3.4.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.4.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-09-29 14:28:42 | ||
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文档简介
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第三章 二次函数
3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第2课时
知识梳理
知识点1 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象
一般地，二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象是________，它与抛物线y＝ax2的形状________，只是位置_________，平移二次函数y＝ax2的图象便可得到二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象。
例如，将抛物线y＝－2x2向下平移2个单位得到二次函数_______________的图象，再向左平移1个单位就得到二次函数_________________的图象。
知识点2 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的性质
a值 a＞0 a＜0
开口方向 _______________ ______________
对称轴 直线x＝_________ 直线x＝_________
顶点坐标 _______________ ______________
最大（小）值 当x＝______时，y最小＝_______ 当x＝______时，y最大_______
函数的 增减性 当x＞h时，y的值随x值的增大而_________；当x＜h时，y的值随x值的增大而____________ 当x＞h时，y的值随x值的增大而_________；当x＜h时，y的值随x值的增大而____________
图象
知识点3 用描点法作二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一般步骤
（1）利用配方法将函数表达式化为y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的形式；
（2）确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，根据函数的对称性列表；
（3）描点、连线，作出函数图象
考点突破
考点1 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）图象的平移
典例1 将抛物线y＝3x2如何平移可得到抛物线y＝3（x－4）2－2（ ）
A.先向左平移4个单位，再向上平移2个单位
B.先向左平移4个单位，再向下平移2个单位
C.先向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D.先向右平移4个单位，再向下平移2个单位
思路导析: 根据抛物线平移的规律，先向右平移4个单位可得y＝3（x－4）2，再向下平移2个单位可得y＝3（x－4）2－2，故选D.答案:D
友情提示 抛物线的平移只改变它的位置，而不改变它的形状和开口方向，即a的值保持不变。
变式1 将二次函数y＝－(x＋1)2＋3的图象如何平移得到二次函数y＝－(x＋3)2－1的图象？
变式2 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数
y＝x2－2x＋1.求b，c的值.
考点2 作二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象
典例2 已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.
（1）抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________；
（2）选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x …
…
y …
…
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小。
思路导析: 第（1）题用配方法得到y＝－x2＋2x＋2＝－（x－1）2＋3，可得对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）；第（3）题结合图象可知这两点位于对称轴右边，y值随x值的增大而减小，因此y1＜y2。
解:（1）直线x＝1，（1，3）；
x … －1 0 1 2 3 …
y … －1 2 3 2 －1 …
（2）
描点、连线得图象如图所示:
（3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又因为x1＞x2＞1，所以y1＜y2。
友情提示 （1）作二次函数的图象时，首先要找出顶点坐标和对称轴，这样便于正确、迅速地作图.（2）作二次函数的图象除运用描点法作图象外，对抛物线还可以利用五点作图法，所谓五点是指顶点、与x轴的两个交点、与y轴的交点及该交点关于对称轴的对称点.
变式3 已知抛物线的表达式为y＝x2－2x－1.
（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）画出此抛物线（请在方格中选取适当位置建立直角坐标系画图象）
变式4 作出二次函数y＝－x2＋3x－2的图象，并根据图象回答问题:
（1）当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
（2）函数y有最大值还是最小值？最值是多少？
（3）当y＞0，y＝0，y＜0时，x的取值范围分别是什么？
巩固提高
1.二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值是（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
2.二次函数y＝a（x＋k）2＋k，无论k取何值，其图象的顶点都在（ ）
A. 直线y＝x上 B. 直线y＝－x上 C. x轴上 D. y轴上
3.抛物线y＝（x－2）2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（ ）
A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
4.在同一坐标平面内，不可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换、轴对称和旋转变换得到的函数是（ ）
A. y＝2（x＋1）2－1 B. y＝2x2＋3 C. y＝－2x2－1 D. y＝2x2－1
5.抛物线y＝（x－1）2－3的对称轴是（ ）
A. y轴 B. 直线x＝－1 C. 直线x＝1 D. 直线x＝－3
6.对于抛物线y＝－（x＋1）2＋3，下列结论:①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知点A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）都在二次函数y＝（x－2）2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________________。
8.若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2（x＋h）2的图象，则h＝_______。
9.已知二次函数y＝x2－4x＋1.
（1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，作出该二次函数的图象.
