2019-2020学年上海市金山中学、崇明中高一下学期期中数学试卷 （Word解析版）

2019-2020学年上海市金山中学、崇明中高一第二学期期中数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．2019°角是第　 　象限角．
2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为　 　．
3．已知tanθ＝2，则＝　 　．
4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为　 　．
5．Sn为数列{an}的前n项的和，，则an＝　 　．
6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝　 　．
7．已知，若，则sinα＝　 　．
8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是　 　米．（精确到0.1米）
9．已知数列{an}与{bn}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{an+bn}的前25项和等于　 　．
10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为　 　．
11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是　 　．
12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，…，在点列{An}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝　 　．
二.选择题
13．“tanx＝1”是“”成立的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（　　）
A．向右平移π个长度单位
B．向左平移π个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（　　）
A． B． C． D．
16．函数f（x）＝sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
三.解答题
17．已知，，，求：
（1）tanα和tanβ的值；
（2）tan（α﹣2β）的值．
18．已知函数f（x）＝sinnx+cosx（x∈R）．
（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．
19．在△ABC中，4sinBsin2（+）+cos2B＝1+．
（1）求角B的度数；
（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．
20．在等差数列{an}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最小值；
（3）设，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．
21．已知函数f（x）＝cos2x+2sinxcosx+l，x∈R．
（1）把f（x）表示为Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{asinx，acosx}．x∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案
一.填空题
1．2019°角是第　三　象限角．
解：2019°＝360°×5+219°，是第三象限角．
故答案为：三．
2．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是2，则扇形的弧长为　2　．
解：设扇形的半径为r，
则 ×2×r8＝2，
∴扇形的弧长＝2×＝4．
故答案为：2．
3．已知tanθ＝2，则＝　　．
解：∵tanθ＝2，
∴
＝
＝．
故答案为：．
4．函数y＝arcsin（2x﹣1）的定义域为　[0，1]　．
解：设t＝2x﹣1，
∵反正弦函数y＝arcsint的定义域为[﹣1，1]，
所以函数的定义域为：[0，7]．
故答案为：[0，1]．
5．Sn为数列{an}的前n项的和，，则an＝　　．
解：因为，所以a3＝S1＝2﹣3+1＝0，
当n≥7时an＝Sn﹣Sn﹣1＝（2n6﹣3n+1）﹣[2（n﹣1）2﹣3（n﹣5）+1]＝4n﹣5，
∴an＝．
故答案为：．
6．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，为其终边上一点，则＝　　．
解：由题意可得cosα＝，
则sin（）＝cosα＝．
故答案为：﹣
7．已知，若，则sinα＝　　．
解：，所以α+∈（，），
又，所以sin（α+）＝＝；
＝sin（α+）cos﹣cos（α+）sin
＝．
故答案为：．
8．如图所示，有一电视塔DC，在地面上一点A测得电视塔尖C的仰角是45°，再向塔底方向前进100米到达点B，此时测得电视塔尖C的仰角为60°，则此时电视塔的高度是　236.6　米．（精确到0.1米）
解：设电视塔的高度为x，
则在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，则，解得．
由于，整理得，解得x≈236.5．
故答案为：236.6
9．已知数列{an}与{bn}都是等差数列，且a1＝1，b1＝4，a25+b25＝149，则数列{an+bn}的前25项和等于　1925　．
解：∵等差数列{an}、{bn}满足a1＝1，b6＝4，a25+b25＝149，
∴数列{an+bn}的前25项和＝+＝+（a25+b25）＝+×149＝1925．
故答案为：1925．
10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为　134　．
解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余7的数，
故an＝15n﹣14．
得n≤135，
