人教版九年级上册第二十二章二次函数知识点学案

人教版九年级上册·第二十二章：二次函数
①二次函数的图像和性质
②二次函数与一元二次方程
③实际问题与二次函数
【考点分析】
1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式，根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围
2.确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、顶点坐标与对称轴公式．
4．能运用二次函数及其图象确定方程和不等式的解或解集，根据函数图象与x轴的交点情况确定未知字母的值或取值范围．
5．运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．
6．应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题．
7．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．
【基础知识】
要点一、二次函数的概念
1.二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a,
b,
c为常数）的函数是二次函数.
若b=0，则y=ax2+c；
若c=0，则y=ax2+bx；
若b=c=0，则y=ax2.
2.二次函数解析式的表示方法
1.
一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c,为常数，a≠0)
2.
顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k,为常数，a≠0)
3.
两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1
x2
是抛物线与x轴两交点的横坐标)或称交点式）
要点二、y=a(x-h)2+k(a,h,k,为常数，a≠0)函数的图象与性质
1.函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
(h,k)
x=h
x>h时，y随x的增大而增大；xa<0
向下
(h,k)
x=h
x>h时，y随x的增大而减小；x注：
二次函数y=a(x-h)2+k的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．
要点三、二次函数的平移
1.平移步骤：
⑴
将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标；
⑵
保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
要点四、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c,为常数，a≠0)的图象的画法
1.一般方法：列表、描点、连线；
①顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点，并用虚线画出对称轴．
②求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点，再按顺序用平滑曲线连结起来．
要点五、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.二次函数图象与性质
二次函数的定义
定义
一般地，形如
y=
ax
2
+
b
x+
c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
其中x、y是变量，a、b、c是常量
一般
形式
顶点式
y=a(x-h)2+k(a、h、k是常数，a≠0)，其中（h,k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h,k）
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)（a是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（
x2，0）
y=
ax
2
（a≠0）
y=a(x-h)2+k(a≠0)
图像
开口方向
a>0时开口向上，a<0时开口向上
a>0时开口向上，a<0时开口向下
对称轴
直线x=0（y轴）
直线x=h
顶点坐标
（0，0）
（h，k）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增
a<0时，在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
最值
a>0，y最小值=0
/
a<0，y最小值=0(x=0)
a>0，y最小值=k
/
y最小值=k
(x=h)
y=
ax
2
+
b
x+
c（a、b、c是常数，a≠0）
开口方向
a>0，开口向上
a<0，开口向下
图像
对称轴
顶点坐标
对称轴：直线
顶点坐标：
增减性
在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减
最值
当，y最小值=
当，y最大值=
2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系
项目
字母
字母的符号
图象的特征
a
a＞0
开口向上
a＜0
开口向下
b
ab＞0(a，b同号)
对称轴在y轴左侧
ab＜0(a，b异号)
对称轴在y轴右侧
c
c=0
图象过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c＜0
与y轴负半轴相交
b2-4ac
b2-4ac=0
与x轴有唯一交点
b2-4ac＞0
与x轴有两个交点
b2-4ac＜0
与x轴没有交点
要点六、用待定系数法求二次函数解析式
1.二次函数解析式常见有以下几种形式
：
(1)一般式：
y=
ax
2
+
b
x+
c（a、b、c是常数，a≠0）；
(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,x1
x2
是抛物线与x轴两交点的横坐标)
要点七、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况
判别式
△=b2-4ac
二次函数
y=
ax
2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）
一元二次方程
ax
2+bx+c=
0
图象
与x轴的交点坐标
根的情况
△＞0
a>0
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于(x1,0)(x2,0)(x1一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根x1,2=
a<0
△＝0
a>0
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交切于()这一点，此时称抛物线与x轴相切
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x1=x2
a<0
△＜0
a>0
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴无交点，此时称抛物线与x轴相离
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)在实数范围内无解（或称无实数根）
a<0
要点八、抛物线与x轴的两个交点之间的距离公式
当△＞0时，设抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)，则x1、x2
是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根．由根与系数的关系得x1+x2=-．x1x2=
即
要点九、抛物线与不等式的关系
二次函数y=
ax
2
+
b
x+
c（a≠0）与一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)及ax2+bx+c<0(a≠0)之间的关系如下(x1判别式
a>0
抛物线y=
ax
2
+
b
x+
c与
x轴的交点
不等式ax2+bx+c>0的解集
不等式ax2+bx+c<0的解集
△＞0
△＝0
无解
△＜0
全体实数
无解
判别式
a<0
抛物线y=
ax
2
+
b
x+
c与
x轴的交点
不等式ax2+bx+c>0的解集
不等式ax2+bx+c<0的解集
△＞0
△＝0
△＜0
要点十、列二次函数解应用题
　
二次函数，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．
(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．
(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．
(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．
(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．
(6)写出答案．
注：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
要点十一、建立二次函数模型求解实际问题
一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题．
【重点难点】
类型一、二次函数的概念
Eg1.下列函数解析式中，一定为二次函数的是（　　）．
y=3x﹣1
B.