10.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
（1）作出该二次函数的图象，并求出二次函数的最大值；
（2）结合该二次函数的图象，确定当x取何值时，y＝0，y＞0，y＜0；
（3）当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？
11.已知抛物线y＝－x2＋（m－1）x＋m与y轴相交于点（0，3）。
（1）求m的值，并作出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）当x取何值时，抛物线在x轴的上方？
（4）当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
12.如图所示，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C（5，4）。
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式。
体验中考
1.（2017·兰州）抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A. y＝3（x－3）2－3 B. y＝3x2 C. y＝3（x＋3）2－3 D. y＝3x2－6
2.（2017·淄博）将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）
A. y＝（x＋3）2－2 B. y＝（x＋3）2＋2 C. y＝（x－1）2＋2 D. y＝（x－1）2－2
3.（2017·襄阳）将抛物线y＝2（x－4）2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A. y＝2x2＋1 B. y＝2x2－3 C. y＝2（x－8）2＋1 D. y＝2（x－8）2－3
4.（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. y＝－5(x＋1)2－1 B. y＝－5(x－1)2－1 C. y＝－5(x＋1)2＋3 D .y＝－5(x－1)2＋3
5.（2019·哈尔滨）二次函数y＝－（x－6）2＋8的最大值是______________。
6.（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）.将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为____________________________。
7.（凉山州中考）将抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为________________________________。
参考答案
知识梳理
知识点1：抛物线 相同 不同 y＝－2x2－2 y＝－2（x＋1）2－2
知识点2: 向上 向下 h h （h，k） （h，k） h k h k 增大 减小减小 增大
考点突破
1，向左平移2个单位，再向下平移4个单位.
2.解:y＝x2－2x＋1，即y＝（x－1）2.把其图象向下平移3个单位，得y＝（x－1）2－3.
再向右平移2个单位，得y＝（x－1－2）2－3，即y＝（x－3）2－3.
∴（x－3）2－3＝x2＋bx＋c.即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c.
∴b＝－6，c＝6.
3.解:（1）y＝x2－2x－1＝(x－1）2－2，∴顶点坐标为（1，－2）；
（2）图象如图所示：
4．解：图象略.
（1）当x＜时，y的值随工值的增大而增大；当＞时，y的值随 值的增大而减小；
（2）y有最大值，最大值是；
（3）当y＞0时，图象在x轴的上方，x的取值范围是1＜x＜2；当y＝0时，图象与x轴相交，交点的 值是1，2；当y＜0时，图象在2轴的下方，x的取值范围是x＜1或x＞2.
巩固提高
1. A 2. B 3.D 4. D 5.C 6.C 7.y3＞y1＞y2 8. 2
9，解:（1）对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－3）；
（2）图象略.
10，解:（1）图象略，当x＝1时，最大值为4；
（2）当x＝3或x＝－1时，y＝0；当－1＜a＜3时，y＞0；当x＞3或x＜－1时，y＜0；
（3）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；当a＜1时，y的值随 值的增大而增大.
11，解:（1）由抛物线y＝－x2＋（m－1）x＋m与y轴相交于点（0，3） ，得m＝3.
因此抛物线为y＝－x2＋2x＋3.图象略；
（2）由－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3.即抛物线与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（3）当－1＜a＜3时，抛物线在x轴的上方；
（4）当x＞1时，y的值随 值的增大而减小.
12，解:（1）把点C（5，4）代入抛物线y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1.
∴该抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝，∴顶点P的坐标为（，－）；
（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为。即y＝x2＋x＋2.
体验中考
1. A 2. D 3. A 4. A 5.8
6. y＝（x－4）2
7.
