(共21张PPT)
25.4
相似三角形的判定
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第二课时
新课引入
全等三角形的4种判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS.
类比出相似三角形的判定定理1
由“SSS”、“SAS”可类比出相似三角形什么判定方法？
三边对应成比例的两三角形相似
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
我们今天要探究的问题
新课学习
A
B
C
N
M
D
E
F
①在△ABC内截一个△AMN,出现A型.
则△ABC∽△AMN
1
②推出△AMN≌△DEF
③△ABC∽△DEF
我们来回顾一下“两角对应相等两三角形相似”的推理方法
新课学习
探究：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.
A
B
C
D
E
F
思考：你能仿照定理一的推理方法，独立进行证明吗？试一试吧.
已知：如图，
∠A=∠D.
求证：△ABC∽△DEF
新课学习
A
B
C
N
M
D
E
F
证明:在AB边上截取AM,使AM=DE,过点M作MN∥BC,交AC于点N.
则△ABC∽△AMN
AM=DE
∴AN=DF又∠A=∠D
∴△AMN≌△DEF
这种证明线段相等的方法是不是与以往不同？请同学们关注它的特点
∴△ABC∽△DEF
新课学习
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.
A
B
C
D
E
F
几何语言：
∵
∠A=∠D.
∴△ABC∽△DEF
巩固练习
1.如图，已知△ABC则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（
）
A
C
B
6
6
75°
5
5
30°
5
5
40°
5
5
5
5
5
75°
(A)
(D)
(C)
(B)
C
巩固练习
2.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C'是否相似，并说明理由.
（1）∠A=36°,AB=2.5，AC=7.5
∠A'=36°,A'B'=2.5，A'C'=7.5
（2）AC=2A'C',BC=2B'C'
(3)BC=5,AC=8,∠B=40°
B'C'=5,A'C'=8,∠B'=40°
相似
符合判定定理二
不相似
∠B和∠B'不是夹角
不相似
缺少条件，没有夹角
典例精析
例1.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，若AB=6，AC=9，AD=4.求证:△ABD∽△ACB
D
C
B
A
问题1：已知中没有给出角的条件，说明了什么？
图形中有公共角或对顶角出现
问题2：当确定公共角∠A后，需要证明哪个比例式，就可以得到相似了？
典例精析
例1.如图，在△ABC中，D是AC边上的一点，若AB=6，AC=9，AD=4.求证:△ABD∽△ACB
D
C
B
A
又∵∠A=∠A
∴△ABD∽△ACB
注意书写格式
典例精析
例2.如图，AB·AE=AD·AB,且∠1=∠2.求证:△ABD∽△ACB
问题1：条件①是为我们提供什么？
①
②
比例式
问题2：条件②是为我们提供什么？
相等的角
D
C
B
A
E
1
2
典例精析
例2.如图，AB·AE=AD·AC,且∠1=∠2.求证:△ABD∽△ACB
∵∠1=∠2
∴∠1+∠3=∠2+∠3
即∠DAB=∠BAC
∴△ABD∽△ACB
D
C
B
A
E
1
2
3
典例精析
例3.如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高,图中有几对
相似三角形，找出并证明.
E
D
A
B
C
O
公共角∠A+直角
△ABD∽△ACE
对顶角+直角
△BOE∽△COD
典例精析
例2.(拓展）如图所示，已知BD、CE是△ABC的两条高,若连接DE,图中还有几对相似三角形，找出并证明.
E
D
A
B
C
O
如：发现一个变态A型，即△ADE和△ABC
问题1：△ADE和△ABC中，已具备什么相等条件？
相等的角：公共角∠A
问题2：证相似还少什么条件？
第二对相等的角或夹边成比例
可以直观判断，再找理论支持
问题：证角合适还是证边合适？
夹边成比例
典例精析
E
D
A
B
C
O
显然，之前证明的△ABD∽△ACE和△BOE∽△COD可以为二次相似提供条件
∵△ABD∽△ACE
又∠A=∠A
∴△ADE∽△ABC
(比例的基本性质）
典例精析
E
D
A
B
C
O
图中有变态8型，即△DOE和△COB
∵△BOE∽△COD
又∠EOD=∠BOC
∴△EOD∽△BOC
(比例的基本性质）
与全等类似，相似三角形中也会出现二次相似，第一次相似为第二次相似准备条件
总结相似中常见的图形，有助于迅速找到解题思路
巩固提升
1.如图，在△ABC中，AB=24，AC=18，点D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点D,AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE=_____.
