江苏省南通市2021届高三上学期月考模拟测试数学试题（2020.9） Word版含答案

江苏省南通市2021届高三月考模拟测试
数学试题
2020.9
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． false是false成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2． false（ ）
A．false B．false C．1 D．false
3．设false为false的边false的延长线上一点，false，则（ ）
A．false B．false
C．false D．false
4． 已知直线false：false与圆心为false，半径为false的圆相交于false，false两点，另一直线false：false与圆false交于false，false两点，则四边形false面积的最大值为（ ）
A．false B． false C．false D．false
5． 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为false的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A．false B．false C．false D．false
6． 当动点false在正方体false的棱false上运动时，异面直线false与false所成角的取值范围（ ）
A．false B．false C．false D．false
7．已知椭圆false的左，右焦点分别为false，false，过false作
垂直false轴的直线交椭圆false于false，false两点，点false在false轴上方．若false，false的内切圆的面积为false，则直线false的方程是（ ）
A．false B．false
C．false D．false
8． 已知false，false，若对false，false，使得false成立，则false的取值范围是（ ）
A．false B．false C．false D．false

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9．函数false的定义域为false，且false与false都为奇函数，则（）
A. false为奇函数 B. false为周期函数
C.false为奇函数 D.false为偶函数
10．设false是等差数列，false是其公差，false是其前false项和.若false则下列结论正确的是
false false false false
11． 已知双曲线false过点false且渐近线为false，则下列结论正确的是（）
A.false的方程为false B.false的离心率为false
C.曲线false经过false的一个焦点 D.直线false与false有两个公共点
12．声音是由物体震动产生的波，期中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数false，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数false，则下列结论正确的是（）
A.false是false的一个周期 B．false在false上有3个零点
C.false的最大值为false D．false在false上是增函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．若6把椅子摆成一排，3人随机就座，则有且仅有两人相邻的坐法有 种(用数字填空)
14．在false的展开式中，false的系数为______．
15． △ABC的内角A,B,C的对边分别为false的面积为S,false的最大值为__________.
16．已知，若方程有2个不同的实根，则实数m的取值范围是________.(结果用区间表示)
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
在false中，false，false．
（1）求false；
（2）若false，求false的周长．

18．(本小题满分12分)
已知正项等比数列false满足false，false.
（1）求数列false的通项公式；
（2）记false，求数列false的前false项和false.
19．(本小题满分12分)
某机器生产商，对一次性购买两台机器的客户推出两种超过质保期后两年内的延保维修方案：
方案一：交纳延保金false元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费false元；
方案二：交纳延保金false元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费false元．
某工厂准备一次性购买两台这种机器，现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了100台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，统计得下表：
维修次数
0
1
2
3
机器台数
20
10
40
30
以上false台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率，记false表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数．
（1）求false的分布列；
（2）以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据，该工厂选择哪种延保方案更合算？
20．(本小题满分12分)
如图所示，在四面体false中，false，平面false平面false，false，且false．
（1）证明：false平面false；
（2）设false为棱false的中点，当四面体false的体积取得最大值时，求二面角false的余弦值．



21．(本小题满分12分)
已知椭圆false的左、右顶点分别为false，false，点false在椭圆false上运动，若false面积的最大值为false，椭圆false的离心率为false．
（1）求椭圆false的标准方程；
（2）过false点作圆false：false，false的两条切线，分别与椭圆false交于两点false，false (异于点false)，当false变化时，直线false是否恒过某定点?若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．
22．(本小题满分12分)
已知函数false，false．
（1）求证：false；
（2）用false表示false中的最大值，记false，讨论函数false零点的个数．
江苏省南通市2021届高三月考模拟测试
数学参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. A 2. A 3. C 4.B 5.C 6. C 7. D 8. A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.ABC 10. ABD 11.AC 12.ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应
位置上。
13．72 14．80 15．false 16．false
四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）∵false，∴false，∴false．
（2）设false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false．
∵false，∴false，
∵false，∴false，false．
由余弦定理可得false，
则false，false的周长为false．
18．（1）设数列false的公比为false
由已知false，由题意得false，
所以false，解得false，false.
因此数列false的通项公式为false.
（2）由（1）知，false，
∴false.

19．（1）false所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，
false，false，
false，false，
false，false，false，
false的分布列为
false
0
1
2
3
4
5
6
false
false
false
false
false
false
false
false
（2）选择延保方案一，所需费用false元的分布列为：
false
false (元)
选择延保方案二，所需费用false元的分布列为：
false
false
false
false
false
false
false
false
false (元)
false，
当false，即false时，选择方案二，
当false，即false时，选择方案一，方案二均可，
当false，即false时，选择方案一．

20. （1）证明：因为false，平面false平面false，
平面false平面false，false平面false，所以false平面false，
因为false平面false，所以false．
因为false，所以false，所以false，
因为false，所以false平面false．
（2）解：设false，则false，
四面体false的体积falsefalse．
false，
当false时，false，false单调递增；
当false时，false，false单调递减．
故当false时，四面体false的体积取得最大值．
以false为坐标原点，建立空间直角坐标系false，

则false，false，false，false，false．
设平面false的法向量为false，则false，即false，
令false，得false，
同理可得平面false的一个法向量为false，
则false．
由图可知，二面角false为锐角，故二面角false的余弦值为false．
21. （1）由题可知当点false在椭圆false的上顶点时，false最大，
此时false，∴false，false，false，
∴椭圆false的标准方程为false．
（2）设过点false与圆false相切的直线方程为false，即false，
∵直线与圆false：false相切，∴false，
即得false．
设两切线的斜率分别为false，false，则false，
设false，false，由false，
∴false，即false，∴false；
同理：false，false；
∴false，
∴直线false的方程为false．
整理得false，
∴直线false恒过定点false．
22．（1）证明：设false，定义域为false，
则false．
当false时，false；当false时，false，
故false在false内是减函数，在false内是增函数，
所以false是false的极小值点，也是false的最小值点，
所以false，所以false．
（2）解：函数false的定义域为false，
false，
当false时，false；当false时，false，
所以false在false内是减函数，在false内是增函数，
所以false是false的极小值点，也是false的最小值点，
即false，
若false，则false，
当false时，false；当false时，false；
当false时，false．
所以false，于是false只有一个零点false．
当false，则当false时，false，此时false，
当false时，false，false，此时false，
所以false没有零点．
当false，则当false时，根据（1）可知，false，
而false，所以false，
又因为false，所以false在false上有一个零点false，
从而一定存在false，使得false，
即false，所以false．
当false时，false，
所以false，从而false，
于是false有两个零点false和1．
故当false时，false有两个零点．
综上，当false时，false有一个零点，当false时，false没有零点，当false时，false有两个零点．