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第三章 二次函数
3.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第2课时
知识梳理
知识点1 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象
一般地，二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的图象是________，它与抛物线y＝ax2的形状________，只是位置_________，平移二次函数y＝ax2的图象便可得到二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象。
例如，将抛物线y＝－2x2向下平移2个单位得到二次函数_______________的图象，再向左平移1个单位就得到二次函数_________________的图象。
知识点2 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的性质
a值 a＞0 a＜0
开口方向 _______________ ______________
对称轴 直线x＝_________ 直线x＝_________
顶点坐标 _______________ ______________
最大（小）值 当x＝______时，y最小＝_______ 当x＝______时，y最大_______
函数的 增减性 当x＞h时，y的值随x值的增大而_________；当x＜h时，y的值随x值的增大而____________ 当x＞h时，y的值随x值的增大而_________；当x＜h时，y的值随x值的增大而____________
图象
知识点3 用描点法作二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一般步骤
（1）利用配方法将函数表达式化为y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的形式；
（2）确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，根据函数的对称性列表；
（3）描点、连线，作出函数图象
考点突破
考点1 二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）图象的平移
典例1 将抛物线y＝3x2如何平移可得到抛物线y＝3（x－4）2－2（ ）
A.先向左平移4个单位，再向上平移2个单位
B.先向左平移4个单位，再向下平移2个单位
C.先向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D.先向右平移4个单位，再向下平移2个单位
思路导析: 根据抛物线平移的规律，先向右平移4个单位可得y＝3（x－4）2，再向下平移2个单位可得y＝3（x－4）2－2，故选D.答案:D
友情提示 抛物线的平移只改变它的位置，而不改变它的形状和开口方向，即a的值保持不变。
变式1 将二次函数y＝－(x＋1)2＋3的图象如何平移得到二次函数y＝－(x＋3)2－1的图象？
变式2 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数
y＝x2－2x＋1.求b，c的值.
考点2 作二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象
典例2 已知抛物线y＝－x2＋2x＋2.
（1）抛物线的对称轴是___________，顶点坐标是___________；
（2）选取适当的数据填入下表，并在直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x …
…
y …
…
（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小。
思路导析: 第（1）题用配方法得到y＝－x2＋2x＋2＝－（x－1）2＋3，可得对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，3）；第（3）题结合图象可知这两点位于对称轴右边，y值随x值的增大而减小，因此y1＜y2。
解:（1）直线x＝1，（1，3）；
x … －1 0 1 2 3 …
y … －1 2 3 2 －1 …
（2）
描点、连线得图象如图所示:
（3）因为在对称轴x＝1右侧，y随x的增大而减小，又因为x1＞x2＞1，所以y1＜y2。
友情提示 （1）作二次函数的图象时，首先要找出顶点坐标和对称轴，这样便于正确、迅速地作图.（2）作二次函数的图象除运用描点法作图象外，对抛物线还可以利用五点作图法，所谓五点是指顶点、与x轴的两个交点、与y轴的交点及该交点关于对称轴的对称点.
变式3 已知抛物线的表达式为y＝x2－2x－1.
（1）求出抛物线的顶点坐标；
（2）画出此抛物线（请在方格中选取适当位置建立直角坐标系画图象）
变式4 作出二次函数y＝－x2＋3x－2的图象，并根据图象回答问题:
（1）当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
（2）函数y有最大值还是最小值？最值是多少？
（3）当y＞0，y＝0，y＜0时，x的取值范围分别是什么？
巩固提高
1.二次函数y＝（x－1）2＋2的最小值是（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
2.二次函数y＝a（x＋k）2＋k，无论k取何值，其图象的顶点都在（ ）
A. 直线y＝x上 B. 直线y＝－x上 C. x轴上 D. y轴上
3.抛物线y＝（x－2）2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平移正确的是（ ）
A.先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B.先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C.先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D.先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
4.在同一坐标平面内，不可能由函数y＝2x2＋1的图象通过平移变换、轴对称和旋转变换得到的函数是（ ）
A. y＝2（x＋1）2－1 B. y＝2x2＋3 C. y＝－2x2－1 D. y＝2x2－1
5.抛物线y＝（x－1）2－3的对称轴是（ ）
A. y轴 B. 直线x＝－1 C. 直线x＝1 D. 直线x＝－3
6.对于抛物线y＝－（x＋1）2＋3，下列结论:①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（－1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知点A（4，y1），B（，y2），C（－2，y3）都在二次函数y＝（x－2）2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________________。
8.若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2（x＋h）2的图象，则h＝_______。
9.已知二次函数y＝x2－4x＋1.
（1）求该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
（2）在平面直角坐标系中，作出该二次函数的图象.
10.已知二次函数y＝－x2＋2x＋3.
