所
求作的点P.（提示：用尺规作图）
练习
如图，在直线MN上求作一点P
，使点P到∠AOB两边
的距离相等.
P
2.
如图，在△ABC
中，AD
平分∠BAC，
DE⊥AB
于点E，DF⊥AC
于点F，BD=CD.
求证：AB=AC.
证明
∵
点D在∠BAC的平分线上，
DE⊥AB，DF⊥AC
，
∴
DE
=
DF.
∴
AB
=
AC.
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵
BD
=
CD，
DE
=
DF，
∴
Rt△BED≌Rt△CFD.
∴
∠B
=∠C.
动脑筋
如图1-29，
已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF
的中点.
需添加一个什么条件，
就可使CM，AM
分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
图1-29
图1-29
∵
ME⊥CD，
MN⊥CA，
同理可得AM是∠CAB的平分线.
可以添加条件MN
=ME
（或MN
=MF）.
∴
M在∠ACD的平分线上，即CM是∠ACD的平分线.
图1-29
如图1-30，在△ABC
的外角∠DAC
的平分线上任取
一点P，作PE⊥DB，
PF⊥AC，
垂足分别为点E，F.
试探索BE
+
PF与PB的大小关系.
例2
∴
PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB，
∴
BE+PF>PB.
∵
AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB，
PF⊥AC，
解
图1-30
举
例
利用结论，解决问题
练一练
1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?
想一想
在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:(
)
A.一处
B.
两处
C.三处
D.四处
分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。
练习3
如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.
C●
D●
A
B
O
练习
如图，E
是∠AOB
的平分线上一点，EC⊥OA
于点C，ED⊥OB
于点D.
求证：（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OC=OD.
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，
∵
OE=
OE，
ED
=
EC，
∴
Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴
OD=OC.
证明
（1）∵
点E在∠BOA的平分线上，
EC⊥AO，ED⊥OB
，
∴
ED
=EC.
∴
∠ECD=∠EDC.
∴
△EDC
是个等腰三角形.
2.
如图，在△ABC
中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，
BC
分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上.
求证：AB=AD+BE.
M
证明
作CM⊥AB于点M.
∵
AC，BC
分别平分∠BAD，∠ABE，
∴
CD
=
CM，CE
=
CM.
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵
CM
=
CD，AC
=
AC，
∴
Rt△ACD
≌Rt△ACM.
∴
AD
=
AM.
同理，
BE
=
BM.
又
AB=AM+BM，
∴
AB=AD+BE.