人教版八年级数学上册课时练
第十二章全等三角形
12.2
三角形全等的判定
一、选择题
1．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是(
)①；②；③；④若，且，则．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，下列结论中正确的是（ ）
A．AB﹣AD＞CB﹣CD
B．AB﹣AD=CB﹣CD
C．AB﹣AD＜CB﹣CD
D．AB﹣AD与CB﹣CD的大小关系不确定
4．如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E，将△BDE沿直线DE折叠，得到△B′DE，若B′D，B′E分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（ ）
A．△ADF≌△CGE
B．△B′FG的周长是一个定值
C．四边形FOEC的面积是一个定值
D．四边形OGB'F的面积是一个定值
5．已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE，
∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，给出四个条件：①OB=OC；②∠EBO=∠DCO；③∠BEO=∠CDO；④BE=CD．上述四个条件中，选择两个可以判定△ABC是等腰三角形的方法有（ ）
A．2种
B．3种
C．4种
D．6种
7．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是
A．BF=DF
B．∠1=∠EFD
C．BF>EF
D．FD∥BC
8．如图，在等腰△ABC中，，，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持,连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，下列结论：(1)是等腰直角三角形；四边形CDFE不可能为正方形，（3）长度的最小值为4；（4）连接CF，CF恰好把四边形CDFE的面积分成1：2两部分，则或其中正确的结论个数是?
?
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D,过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G,则下列结论：①∠APB＝45°；②PF＝PA；③BD﹣AH＝AB；④DG＝AP+GH;其中正确的是(
)
A．①②③
B．①②④
C．②③④
D．①②③④
10．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．如图，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_______(填写答案序号)．
12．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为
.
13．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(1，2)、A(－2，0)，则点B的坐标是__________.
14．将一副三角板按如图所示的方式摆放，其中△ABC为含有45°角的三角板，直线AD是等腰直角三角板的对称轴，且斜边上的点D为另一块三角板DMN的直角顶点，DM、DN分别交AB、AC于点E、F．则下列四个结论：①BD＝AD＝CD；②△AED≌△CFD；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDF＝BC2．其中正确结论是_____（填序号）．
15．如图，AD⊥BC
于
D，且
DC＝AB＋BD，若∠BAC＝108°，则∠C
的度数是______度．
三、解答题
16．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F
（1）证明：PC=PE；
（2）求∠CPE的度数；
（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．
17．（阅读理解）
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是_____.
A．SSS
B．SAS
C．AAS
D．HL
(2)求得AD的取值范围是______.
A．6＜AD＜8
B．6≤AD≤8
C．1＜AD＜7
D．1≤AD≤7
（感悟）
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.
（问题解决）
(3)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF.求证：AC＝BF.
18．如图，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接.以为直角边且在的上方作等腰直角三角形.
（1）若，
①当点在线段上时（与点不重合），试探讨与的数量关系和位置关系；
②当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立，请在图2中面出相应的图形并说明理由；
（2）如图3，若，，，点在线段上运动，试探究与的位置关系.
19．（问题提出）
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
（初步思考）
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
（深入探究）
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据
，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若
，则△ABC≌△DEF．
20．在△ABC中，AB=AC，点D是射线CB上的一个动点（不与点B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段CB上，且∠BAC=90°时，那么∠DCE=______度．
（2）设∠BAC=α，∠DCE=β．
①如图2，当点D在线段CB上，∠BAC≠90°时，请你探究α与β之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上，∠BAC≠90°时，请将图3补充完整，并直接写出此时α与β之间的数量关系（不需证明）．
21．如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．
（1）填空：______；
（2）当且点运动的速度也是时，求证：；
（3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．
22．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120?，AD⊥BC，且AD=AB．
（1）如图1，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，求证：AE+AF=AD
（2）如图2，如果∠EDF=60?，且∠EDF两边分别交边AB，AC于点E，F，那么线段AE，AF，AD之间有怎样的数量关系？并给出证明．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝CD，点E在AD上，DE＝BD，M、N分别是AB、CE的中点．
（1）求证：△ADB≌△CDE；
（2）求∠MDN的度数．
【参考答案】
1．C
2．D
3．A
4．D
5．C
6．C
7．B
8．A
9．A
10．B
11．①③④
12．.
13．(3，－1)
14．①②
15．24
16．(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，
在△ABP和△CBP中，又∵
PB=PB
∴△ABP
≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；
(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=90°；
(3)、AP＝CE
理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
又∵
PB=PB
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，
∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PC
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，
∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE
17．（1）解：在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB(SAS)，
故选：B；
（2）解：如图：
∵由(1)知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C.
