人教版九年级数学上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系教案

一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
知识与能力：
1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；
2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；
3、已知一根求另一根及系数。
过程与方法：
通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。
情感、态度与价值观：
通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。
教学重、难点
重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。
难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。
一、创设情景，引入新课
师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。同学们还记得这个小秘诀是什么吗？
生：通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。
当“Δ＞0”时，方程有两个不相等的实数根；
当“Δ=0”时，方程有两个相等的实数根；
当“Δ＜0”时，方程没有实数根。
师：回答的真好。其实啊，一元二次方程还有一个小秘密，而且是一个非常重要的秘密，同学想知道吗？
生：想。
师：那么这节课我们一起来探究这个秘密。
一元二次方程的根与系数的关系（板书课题）
二、探索新知，解决问题
1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.
方程
x1
x2
x1
+x2
x1x2
x2+3x+2=0
x2+2x–1=0
x2–3x–4=0
表格1
师：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。
生：……
师：若方程x2+px+q=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？
生：x1
+x2
=
–
p，x1x2
=
q
师：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？
生：不一定。
师：为什么不一定呢？
生：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。
师：同学们观察的非常的仔细。那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？
2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。
方程
x1
x2
x1
+x2
x1x2
9x2–6x+1=0
3x2–4x+1=0
3x2+7x+2=0
2x2+x+1=0
表格2
师：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发现吗？
生：学生认真思考，并回答。
（学生总结的可能不是很全面，或者有的学生可能不能做出总结，要做适当的引导和补充）
师：若一元二次方程ax2+bx+c=
0
(a≠0)的两个根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？
生：能。x1
+x2，x1x2。
师：我们的猜想是否正确呢？
生：思考回答。
师：请同学们认真阅读课本34页，看看课本上是怎么证明它的正确性的。
设一元二次方程ax2+bx+c=
0
(a≠0)的两个根为x1、x2，
∴，.
（学生1上黑板演示）
（学生2上黑板演示）
韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=
0
(a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1
+x2，x1x2。
三、应用新知
例1：已知关于x的一元二次方程x2–6=(k+1)x的一个根是2，求方程的另一个根和k的值。
方法1：解：设一元二次方程x2
–
6=(k+1)x的另一个根为x1，原方程转化成一般式为：x2
–
(k+1)x
–
6=0，∴a=1,b=
–
(k+1),c=
–
6
由韦达定理，可知：
x1
+2=k+1
2
x1
=
–
6
解得
x1
=
–
3
k
=
–
2
方法2：x=2代入原方程中得，4–
2(k+1)
–
6=0
解得k
=
–
2
将k
=
–2代入原方程，得
x2
+
x
–6=0
(x+3)(
x–2)=0
∴x+3=0或x–2=0
即x1=
–
3，x2=2
答：方程的另一个根是–3，k的值是–2.
例2：已知x1
+x2是方程x2
–
x
=3的两个根，求x1
+x2，x1x2，x12
+x22及x1–x2的值。
解：原方程转换成一般形式为：x2
–x
–
3=0.
由韦达定理，可得
x1
+x2=1,
x1x2=
–
3
x12
+x22=(x1
+x2)2–2x1x2=1–2×(–3)=7
(x1–x2)2=(x1
+x2)2–4x1x2=1–4×(–3)=13
x1–x2=±
答：
四、巩固新知，提高认知
课本36页，练习1,2,3,4.
五、课堂小结
1、韦达定理：
如果一元二次方程ax2+bx+c=
0
(a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1
+x2，x1x2。（要特别强调a和Δ的取值范围）。
2、韦达定理的应用：
（1）已知方程的一根，求另一根及未知数的值。
（2）求关于两根的代数式的值。
六、课堂作业
课本36页，习题18.4
第一题和第三题。
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