A
B
C
●
D
16或9
在AB上取点D,AD=20，在AC上取一点E,
A
B
C
●
D
15
两种不同的结果，引起你什么样的思考？
巩固提升
2.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC，BC上，且∠AED=∠B,再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使△ADE与△BDF相似的是（
）
A
B
C
D
F
E
C
巩固提升
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，点E在AC上，AB=9，AD=6，AE=4，∠BAC=50°.求∠CDE的度数.
E
D
C
B
A
∴△ABD∽△ADE
∴∠EDA=∠B=40°
解:∠B=90°-∠BAC=40°
∴∠CDE=90°-25°-40°=25°
回顾小结
一、相似三角形的判定定理二:
两边对应成比例且夹角相等两个三角形相似
（难点：找准对应边）
二、相似三角形判定方法：
1.定义
2.平行
3.两角对应相等
4.两边对应成比例且夹角相等
同学们再见(共28张PPT)
25.4
相似三角形的判定
冀教版九上
第二十五章
图形的相似
新课引入
新课学习
典例精析
测试小结
第一课时
03
感悟转化思想在数学学习中的应用.
02
总结基本图形，会用“两角对应相等的两个三角形相似”判定相似.
01知道“两角对应相等的两个三角形相似”的推理过程.
学习目标
冀教版九上
新课引入
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°;在Rt△DEF中,∠F=90°,∠D=30°,△ABC与△DEF相似吗？为什么？
E
30°
F
D
30°
C
B
A
目前，要判定两个三角形相似，有哪些方法可以选择？试选择一个合适的方法来进行说明.
新课引入
E
30°
F
D
30°
C
B
A
方法一：相似三角形的定义
分析:由已知容易推出三对角对应相等
推理三边对应成比例时，
可先设BC=a,,则AB=2a,AC=
a
设EF=b,则DE=2b,DF=
b
∴△ABC∽△DEF
新课引入
E
30°
F
D
30°
C
B
A
方法二：用“A”型
∴△ABC∽△DEF
把△DEF移动到△ABC内，
由于∠ACB=∠DFE=90°
可得EF∥BC
新课引入
E
30°
F
D
30°
C
B
A
我们发现在本题的两个直角三角形中有两个角对应相等，则这两个三角形是相似的.那么是不是任意的两个三角形，只要具备“两角对应相等”就会相似呢？
新课学习
一、证明：有两个角对应相等的三角形相似.
A
B
C
D
E
F
已知：如图，∠A=∠D,∠B=∠E.
求证：△ABC∽△DEF
思考：你认为选择前置练习中哪一种方法来进行推理比较合适？
A型
新课学习
A
B
C
D
E
F
将△DEF移到△ABC内，构成“A”型.
新课学习
A
B
C
N
M
D
E
F
证明：在AB上截取AM=DE,过点M作MN∥BC,MN交AC与点N
∵MN∥BC
∴△ABC∽△AMN
∠1=∠B
1
∵∠B=∠E
∴∠1=∠E，又AM=DE,∠A=∠D
∴△AMN≌△DEF
∴△ABC∽△DEF
新课学习
二、相似三角形的判定定理一
两角对应相等的两个三角形相似
A
B
C
D
E
F
几何语言：
∵∠B=∠E,∠C=∠F
∴△ABC∽△DEF
判定两个三角形相似，只需要找到两组对应角相等即可，是不是很方便？
典例精析
例1.运用“两角对应相等的两个三角形相似”解决问题.
（1）已知：如图，在△ABC中，点E、E、F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC,DF∥AC.
求证：△ADE∽△DBF
(要求：深入思考，独立解决，再交流）
A
B
C
F
E
D
证明：∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B
∵DF∥AC
∴∠A=∠BDF
∴△ADE∽△DBF
由平行得出相等的角
由平行，你还能想到什么？还有其他做法吗？
A型
典例精析
(2)如图：∠C=∠B,请找出图中的相似三角形，并进行证明.
