2020-2021学年度湘教版九年级数学下册 第二学期 期中测试卷（Word版 含答案）

湘教版九年级数学下册
第二学期
期中测试卷
一、选择题(每题3分，共24分)
1．下列关于抛物线y＝(x＋2)2＋6的说法正确的是(　　)
A．开口向下
B．顶点坐标为(2，6)
C．对称轴是直线x＝2
D．与y轴的交点为(0，10)
2．有下列结论：(1)三点确定一个圆；(2)平分弦的直径垂直于弦；(3)三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确的有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
3．已知二次函数y＝3(x－2)2＋5，则有(　　)
A．当x＞－2时，y随x的增大而减小
B．当x＞－2时，y随x的增大而增大
C．当x＞2时，y随x的增大而减小
D．当x＞2时，y随x的增大而增大
4．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知，的度数分别为88°，32°，则∠P的度数为(　　)
A．26°
B．28°
C．30°
D．32°
5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为(　　)
A．40°
B．50°
C．65°
D．75°
6．已知A(－1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)在函数y＝－5(x＋1)2＋3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　　)
A．y1＜y2＜y3
B．y1＜y3＜y2
C．y2＜y3＜y1
D．y3＜y2＜y1
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为(1，6)，⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为(　　)
A．(2，2)
B．(2，3)
C．(3，2)
D.
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是(　　)
A．ac＞0
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．2a－b＝0
D．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3
二、填空题(每题4分，共32分)
9．如图，∠AOB＝60°，则∠ACB等于________．
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为________．
11．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是________．
12．若抛物线y＝3x2－6x＋a与x轴只有一个公共点，则a的值为________．
13．已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为________．
14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
则当y>0时，x的取值范围是________．
15．边长为5的正六边形内接于⊙M，则⊙M的面积是________．
16．用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，如图，墙长20
m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是________m2.
三、解答题(17，18题每题5分，其余每题9分，共64分)
17．已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且该抛物线经过点(3，3)．求该抛物线的表达式．
18．如图，⊙O的直径AB＝20，弦AC＝12，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
19．如图，二次函数y＝－x2＋x＋3的图象与x轴交于点A，B(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.
(1)求点A，B，C的坐标；
(2)求△ABC的面积．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连接OD，OE.
(1)求证：CE＝BD；
(2)若∠C＝55°，BC＝10，求扇形ODE的面积．
21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(3，3)，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，－1)．
(1)以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；
(2)在(1)的条件下，①求出点A经过的路径的长(结果保留π)；②写出点B′的坐标．
22．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数表达式；
(2)当这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
23．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F，连接DF.
(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．
24．如图①，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(－3，0)两点，且与y轴交于点C.
(1)求b，c的值；
(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，点E为线段BC上一个动点(不与B，C重合)，经过B，E，O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
答案
一、1.D　2.A　3.D　4.B　5.C　6.C
7．C　点拨：将点B的坐标代入反比例函数的表达式得k＝6，则反比例函数的表达式是y＝.∵点B的坐标为(1，6)，⊙B与y轴相切，∴⊙B的半径是1，∴⊙A的半径是2，把y＝2代入y＝，得x＝3，则点A的坐标是(3，2)．
8．D　点拨：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得：抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，则c＞0，∴ac＜0，选项A错误；由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；∵对称轴为直线x＝1，∴－＝1，即2a＋b＝0，选项C错误；由图象可得抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，选项D正确．
二、9.30°　10.110°　11.3＜r＜4　12.3
13．24　14.－1＜x＜3　15.25π　16.
三、17.解：∵抛物线的顶点坐标是(2，1)，
∴设该抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋1，
又抛物线经过点(3，3)．
∴3＝a(3－2)2＋1，解得a＝2，
∴该抛物线的表达式是y＝2(x－2)2＋1.
18．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∴BC＝＝16.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，
∴∠DBA＝∠DAB＝45°.
在Rt△ABD中，sin
45°＝，
∴AD＝×AB＝10
.
∴AD＝BD＝10
.
19．解：(1)∵二次函数y＝－x2＋x＋3＝－(x－4)(x＋1)，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x1＝4，x2＝－1，
即点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)．
(2)由(1)得，AB＝5，OC＝3，
∴△ABC的面积＝＝＝.
20．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∴＝，∴＝，∴CE＝BD.
(2)解：∵∠C＝55°，∴∠B＝∠C＝55°.
∵OB＝OD，OC＝OE，
∴∠B＝∠ODB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，
∴∠BOD＝∠EOC＝70°，
∴∠DOE＝40°，∴S扇形ODE＝＝.
21．解：(1)如图所示，△A′B′C即为所求．
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(2)①如图，∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为＝.
②由图知点B′的坐标为(－1，3)．
22．解：(1)由题意得w＝(x－30)·y＝(x－30)(－x＋60)＝－x2＋30x＋60x－1
800＝－x2＋90x－1
800，
即w与x之间的函数表达式为w＝－x2＋90x－1
800.
(2)w＝－x2＋90x－1
800＝－(x－45)2＋225，－1＜0，∴当x＝45时，w取得最大值，最大值是225.即当这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
(3)当w＝200时，－x2＋90x－1
800＝200，解得x1＝40，x2＝50(不符合题意，舍去)．
答：销售单价应定为40元．
23．(1)证明：连接OE，则OB＝OE.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°.
∴△OBE是等边三角形．∴∠OEB＝∠C＝60°.∴OE∥AC.
∵EF⊥AC，∴EF⊥OE.又OE是⊙O的半径，∴直线EF是⊙O的切线．
(2)解：∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF＝90°.
设⊙O的半径为r，则BE＝r，EC＝4－r，AD＝4－2r.
在Rt△ADF中，
∵∠A＝60°，∴∠AFD＝30°.∴AF＝2AD＝8－4r.∴FC＝4－(8－4r)＝4r－4.
在Rt△CEF中，
∵∠C＝60°，∴∠CEF＝30°.∴EC＝2FC.
∴4－r＝2(4r－4)，解得r＝.∴⊙O的半径是.
24．解：(1)把A(1，0)，B(－3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，
得解得
(2)存在．作PD∥y轴交BC于D，设直线BC的表达式为y＝mx＋n.
由(1)易知C(0，3)．
把点B(－3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y＝mx＋n，
得解得
故直线BC的表达式为y＝x＋3，
设点P的坐标为(x，－x2－2x＋3)(－3＜x＜0)，则点D的坐标为(x，x＋3)，
∴PD＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x，
∴S△BPC＝S△PBD＋S△CPD＝×3×(－x2－3x)＝－x2－x＝－＋，
当x＝－时，△BPC的面积最大，此时S△BPC＝，
把x＝－代入y＝－x2－2x＋3，得y＝，∴点P的坐标为.
(3)∵OB＝OC＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.
∵BF⊥BE，∴∠FBO＝45°，∴∠OEF＝∠OBF＝45°，∠OFE＝∠OBE＝45°，
∴△OEF为等腰直角三角形，∴OE＝OF，∠EOF＝90°，
∴S△OEF＝OE·OF＝OE2，
∴当OE最小时，△OEF的面积取得最小值．
∵点E在线段BC上，
∴当OE⊥BC时，OE最小，此时点E是BC的中点，∴E.