y=ax2+bx+c
C.
s=2t2﹣2t+1
D．
类型二、二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
Eg2.函数y＝x2的图象对称轴左侧上有两点A(a，15)，B(b，)，则a-b
0(＞、＜、＝)
类型三、二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)图象、性质及综合应用
Eg3.1.二次函数y=﹣（x﹣3）2+2的顶点的坐标是　
　，对称轴是　
　．
Eg3.2.如图，抛物线顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）若点P（m，-m）（m≠0）为抛物线上一点，求与P关于抛物线对称轴对称的点Q的坐标
类型四、二次函数
y=
a
x
2
+
b
x+
c（a≠0）的图象与性质、最值、综合应用
Eg4.1.求抛物线的对称轴和顶点坐标．
Eg4.2.求二次函数的最小值.
类型五、用待定系数法求二次函数解析式
Eg5.1已知二次函数的图象过(-1,-9)、(1,-3)和(3,-5)三点，求此二次函数的解析式.
Eg5.2已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
类型六、用待定系数法解题
Eg6.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC的面积．
类型七、二次函数图象与坐标轴交点
Eg7.将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
类型八、二次函数与一元二次方程的综合运用
Eg8.已知：关于x的方程：mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2=0．
（1）求证：无论m取何值时，方程恒有实数根；
（2）若关于x的二次函数y=mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣2的图象与x轴两交点间的距离为2时，求抛物线的解析式．
类型九、二次函数与实际应用
1.利用二次函数求实际问题中的最大（小）值
Eg9.1某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
2.利用二次函数解决抛物线形建筑问题
Eg9.2如图所示，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形支撑架ADCB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
3.利用二次函数求图形面积问题
Eg9.4在一边靠墙的空地上，用砖墙围成三格矩形场地，如图所示．已知砖墙在地面上占地总长度160
m，问分隔墙在地面上的长度x为多少时所围场地总面积最大?并求最大面积?
4.利用二次函数求跳水、投篮等实际问题
Eg9.3某跳水运动员进行10
m跳台跳水训练时，身体(看作一点)在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面m，入水处距池边的距离为4
m，同时，运动员在距离水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．
(1)求这条抛物线的关系式；
(2)在某次试跳中测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为m，问此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由．
【考点过关】
1．对于抛物线y＝-（x
+2）2﹣1，下列说法错误的是
A．开口向下
B．对称轴是直线x＝﹣2
C．x＞﹣2时，y随x的增大而增大
D．x＝﹣2，函数有最大值y＝﹣1
2．若关于的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．k>-1
B．k<-1且k≠0
C．k>1且k≠0
D．k>-1且k≠0
3．已知点A(1,y1),B(2,y2)在抛物线上，则下列结论正确的是
A．2>y1>y2
B．2>y2>y1
C．y1>y2>2
D．y2>y1>2
4．如图抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A，点B的坐标；
（2）P为第二象限抛物线上的一个动点，求ACP面积的最大值．
5．如图，抛物线y1＝x2﹣2与直线y2＝x+4交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）当y1＜y2时，直接写出自变量x的取值范围．
【课后作业】
1．二次函数y=–x2–2x+1配方后，结果正确的是
A．
B．
C．
D．
2．抛物线y=–(x–3)2＋5，下列说法正确的是
A．开口向下，顶点坐标（3，5）
B．开口向上，顶点坐标（3，–5）
C．开口向下，顶点坐标（–3，5）
D．开口向上，顶点坐标（–3，–5）
3．将抛物线y=x
2–2x
+3向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为
A．y=（x–1）2+3
B．y=（x–4）2+3
'
C．y=（x
+2）2+5
D．y=（x–4）2+5
4.已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．
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