北师大版 九年级上册4.5相似三角形判定定理证明课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
北师大版数学九年级上册
第四章
图形的相似
4.5
相似三角形定理证明
1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．
2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．
学习目标
我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？
答：相似三角形的判定定理有：
(1)两角分别相等的两个三角形相似；
(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
(3)三边成比例的两个三角形相似．
回顾旧知
知识模块一　相似三角形判定定理的证明
(一)自主探究
如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，
，
求证：△ABC∽△A1B1C1.
证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝_______，作DE∥______，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝______，证△A1B1C1______△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.
A1B1
BC
A1C1
≌
探究新知
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，∠A
=
∠A'，
∠B
=∠B'.
求证：△ABC
∽△A'B'C'．
A′
B′
C′
A
B
C
(二)合作探究
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A'B',AE=A'C'，连结DE。
A
B
C
A'
C'
B'
D
E
∵
AD=A'B',∠A=∠A'，AE=A'C'
∴
ΔADE≌ΔA'B'C'，
∴
∠ADE=∠B'，
又∵
∠B'=∠B，
∴
∠ADE=∠B，
∴
DE//BC，
∴
ΔADE∽ΔABC。
∴
Δ
A'B'C'
∽ΔABC
如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=
∠A′，
证明：在
△A′B′C′
的边
A′B′
上截取点D，
使
A′D
=
AB．过点
D
作
DE∥B′C′，
交
A′C′
于点
E.
∵
DE∥B′C′，
∴
△A′DE∽△A′B′C′.
求证：△ABC∽△A′B′C′.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∴
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
∴
A′E
=
AC
.
又
∠A′
=
∠A.
∴
△A′DE
≌
△ABC，
∴
△A′B′C′
∽
△ABC.
B
A
C
D
E
B'
A'
C'
∵
A′D=AB，
∴
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在
△ABC
和△A'B'C'
中，
求证：△ABC
∽
△A'B'C'
.
A′
B′
C′
A
C
E
D
B
∴
C′
B′
A′
证明:
在线段
AB
(或延长线)
上截取
AD=A′B′，
过点
D
作
DE∥BC
交AC于点
E.
∵
DE∥BC
，∴
△ADE
∽
△ABC.
∴
DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
△A′B′C′
∽△ABC.
B
C
A
D
E
又
，AD=A′B′，
∴
，
.
知识模块二　相似三角形判定定理的应用
1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：
(一)自主探究
③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个
条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有(　　)
A．1组　　　B．2组　　　C．3组　　　D．4组
C
2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.
证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，
∴∠BAF＝∠AED.
∵BF⊥AE，
∴∠AFB＝90°.
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD.
例
已知，如图，D为△ABC内一点，连接BD、AD，
分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或
以BC为边在△ABC外作∠CBE＝∠ABD，
∠BCE＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.
者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决．
证明：在△CBE和△ABD中，∠CBE＝∠ABD，
∠BCE＝∠BAD，∴△CBE∽△ABD，
在△DBE和△ABC中，∠CBE＝∠ABD，
∴∠CBE＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，
∴△DBE∽△ABC.
∴∠DBE＝∠ABC且
练习
1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是
三边上的点，AE=BF=CD，那么△ABC与△DEF相似吗？请证明你的结论.
答：相似．
证明：△ABC为等边三角形．
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
又∵AE＝BF＝CD，
∴AD＝FC＝EB，
则△AED≌△CDF≌△BFE.
∴ED＝DF＝EF.△EDF为等边三角形．
∴△DEF∽△ABC.
2.已知：如图，在△ABC中，D是AC上的一点，
∠CBD的平分线角AC于E点，且AE=AB.
求证AE2＝AD·AC.
证明：∵BE为∠DBC平分线，
∴∠DBE＝∠EBC.
又∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，
∠ABE＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB＝∠EBC＋∠C，
∴∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∵AB＝AE，
即AE2＝AD·AC.
∴△ABD∽△ACB.
1．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC的关系是（　　）
课堂练习
A．一定相似
B．当E是AC中点时相似
C．不一定相似
D．无法判断
A
2．如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=
BC．图中相似三角形共有（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
3．如图，△ABC中，AB＞AC，D，E两点分别在边AC，AB上，且DE与BC不平行．请填上一个你认为合适的条件：　
　，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件！）
∠C=∠2
4．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC，下列结论中：①BE=DC；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．正确的序号是　　　．
①②
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∵CE⊥AB，∴∠ADB＝∠CEB＝90°.
又∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE.
6．如图，D是△ABC的边BC上的一点，AB＝2，BD＝1，DC＝3，求证：△ABD∽△CBA.
证明：∵AB＝2，BD＝1，DC＝3，
∴AB2＝4，BD·BC＝1×(1＋3)＝4.
∴AB2＝BD·BC.
而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.
7.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A开始沿AB边行动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度4cm/s，如果P,Q两动点同时运动，那么何时△PBQ与△ABC相似？
解：设t秒后△PBQ与△ABC相似，
①△PBQ∽△ABC，
解得t＝2s.
②当△PBQ∽△CBA，
解得t＝0.8s.答：0.8s或2s时，△QBP与△ABC相似．
相似三角形判定定理的证明
定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
定理的运用
定理证明
定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
定理3：三边成比例的两个三角形相似.
总结新知
再
见