苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性(3)同步培优训练卷（Word版 含答案）

2020-2021苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性(3)同步培优训练卷
一、选择题
1、直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（　　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
2、如图，在中，，，BD平分，图中的等腰三角形有????
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（　　）

A．40° B．65° C．70° D．75°
4、如图，在中，，点D是AC上一点，，则度数为???
A. 36? B. 54? C. 72? D. 30?

5、如图，在中，，是角平分线，若，，
则点到的距离是　　
A． B． C． D．

6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16

7、如图，点P在边长为1的等边的边AB上，过点P作于点为BC延长线上一点，
当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为( )
A. B. C. D. 不能确定
8、如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．60°
9、如图，等腰三角形ABC的边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为( )
8 B. 10 C. 12 D. 14

10、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；
④BD＝CE.(?? )
A.?③④??????????????????????B.?①②??????????????????C.?①②③??????????????????????D.?②③④

二、填空题
11、如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点．若，则AB的长为______．

12、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于　 　．
13、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分BC，垂足为E，
则∠C的度数为　 　°．

14、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　 　．

15、如图，在中，DE是AC的垂直平分线，DE交BC于点D，，的周长为13cm，则的周长为________．
16、如图，已知在等腰三角形ABC中，，P，Q分别是边AC，AB上的点，且
则__________．
17、如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则________．
18、如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．
三、解答题
19、己知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，求证：FG⊥DE．
20、如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
21、如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
22、如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长，，求长．
23、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；
（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．
图1 图2
2020-2021苏科版八年级数学上册2.5等腰三角形的轴对称性(3)同步培优训练卷（答案）
一、选择题
1、直角三角形的斜边长为6cm，则斜边上的中线长为（　C　）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
2、如图，在中，，，BD平分，图中的等腰三角形有??c??
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3、如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线于点E．若∠E＝35°，则∠EAC的度数是（　　）
A．40° B．65° C．70° D．75°
【解析】∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，
∵BD∥AE，∴∠BAE＝∠ABD，∠E＝∠DBC，∴∠BAE＝∠E＝35°，∠ABC＝70°，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∴∠EAC＝∠BAE+∠BAC＝35°+40°＝75°，故选：D．
4、如图，在中，，点D是AC上一点，，则度数为??A?
A. 36? B. 54? C. 72? D. 30?
5、如图，在中，，是角平分线，若，，
则点到的距离是　C　
A． B． C． D．

6、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，点E为AC的中点，连接DE．若△ABC的周长为20，则△CDE的周长为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【解析】∵AB＝AC，AD为BC边上的高，∴BD＝DC，
∵△ABC的周长为20，∴AC+CD＝10，
在Rt△ADC中，点E为AC的中点，∴DEAC＝AE，
∴△CDE的周长＝DE+EC+DC＝AE+EC+CD＝AC+CD＝10， 故选：A．
7、如图，点P在边长为1的等边的边AB上，过点P作于点为BC延长线上一点，
当时，连PQ交AC边于D，则DE的长为( B )
A. B. C. D. 不能确定
8、如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为（　　）
A．35° B．40° C．45° D．60°
【解析】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°，
又∵AB＝AC，∴∠ABC（180°﹣∠BAC）（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝∠CBE＝22.5°，
∴∠EFC＝∠BEF+∠CBE＝22.5°+22.5°＝45°． 故选：C．
9、如图，等腰三角形ABC的边BC为4，面积为24，腰AC的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点E，F，若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为( D )
8 B. 10 C. 12 D. 14

10、如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；
④BD＝CE.(??C )
A.?③④??????????????????????B.?①②??????????????????C.?①②③??????????????????????D.?②③④