（3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，
∵AD是△ABC中线，
∴CD＝BD，
∵在△ADC和△MDB中
∴△ADC≌△MDB，
∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF.
18．解：（1）①∵∠BAC=90°，△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF+∠CAD=90°，∠BAD+∠ACD=90°，
∴∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=45°，
∵∠ACB=45°，
∴∠FCB=90°，
∴CF⊥BD；
②成立，理由如下：如图2：
∵∠CAB=∠DAF=90°，
∴∠CAB+∠CAD=∠DAF+∠CAD，
即∠CAF=∠BAD，
在△ACF和△ABD中，
∵AB=AC，∠CAF=∠BAD，AD=AF，
∴△ACF≌△ABD(SAS)，
∴CF=BD，∠ACF=∠B，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD；
（2）如图3，过点A作AE⊥AC交BC于E，
∵∠BCA=45°，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AC=AE，∠AED=45°，
∵∠CAF+∠CAD=90°，∠EAD+∠CAD=90°，
∴∠CAF=∠EAD，
在△ACF和△AED中，
∵AC=AE，∠CAF=∠EAD，AD=AF，
∴△ACF≌△AED(SAS)，
∴∠ACF=∠AED=45°，
∴∠BCF=∠ACF+∠BCA=45°+45°=90°，
∴CF⊥BD．
19．（1）解：HL；
（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，
∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，
∴180°-∠B=180°-∠E，
即∠CBG=∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG=FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
AC=DF，CG=FH
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．
20．解：（1）
90
度.
∠DAE=∠BAC
,所以∠BAD=∠EAC,AB=AC,AD=AE,所以ABDACE,所以∠ECA=∠DBA，所以∠ECA=90°.
（2）①
．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC,即∠BAD=∠CAE,
又AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴．∵，
∴．
（3）补充图形如下，
．
21．解：（1）∵S△ABC=AC×BC
∴S△ABC=×4×4=8（cm2）
故答案为：8
（2）如图：连接CD
∵AC=BC，D是AB中点
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得：BE=CF
∴在△CDF与△BDE中
∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，
∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE．
∴×AF×DN=2××BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
综上所述：x=或4
22.(1)证明：连接BD
∵在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC,∠BAC=120?
∴∠BAD=∠FAD=60?
∵AD=AB
∴△ABD是等边三角形
∴∠ABD=∠BDA=∠DAB=60?
∵DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠BED=∠DFA=90?
在△BDE和△ADF中，
∠BED=∠DFA，∠EBD=∠FAD，BD=DA，
∴△BDE≌△ADF(AAS)
∴AF=BE
∴AB=AE+BE
∴AB=AE+AF
解：线段AE，AF，AD之间的数量关系为：，理由如下：
连接BD，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
．
23．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，∵AD=CD，∠ADB=∠ADC，DB=DE，∴△ABD≌△CDE；
（2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°人教版八年级数学上册课时练
第十二章
全等三角形
12.1
全等三角形
一、选择题
1．已知图中的两个三角形全等，则∠α的度数是（ ）
A．72°
B．60°
C．58°
D．50°
2．如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是(
)
A．∠1＝∠2
B．CA＝AC
C．∠D＝∠B
D．AC＝BC
3．下列说法中，错误的是（ ）
A．全等三角形对应角相等???????????????????????????????????????
B．全等三角形对应边相等
C．全等三角形的面积相等???????????????????????????????????????
D．面积相等的两个三角形一定全等
4．如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100
cm，A，B分别与D，E对应，AB＝30
cm，DF＝25
cm，则BC的长为( )
A．45
cm
B．55
cm
C．30
cm
D．25
cm
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB，若∠CDE=165°，则∠B的度数为（ ）
A．15°
B．55°
C．65°
D．75°
6．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是(
)
A．AB＝AC
B．∠BAE＝∠CAD
C．BE＝DC
D．AD＝DE
7．如图，△ABC与△DBE是全等三角形，则图中相等的角有
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
8．如图，把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(
)．
A．∠A=∠1+∠2
B．2∠A=∠1+∠2
C．∠A=∠1+∠2
D．∠A=2∠1+2∠2
9．如图，已知△ABC≌△CDA，下列结论：(1)AB=CD，BC=DA；(2)∠BAC=∠DCA，∠ACB=∠CAD；(3)AB//CD，BC//DA．其中正确的结论有(
)
个．
A．0
B．1
C．2
D．3
10．如图所示，锐角△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，△ADC≌，△AEB≌，且，BE、CD交于点F，若∠BAC=40°，则∠BFC的大小是（
）
A．105°
B．100°
C．110°
D．115°
二、填空题
11．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为_____．
12．如图，，点在边AB上，线段与AC交于点D，若，，则的度数为________．
13．三个全等三角形按如图的形式摆放，则_______________度．
14．如图，若△ABC≌△A1B1C1，且∠A＝110°，∠B＝40°，则∠C1＝______°．
15．在直角坐标系中，如图有△ABC，现另有一点D满足以A、B、D为顶点的三角形与△ABC全等，则D点坐标为
．
三、解答题
16．如图，△ACF≌△DBE，其中点A、B、C、D在一条直线上.