故此数列的项数为135﹣1＝134．
故答案为：134
11．已知公式cos3θ＝4cos3θ﹣3cosθ，θ∈R，借助这个公式，我们可以求函数f（x）＝4x3﹣3x﹣2（x∈[0，]）的值域．则该函数的值域是　[﹣3，﹣2]　．
解：设x＝cosθ，．
则f（x）＝4x4﹣3x﹣2＝4cos6θ﹣3cosθ﹣2＝cos3θ﹣2．
∴cos3θ﹣5．∈[﹣3，﹣2]
故答案为：[﹣3，﹣2]
12．函数f（x）＝sin（ωx）（其中ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，…，在点列{An}中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2020＝　　．
解：根据题意作出图象如下，设 f（x）＝sin（ωx） 的最小正周期为 ，
所以 ，即 ，解得 ；
若A1A4A5A7 为菱形，则
若 A1Ak﹣1AkAm 为菱形， 则 ，
解得 ，
故答案为：．
二.选择题
13．“tanx＝1”是“”成立的（　　）条件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要
解：tanx＝1?x＝kπ+，k∈Z．
∴“tanx＝1”是“”成立的必要不充分条件．
故选：B．
14．要得到函数y＝2sin（2x+）的图象，只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象（　　）
A．向右平移π个长度单位
B．向左平移π个长度单位
C．向右平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
解：只需要将函数y＝2sin（2x﹣）的图象向左平移个长度单位，
可得函数y＝3sin[2（x+）﹣]＝2sin（2x+）的图象，
故选：D．
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15＞0，S16＞0，则中最大项为（　　）
A． B． C． D．
解：∵等差数列前n项和Sn＝?n2+（a1﹣）n，
由S15＝15a8＞0，S16＝16×＜0可得：
故Sn最大值为S8．
故Sn最大且an取最小正值时，有最大值，
故选：D．
16．函数f（x）＝sinx在区间（0，10π）上可找到n个不同数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的最大值等于（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
解：设＝＝…＝＝k，
则条件等价为f（x）＝kx，的根的个数，
由图象可知y＝kx与函数f（x）最多有10个交点，
故选：C．
三.解答题
17．已知，，，求：
（1）tanα和tanβ的值；
（2）tan（α﹣2β）的值．
解：（1）∵，，
∴cosα＝﹣＝﹣，
∵，
∴．
∴tan（α﹣2β）＝＝＝．
18．已知函数f（x）＝sinnx+cosx（x∈R）．
（1）当n＝1时，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当n＝2时，求f（x）的最值并指出此时x的取值集合．
解：（1）当n＝1时，f（x）＝sinx+cosx＝（sinx+cosx）＝cos（x）．
∴f（x）≠f（﹣x）≠﹣f（﹣x），∴f（x）为非奇非偶函数；
当时，，此时x的取值集合是；
当cosx＝﹣1时，f（x）min＝﹣1，此时x的取值集合是{x|x＝2kπ+π，k∈Z}．
19．在△ABC中，4sinBsin2（+）+cos2B＝1+．
（1）求角B的度数；
（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．
解：（1）由4sinB?sin2（+）+cos2B＝1+，得：2sinB?[7﹣cos（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，
可得sinB＝，
∴B＝，或B＝；
∴acsinB＝×4×c×＝5，解之得c＝6，
∴当B＝时，b＝＝；
即边b的值等于或．
20．在等差数列{an}中，a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn的最小值；
（3）设，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数．
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4＝﹣2，a5+a7＝8．
∴2a1+5d＝﹣2，2a1+10d＝8，
∴an＝﹣6+2（n﹣1）＝2n﹣8．
∴当n＝2或4时，Sn取得最小值，
（3），
∴数列{bn}的前10项和＝﹣2﹣1﹣1+8+0+0+0+1+2+8＝2．
21．已知函数f（x）＝cos2x+2sinxcosx+l，x∈R．
（1）把f（x）表示为Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的形式，并写出函数f（x）的最小正周期、值域；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）定义：对下任意实数x1、x2，max{x1、x2}＝．设g（x）＝max{asinx，acosx}．x∈R（常数a＞0），若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x1）＝f（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝cos2x+2sinxcosx+l＝cos2x+sin2x+1＝2sin（2x+）+6，x∈R；
∴f（x）的最小正周期为T＝＝π，值域为[﹣1，3]；
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
（3）若对于任意x1∈R，总存在x2∈R，使得g（x2）＝f（x2）恒成立，
由g（x）的值域为[﹣a，a]，f（x）的值域为[﹣1，8]，
解得0＜a≤；
所以实数a的取值范围是（0，]．