（1）作出该二次函数的图象，并求出二次函数的最大值；
（2）结合该二次函数的图象，确定当x取何值时，y＝0，y＞0，y＜0；
（3）当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？
11.已知抛物线y＝－x2＋（m－1）x＋m与y轴相交于点（0，3）。
（1）求m的值，并作出这条抛物线；
（2）求它与x轴的交点和抛物线顶点的坐标；
（3）当x取何值时，抛物线在x轴的上方？
（4）当x取何值时，y的值随x值的增大而减小？
12.如图所示，抛物线y＝ax2－5ax＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C（5，4）。
（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；
（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式。
体验中考
1.（2017·兰州）抛物线y＝3x2－3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（ ）
A. y＝3（x－3）2－3 B. y＝3x2 C. y＝3（x＋3）2－3 D. y＝3x2－6
2.（2017·淄博）将二次函数y＝x2＋2x－1的图象沿x轴向右平移2个单位长度，得到的函数表达式是（ ）
A. y＝（x＋3）2－2 B. y＝（x＋3）2＋2 C. y＝（x－1）2＋2 D. y＝（x－1）2－2
3.（2017·襄阳）将抛物线y＝2（x－4）2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ）
A. y＝2x2＋1 B. y＝2x2－3 C. y＝2（x－8）2＋1 D. y＝2（x－8）2－3
4.（2018·哈尔滨）将抛物线y＝－5x2＋1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）
A. y＝－5(x＋1)2－1 B. y＝－5(x－1)2－1 C. y＝－5(x＋1)2＋3 D .y＝－5(x－1)2＋3
5.（2019·哈尔滨）二次函数y＝－（x－6）2＋8的最大值是______________。
6.（2019·徐州）已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）.将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为____________________________。
7.（凉山州中考）将抛物线y＝－x2先向下平移2个单位，再向右平移3个单位后所得抛物线的解析式为________________________________。
参考答案
知识梳理
知识点1：抛物线 相同 不同 y＝－2x2－2 y＝－2（x＋1）2－2
知识点2: 向上 向下 h h （h，k） （h，k） h k h k 增大 减小减小 增大
考点突破
1，向左平移2个单位，再向下平移4个单位.
2.解:y＝x2－2x＋1，即y＝（x－1）2.把其图象向下平移3个单位，得y＝（x－1）2－3.
再向右平移2个单位，得y＝（x－1－2）2－3，即y＝（x－3）2－3.
∴（x－3）2－3＝x2＋bx＋c.即x2－6x＋6＝x2＋bx＋c.
∴b＝－6，c＝6.
3.解:（1）y＝x2－2x－1＝(x－1）2－2，∴顶点坐标为（1，－2）；
（2）图象如图所示：
4．解：图象略.
（1）当x＜时，y的值随工值的增大而增大；当＞时，y的值随 值的增大而减小；
（2）y有最大值，最大值是；
（3）当y＞0时，图象在x轴的上方，x的取值范围是1＜x＜2；当y＝0时，图象与x轴相交，交点的 值是1，2；当y＜0时，图象在2轴的下方，x的取值范围是x＜1或x＞2.
巩固提高
1. A 2. B 3.D 4. D 5.C 6.C 7.y3＞y1＞y2 8. 2
9，解:（1）对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，－3）；
（2）图象略.
10，解:（1）图象略，当x＝1时，最大值为4；
（2）当x＝3或x＝－1时，y＝0；当－1＜a＜3时，y＞0；当x＞3或x＜－1时，y＜0；
（3）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；当a＜1时，y的值随 值的增大而增大.
11，解:（1）由抛物线y＝－x2＋（m－1）x＋m与y轴相交于点（0，3） ，得m＝3.
因此抛物线为y＝－x2＋2x＋3.图象略；
（2）由－x2＋2x＋3＝0，得x1＝－1，x2＝3.即抛物线与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0）.
∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（3）当－1＜a＜3时，抛物线在x轴的上方；
（4）当x＞1时，y的值随 值的增大而减小.
12，解:（1）把点C（5，4）代入抛物线y＝ax2－5ax＋4a，得25a－25a＋4a＝4，解得a＝1.
∴该抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4.
∵y＝x2－5x＋4＝，∴顶点P的坐标为（，－）；
（2）（答案不唯一，合理即正确）如先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的二次函数解析式为。即y＝x2＋x＋2.
体验中考
1. A 2. D 3. A 4. A 5.8
6. y＝（x－4）2
7.
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