3.4.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（含答案）

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第三章 二次函数
3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第3课时
知识梳理
知识点1 用配方法求二次函数的对称轴和顶点坐标
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），可以用配方法求出它的对称轴和顶点坐标。
把y＝ax2＋bx＋c的右边配方，得
它的对称轴是直线x＝____________，顶点坐标是________________。
知识点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的位置与a，b，c之间的关系
抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的位置是由a，b，c决定的，具体情况如下:
（1）a决定抛物线的开口方向:①a＞0开口__________；②a＜0开口__________。
（2）c决定抛物线与y轴交点的位置:
①c＞0图象与y轴的交点在x轴的__________；②c＝0图象过___________。
③c＜0图象与y轴的交点在x轴的__________。
（3）a，b决定抛物线对称轴的位置（对称轴为直线x＝－）:
①a，b同号对称轴在y轴的____________；②b＝0对称轴是____________。
③a，b异号对称轴在y轴的____________。
（4）顶点坐标为
（5）二次函数的最大、最小值由a决定:
当a＞0时，函数有最__________值；当a＜0时，函数有最_________值。
考点突破
考点1 确立二次函数图象的对称轴和顶点坐标
典例1 根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标.
（1）；（2）。
思路导析：抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝－，顶点坐标为。
解：（1）∵a＝4，b＝－8，c＝3，∴－＝，。
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－1）。
（2）∵＝，∴a＝2，b＝－4，c＝－6。
∴－＝，。
∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－8）
变式1 已知二次函数y＝4x2＋8x－3.
（1）求它的顶点坐标和对称轴；
（2）求它与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标。
考点2 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的位置与a，b，c之间的关系
典例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么下列判断:①abc＞0；②b2－4ac＞0；③2a＋b＞0；④4a－2b＋c＜0；⑤a－b＋c＞0.其中正确的是（ ）
①②③④ B. ②③④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③⑤
思路导析: 抛物线开口向上，可得a＞0；抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0；对称轴在y轴右侧，a，b异号，可得b＜0，所以①abc＞0正确；因为抛物线与x轴有两个交点，所以②b2－4ac＞0正确；由图象可知，对称轴x＝－＜1，又因为a＞0，所以－b＜2a，即2a＋b＞0，故③2a＋b＞0正确；由图象知当x＝－2时，y＝4a－2b＋c＞0，故④4a－2b＋c＜0错误；由图象可知当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，故⑤a－－b＋c＞0正确、答案；D
变式2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋a的图象不经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
典例3 函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）
思路导析: 因为函数y＝ax＋1与y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象都过（0，1）点，所以选项A不对；由直线过第一、二、三象限，可得a＞0，由抛物线开口向下，可得a＜0，所以选项B不对；由直线过第一、二、三象限，可得a＞0，由抛物线开口向上，可得a＞0，所以选项C对；由直线过第一、二、四象限，可得a＜0，由抛物线开口向上，可得a＞0，所以选项D不对. 答案:C。
变式3 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有下列结论:①abc＜0；②a＋c＞b；③3a＋c＜0；④a＋b＞m（am＋b）（其中m≠1），其中正确的结论序号为________________。
变式4 二次函数y＝ax2＋bx和反比例函数y＝在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
巩固提高
1.如图所示为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，则下列说法:①a＞0；②2a＋b＝0；③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（ ）
A.y＝（x－2）2＋3 B.y＝（x－2）2＋5 C.y＝x2－1 D.y＝x2＋4
3.二次函数y＝－x2＋2x＋4的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象如图所示，下列结论:①abc＜0；②2a－b＜0；③b2＞(a＋c)2；④点（－3，y1），（1，y2）都在抛物线上，则有y1＞y2.其中正确的结论有（ ）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
5.将抛物线y＝x2＋2x＋3向下平移3个单位长度后，所得到的抛物线与直线y＝3的交点坐标是（ ）
A.（0，3）或（－2，3） B.（－3，0）或（1，0）
C.（3，3）或（－1，3） D.（－3，3）或（1，3）
6.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论:①b＜0，c＞0；②a＋b＋c＜0；③方程ax2＋bx＋c＝0的两根之和大于0；④a－b＋c＜0，其中正确的个数是________。
4个 B.3个 C. 2个 D. 1个
7.点P1（－1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A. y3＞y2＞y1 B. y3＞y1＝y2 C. y1＞y2＞y3 D.y1＝y2＞y3
8.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c图象如图所示，则一次函数y＝－bx－4ac＋b2与反比例函数y＝
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
9.在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
10.如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2－3x＋a2－1的图象，那么a的值是___________。
11.已知二次函数y＝（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5）。
（1）求m的值，并写出二次函数的表达式；
（2）求二次函数的顶点坐标和对称轴。
12.一跳水运动员从10m高台上跳下，他的高度h（单位:m）与所用时间t（单位:s）的关系为h＝－5（t－2）（t＋1），你能帮助该运动员计算一下他跳起后多长时间达到最大高度吗？最大高度是多少米？
体验中考
1.（2019·百色）抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2如何平移得到（ ）
A.先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B.先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C.先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D.先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
2.（2019·济宁）将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）
A.y＝（x－4）2－6 B.y＝（x－1）2－3 C.y＝（x－2）2－2 D.y＝（x－4）2－2
3.（2019·朝阳）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论:①abc＞0；②9a＋3b＋c＝0；③b2－4ac＜8a；④5a＋b＋c＞0.其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.（2019·鄂州）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.下列结论:①abc＜0；②3a＋c＞0；③（a＋c）2－b2＜0；④a＋b≤m（am＋b）（m为实数）.其中结论正确的个数为（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.（2019·荆州）二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是_____________。
6.（2019·天水）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M，N的大小关系为M__________（填“＞”“＝”或“＜”）N。
参考答案
知识梳理
知识点1: － （－，）
知识点2:（1）向上 向下 （2）上方 原点 下方 （3）左侧 y轴 右侧
（4）（－，） （5）小 大
考点突破
1.解:（1），。
∴顶点坐标是（1，1） ，对称轴是直线x＝1；
（2）设二次函数图象与x轴交点为（x，0），则0＝－4x2＋8x－3.
∴x1＝，x2＝.∴与x轴的交点坐标是（，0），（ ，0）。
设与y轴交点坐标是（0， y），则y＝－4×02＋8×0－3＝－3，
∴与y轴交点坐标是（0，－3）.
2. D 3. ①③④ 4. В
巩固提高
C 2. C 3. C 4. B 5. D 6. B 7. D 8. D 9. A
－1
11.解:（1）∵二次函数y＝（m－2）x2＋（m＋3）x＋m＋2的图象过点（0，5），
∴m＋2＝5.∴m＝3.∴二次函数的表达式为y＝x2＋6x＋5。
（2）∵，。
∴顶点坐标为（－3，－4），对称轴为直线x＝－3.
12.解:h＝－5（t－2）（t＋1）＝－5（t2－t－2）＝－5（t－）2＋，
∵a＝－5＜0，∴抛物线开口向下.当t＝时，h最大＝m。
即当该运动员跳起0.5s后达到最大高度，最大高度为m。
A 2. D 3. C 4. C
7 6. ＜
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