江西省南康中学2020-2021学年高二上学期第一次大考数学（理）试题 Word版含答案

南康中学2020-2021学年度第一学期高二第一次大考
数 学（理）试 卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合，,则（ ）
A．[0,1) B．(0,1]
C．[0,1] D．(0 ,1)
2．右图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆台
C．圆锥 D．棱台
3. 已知边长为1的菱形中，，则用斜二测画法画出
这个菱形的直观图的面积为（ ）
A． B． C. D．
4．函数的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
5．设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若 B．若
C．若 D．若
6．若 ，则( )
A． B． C． D．
7．已知数列为等比数列，满足；数列为等差数列，其前项和为，且，则（ ）
A．13 B．48 C．78 D．156
8． 在正方体中，M和N分别为和的中点，那么直线 和所成的角的余弦值是（　　）
A． B． C． D．
9．右图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，
这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
10．九章算术中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥和一个鳖臑四个面均为直角三角形的四面体在如图所示的堑堵中，已知，若阳马的外接球的表面积等于，则鳖臑的所有棱中，最长的棱的棱长为（ ）
A．5 B． C． D．8
11．已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
12．已知四边形为矩形，，E为的中点，将沿折起，连接，，得到四棱锥，M为的中点，在翻折过程中，下列四个命题正确的序号是（ ）
①平面；
②三棱锥的体积最大值为；
③；
④一定存在某个位置，使；
A.①② B.①②③ C.①③ D.①②③④
二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13．已知为实数，向量，，且，则______．
14．已知数列满足，，则__________．
15．一个封闭的正三棱柱容器，该容器内装水恰
好为其容积的一半（如图1，底面处于水平
状态），将容器放倒（如图2，一个侧面处于
水平状态），这时水面与各棱交点分别为E，
F、，，则的值是__________.
16．在平面直角坐标系xOy中,A的坐标为(2,0),
B是第一象限内的一点,以C为圆心的圆经 图1 图2
过O?A?B三点,且圆C在点A,B处的切线相交于P,若P的坐标为(4,2),则直线PB的方程
为______________.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）如图，在长方体中，截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比．
18．（本小题满分12分）已知向量.
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，若f(A)=1，求△ABC的周长.
19．（本小题满分12分）在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点.
(1)证明： 共面；
(2)求截面的面积.
20．（本小题满分12分）已知等比数列，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前n项和.
21．（本小题满分12分）四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠BCD＝60°，，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）是否存在Q，使PA∥平面DEQ？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（本小题满分12分）已知圆,直线
（1）若直线与圆相交于两点，弦长等于，求的值；
（2）已知点，点为圆心，若在直线上存在定点（异于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数．
南康中学2020-2021学年度第一学期高二第一次大考
数学（理）参考答案
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1-5 CBCAC 6-10 DCDBC 11-12 AB
二、填空题（每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13． 14． 15． 16． x+7y﹣18=0.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：长方体可以看成四棱柱．设四棱柱的底面的面积为S，高为h，则它的体积为．………………3分
棱锥的底面面积为，高为h
因此，棱锥的体积，…………6分
余下的体积是．……………………………………9分
．…………………………………………10分
18．解：（1）因为(sinx，cosx)，( cosx，cosx)，
f(x)?sinxcosx+cos2xsin2xcos2xsin(2x)，………3分
由2kπ≤2x2kπ，k∈Z，可得：kπ≤xkπ，k∈Z，
可得f(x)的单调递增区间是：[kπ，kπ]，k∈Z，…………………………6分
（2）由题意可得：sin(2A)，
又0所以 2A，
所以2A，解得A，………………………………………………8分
设角A，B，C的对边分别为a，b，c，则：a2=b2+c2﹣2bccosA，
所以a=BC，
又sinB=3sinC，可得b=3c，…………………………9分
故7=9c2+c2﹣3c2，解得c=1，……………………11分
所以b=3，可得△ABC的周长为4.……………………12分
19．解：⑴证明：连结，在正方体中，，又，
四点共面.……………………6分
⑵根据题意，结合线面面面平行的性质，得到满足条件的截面为等腰梯形，…8分
由正方体的棱长为1，可求得该梯形的上底为，下底为，高为，……10分
利用梯形的面积公式可求得.………………12分
20．解：（1）设的公比为q，因为，且，则，…3分
解得，所以.…………………………………………………6分
（2）数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，……………………………………7分
得到，，…………………………10分
……12分
21．证明：（Ⅰ）取中点，连接，，．
因为，所以．………………2分
因为菱形中，，所以．
所以．……………………………………3分
因为，且平面，平面，
所以平面．………………………………5分
因为平面
所以．…………………………………………6分
（Ⅱ）连结交于，连结
在菱形中，由∽
有
又平面且平面平面于………………9分
……………………………………11分
………………………………………………………………12分
22. 解：（1）由弦长等于，结合圆的半径为，利用勾股定理可得圆心到直线的距离，利用点到直线距离公式列方程可得或；………………4分
（2）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，
则设，，……………………………………5分
得，且………………6分
所以
整理得：……………………8分
因为，上式对于任意恒成立，
所以且…………………………10分
解得，所以，（舍去，与重合），，……11分
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数．…………12分