A
B
C
E
D
F
∵∠C=∠B,∠A=∠A
∴△ABE∽ACD
∵∠C=∠B,∠1=∠2
∴△DBF∽ECF
1
2
公共角
对顶角
典例精析
(3)已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.
求证：△ABD∽△BCD
C
B
A
D
1
证明：∵∠1+∠C=90°
∠A+∠C=90°
∴∠1=∠A
又∠BDC=∠BDA=90°
∴△ABD∽△BCD
同角的余角相等
典例精析
(3)（拓展一）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.图中有几对相似三角形.
3对
△ABC∽△BDC
△ABC∽△ADB
△BAD∽△CBD
母子型
C
B
A
D
存在于哪两个三角形中？
典例精析
(3)（拓展二）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.
求证:
证明：∵∠ADB=∠ABC=90°
∠A=∠A
∴△ADB∽△ABC
C
B
A
D
典例精析
(3)（拓展三）已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D.
若BC=5，CD=2，求AC的长.
证明：∵∠BDC=∠ABC=90°
∠C=∠C
∴△BCD∽△ACB
观察已知线段BC、CD和所求线段AC存在于哪两个三角形中？
∴2AC=25
∴AC=12.5
C
B
A
D
巩固提升
找相等的角常用的方法：
1.平行
2.公共角
3.对顶角
4.同角（或等角）的余角（或补角）相等
相似的作用：
1.证明等积式（比例式）
2.求线段长
典例精析
例2.（课本75页“做一做”）已知：如图，点D在△ABC的边AB上，过点D作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条？请把这些直线画出来.
A
B
C
●
D
独立完成，画到书上，再与同伴交流.
典例精析
A
B
C
●
D
①过点D作BC的平行线，交AC于点E
E
A
B
C
●
D
F
②作∠ADF=∠C,
A型
变态A型
典例精析
A
B
C
●
D
①过点D作AC的平行线，交AC于点M
M
A
B
C
●
D
N
②作∠ADN=∠C,
A型
不成立
典例精析
例2.（课本75页“做一做”）已知：如图，点D在△ABC的边AB上，过点D作直线截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.你认为满足条件的直线有几条？请把这些直线画出来.
A
B
C
●
D
有3条直线，分别是DE、DF、DM
E
F
M
思考：请大家在课下，移动D点的位置，探究直线最多可做几条？最少可做几条？
典例精析
例2.（拓展）在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，若△ADE与△ABC相似，且AB=10，AC=8，AD=4，求AE的长.
A
B
C
●
D
E
我是这样做的
∵△ADE∽△ABC
解得，AE=3.2
你认为小明的做法对吗？
小明
典例精析
例2.（拓展）在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，若△ADE与△ABC相似，且AB=10，AC=8，AD=4，求AE的长.
A
B
C
●
D
E
由于题中已知中并没有指明两个三角形顶点的对应情况，应该分类讨论.
小明只做了正常A型，漏了变态A型.
典例精析
例2.（拓展）在△ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，若△ADE与△ABC相似，且AB=10，AC=8，AD=4，求AE的长.
A
B
C
●
D
E
解：第一种情况
当△ADE∽△ABC
解得，AE=3.2
第二种情况
当△ADE∽△ACB
解得，AE=5
∴AE的长为3.2或5.
巩固练习
1.下列命题是真命题的有（
）
①两个直角三角形一定相似；②两个直角三角形一定不相似；③两个等腰三角形一定相似；④有一个锐角相等的两个直角三角形一定相似.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
B
巩固练习
2.如图，已知A（2,0），B(0,4)两点，且∠1=∠2，求点C的坐标.
y
x
B
O
A
C
1
2
解：∵∠COA=∠AOB=90°
∠1=∠2
∴△AOC∽△BOA
解得，OC=1
∴C（0,1）
回顾小结
一、相似三角形的判定定理一:
两角对应相等的两个三角形相似
（常用的找相等角的方法）
二、相似的作用：（A型、变态A型、母子型）
1.证明比例式、等积式
2.求角度，求边长
同学们再见