（1）若BE⊥AD，∠F=62°，求∠A的大小.
（2）若AD=9cm，BC=5cm，求AB的长.
17．如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且，，．
（1）求DE的长；
（2）判断AC与BD的位置关系，并说明理由．
（3）判断直线AD与直线CE的位置关系，并说明理由．
18．如图，已知，点E在AB上，DE与AC相交于点F．
（1）当，时，线段AE的长为________；
（2）已知，，
①求的度数；
②求的度数．
19．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，．当时，试探究与之间的数量关系．
20．
如图，已知△ABC≌△DBE，点D在AC上，BC与DE交于点P，若AD=DC=2.4，BC=4.1．
（1）若∠ABE=162°，∠DBC=30°，求∠CBE的度数；
（2）求△DCP与△BPE的周长和．
21．如图，A、B、C、D在同一直线上，且△ABF≌△DCE，那么AF∥DE、BF∥CE、AC=BD吗？为什么？
22．如图，△ABC≌△ADE，∠1=∠2，∠B=∠D，指出其它的对应边和对应角．
23．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，△ABE≌△ACD，∠C=42°，AB=9，AD=6，G为AB延长线上一点．
（1）求∠EBG的度数．
（2）求CE的长．
【参考答案】
1．A
2．D
3．D
4．A
5．D
6．D
7．D
8．B
9．D
10．B
11．6
12．140°
13．180°
14．30
15．（-2，-3）、（4，3）、（4，-3）．
16．（1）∵BE⊥AD，
∴∠EBD=90°．
∵△ACF≌△DBE，
∴∠FCA=∠EBD=90°．
∴∠F+∠A=90°
∵∠F
=62°，
∴∠A=28°．
（2）∵△ACF≌△DBE，
∴CA=BD．
∴CA-CB=BD-CB．
即AB=CD．
∵AD=9
cm,
BC=5
cm，
∴AB+CD=9-5=4
cm．
∴AB=CD=2
cm．
17．解：（1），
，，
．
（2）．理由：
，
．
又，B，C在同一直线上，
．
．
（3）直线AD与直线CE垂直．理由：
如图，延长CE交AD于F．
，
．
在中，，
，
，即直线AD与直线CE垂直．
18．（1），，，
，，
．
（2）①，
，．
，
，
．
②是的外角，
．
是的外角，
．
19．∵，
，，
，，
．
∵，
．
又∵，
，．
20．解：（1）∵∠ABE=162°，∠DBC=30°，
∴∠ABD+∠CBE=132°，
∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°，
即∠CBE的度数为66°；
（2）∵△ABC≌△DBE，
∴DE=AD+DC=4.8，BE=BC=4.1，
△DCP和△BPE的周长和=DC+DP+CP+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=15.4．
故答案是：（1）66°；（2）15.4
21．∵△ABF≌△DCE，
∴∠A=∠D，∠ABF=∠DCE，AB=CD，
∴AF//DE，∠FBC=∠ECB（等角的补角相等），AB+BC=CD+BC，
∴BF//CE，AC=BD.
22．先将△ABC和△ADE从图形中分离出来，找它们的对应边和对应角只能从这两个三角形中找，因为∠1＝∠2，∠B＝∠D，所以另一组对应角为∠BAC与∠DAE；由于对应角所对的边为对应边，则找出对应边为AB与AD，AC与AE，BC与DE．
即：对应边是：AB与AD、AC与AE、BC与DE；另一对应角是：∠BAC与∠DAE．
23．（1）∵△ABE≌△ACD，
∴∠EBA=∠C=42°，
∴∠EBG=180°-42°=138°；
（2）∵△ABE≌△ACD，
∴AC=AB=9，AE=AD=6，
∴CE=AC-AE=9-6=3．
