江苏省扬中二中2021届高三上学期数学周练（五） Word版含答案

江苏省扬中二中2020-2021第一学期高三数学周练5
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知随机变量，则 （ ）
A． B． C． D．
3．关于的不等式“对恒成立”的一个必要不充分条件是 （ ）
A． B． C． D．
4．已知，则的大小关系为 （ ）
A． B． C． D．
5．若非零向量、满足且，则与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致为 （ ）

A． B． C． D．
7．已知双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8．若函数是上的减函数，则的取值范围为 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．给出下列命题，其中正确命题为 （ ）
A．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4；
B．回归方程为时，变量x与y具有负的线性相关关系；
C．随机变量X服从正态分布，，则；
D．相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好
10．下面的命题正确的有 ( )
A.方向相反的两个非零向量一定共线 B单位向量都相等
C.若满足且与同向,则
D.“若A、B、C、D是不共线的四点，则”“四边形ABCD是平行四边形”
11．已知四边形是边长为1的正方形，将其沿着对角线折成四面体，则 （ ）
A. B. 四面体的外接球的表面积为
C. 四面体体积的最大值为 D. 直线与直线不可能垂直
12．已知数列的前n项和为(≠0)，且满足(n≥2)，，则下列说法正确的是 ( )
A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为
C．数列为递增数列 D．数列为递增数列
二、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知正六棱锥的底面面积为，侧棱长为，则这个棱锥的体积为_ __.
14．函数的部分图象如图所示，
则__ _；将函数的图像沿x轴向右平移
个单位后，得到一个偶函数的图像，则_____．
15．已知圆，点从坐标原点向圆作两条切线，切点分别为，若切线的斜率分别
为，，，则的取值范围为____ ____．
16．如图，在平面凸四边形ABCD中
为对角线AC的中点，若，则 , .
三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知的展开式中，第项与第项的二项式系数之比是
（1）求展开式中各项系数的和；（2）求展开式中的常数项；（3）求展开式中二项式系数最大的项.

18．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
已知的内角，，的对边分别为，，________，，，求的面积．
19．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
个数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：①P(μ－σ(2)将直径小于等于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上随机抽取2件零件，计算其中次品件数Y的数学期望E(Y)；
②从样本中随机抽取2件零件，计算其中次品件数Z的概率分布列和数学期望E(Z).
21．已知函数且的导函数为.
（1）求函数的极大值；（2）若函数有两个零点，求a的取值范围。
22．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为．经过坐标原点的直线与圆交于两点
（1）求当满足对应的直线的方程；
（2）若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，，求证：为定值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A D C B A A BD AD ABD AD
二、填空题．
13. ； 14．，；
15. ； 16．，；
三、解答题
17．解：（1）由，解得，
令，则各项的系数之和为；
（2）由通项，
令，得，
所以常数项为；
（3）因为二项式系数最大的项为
18．解：若选择①，
则由余弦定理得，
因为，所以．
若选择②，
则，
因为，所以，
因为，所以．
若选择③，
则，所以，
因为，所以，
所以，所以．
由正弦定理，
得．
因为，，所以，
所以，
所以．
19．解：（1）如图，取的中点，连接，．
∵，分别为，的中点，∴，
又且，∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，又平面，平面，
∴平面．
（2）由题意知：，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：
则，，，，，
∴，，，
设平面的法向量，
则，
令，则，，∴．
∵平面，∴为平面的一个法向量，
∴，
∵二面角为锐二面角，
∴二面角的余弦值为．
20．解：（1）P(μ－σ0.6826，
P(μ－2σP(μ－3σ因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙．
（2）易知样本中次品共6件，可估计设备生产零件的次品率为.
①由题意可知，
于是；
②由题意可知的取值有。



的概率分布列为：
0 1 2


故
21．解：（1），
当时，，当时，，在单调递增
当时，，在单调递减 ，
所以当时，有极大值；
（2）当时，由（1）知在单调递增，在单调递减，
有极大值，
故若有两个零点，则必有 ，
令，
则在单调递增，所以，
所以，
则当时，，
，
又，
所以在和各有一个零点，所以的取值范围为.
22．解：（1）由已知圆的圆心在轴上，经过点，且被轴截得的弦长为
设圆，代入，，
得圆的方程为
过点作，由得到，，
所以，
即，所以，
设直线的方程为（直线与轴重合时不符题意）
由，，
由所以直线的方程为．
（2）法一：设，，
直线的方程为，其中
与联立得
所以，
所，同理
所以
法二：设，
设直线的方程为与圆的方程为，
联立得，
所以，
所以
代入（*）得，
从而．
所以直线与直线关于轴对称，所以．
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