二、填空题
11、如图，在中，，，垂足为D，E是AC的中点．若，则AB的长为__10____．

12、如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，BC＝8，BE是高，且点D、F分别是边AB、BC的中点，则△DEF的周长等于　16　．
【解析】∵点D、F分别是边AB、BC的中点，AB＝AC＝12，BE是高，
∴DF是△ABC的中位线，AF⊥BC，BE⊥AC，
∴DFAC＝6，EFBC＝4，DEAB＝6，
∴△DEF的周长＝DF+EF+DE＝6+4+6＝16；
故答案为：16．
13、如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE垂直平分BC，垂足为E，
则∠C的度数为　 　°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DC＝DB，得到∠DBC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠C＝30°．
【解析】∵DE垂直平分BC，∴DC＝DB，∴∠DBC＝∠C，
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DBC＝∠ABD＝∠C，
∵∠A＝90°，∴∠C＝∠DBC＝∠ABD＝30°，故答案为：30
14、已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝　90°　．
【解析】连接EB、ED，
∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BEAC，
同理，DEAC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，
∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．
15、如图，在中，DE是AC的垂直平分线，DE交BC于点D，，的周长为13cm，则的周长为___19cm_____．
16、如图，已知在等腰三角形ABC中，，P，Q分别是边AC，AB上的点，且
则___?_______．

17、如图，在等边中，D、E分别是边AB、AC上的点，且，则__180______．
18、如图，A、B、C、D、E、F、G都在∠O的边上，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG，若∠EFG=30°，则∠O=________．
【答案】12.5o
【考点】等腰三角形的性质
解：∵∠O=x，OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG， ∴∠BAC=2x，∴∠CBD=3x；∴∠DCE=4x，
∴∠FDE=5x，∴∠FEG=6x，
∵EF=FG，∴∠FEG=∠FGE，
∵∠EFG=30°，∴∠FEG=6x=75°，∴x=12.5o ， ∴∠O=12.5°．故答案为：12.5°．
三、解答题
19、己知：如图，BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，G是ED的中点，求证：FG⊥DE．
【答案】证明：∵BD、CE是△ABC的高，F是BC的中点，
∴在Rt△CEB中，EF= ，在Rt△BDC中，FD= ，
∴FE=FD，即△EFD为等腰三角形，
又∵G是ED的中点，∴FG是等腰三角形EFD的中线，
∴FG⊥DE（等腰三角形边上的三线合一）
20、如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N．
（1）求证：△PMN是等边三角形；
（2）若AB＝12cm，求CM的长．
解：（1）∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C，
∵MP⊥AB，MN⊥BC，PN⊥AC，∴∠MPB＝∠NMC＝∠PNA＝90°，
∴∠PMB＝∠MNC＝∠APN，∴∠NPM＝∠PMN＝∠MNP，∴△PMN是等边三角形；
（2）根据题意△PBM≌△MCN≌△NAP，∴PA＝BM＝CN，PB＝MC＝AN，
∴BM+PB＝AB＝12cm，
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∴2PB＝BM，
∴2PB+PB＝12cm，∴PB＝4cm，∴MC＝4cm．
21、如图，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一点（不与A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中点，请判断△PAE的形状，并说明理由．
【解析】△PAE的形状为等边三角形；理由如下：
∵在Rt△CAD中，∠CAD＝90°，P是斜边CD的中点，∴PA＝PCCD，∴∠ACD＝∠PAC，
∴∠APD＝∠ACD+∠PAC＝2∠ACD，
同理：在Rt△CED中，PE＝PCCD，∠DPE＝2∠DCB，
∴PA＝PE，即△PAE是等腰三角形，∴∠APE＝2∠ACB＝2×30°＝60°，
∴△PAE是等边三角形．
22、如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若周长，，求长．

【解答】（1）垂直平分，垂直平分，，，
，，；
（2）周长，，，即，
．
23、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．
（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；
（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；
（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．
图1 图2
【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA（180°﹣∠B）＝67.5°，
∵CE＝CA，∴∠CAE＝∠E∠ACB＝22.5°，
∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，
（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，
∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，
∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，
∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；
（3）∠DAE∠BAC，
理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，
则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x
∴∠DAE∠BAC．