人教版九年级数学上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计

21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
【教材分析】：本课是新人教版九上第15页，前面已经学习了一元二次方程的解法和根的判别式，是继续研究方程的根与系数的关系，这节知识对后续学习二次函数有很大的帮助，延伸到高中的数学教学也有广泛的应用。它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时，让学生体会公式基本内容，在头脑中形成积极印象很关键。
教学目标：1、理解根与系数关系的推导过程；
2、掌握不解方程，应用根与系数关系解题的方法；
3、体会从特殊到一般，再有一般到特殊的推导思路
教学重点：应用根与系数关系解决问题；
教学难点：根与系数关系的推导过程
教学流程：预习，探究新知，分组讨论，矫正反馈，当堂测评，反思
教学过程：
预习：
1、求出下列方程的两根，计算两根的和与两根的积，并观察两根的和、两根的积与一元二次方程各项系数之间有什么关系？
序号
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
（1）
x2
–
5x
+6
=0
（2）
x2
–
2x
+1
=0
（3）
x2
+
x
-2
=0
【设计意图】通过学生解方程求出方程的根，进一步熟悉一元二次方程的解法，同时，三个一元二次方程系数都为1,让学生从特殊的方程中观察两根的和、两根的积与方程的各项系数的关系。让学生有一个初步的认识。
探究新知：
x1和x2
是一元二次方程
ax2
+bx
+c
=0
(a≠0
)的两根，根据求根公式可知：
，
请同学们求出与的值，并观察它们与方程各项系数有何关系。
方程的两根与系数的关系：，
分组讨论：1、两根的和与两根的各相同点与不同点是什么？
2、特别要注意什么？
【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上，可以最快速度说出x1和x2的值，接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式x1+x2
和x1x2
得出根系关系的结论，凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会，数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的，数学中那一系列的字母并不是高不可攀.
例1：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根的和与积：
；（2）；（3）
学生分组讨论：怎样求出两根的和与积，分别是多少？最后教师板书过程。
解：（1），
（2），
（3）方程化为，，
学生练习：
第一组习题：不解方程，求下列方程的两根和与两根积
x2
–
3x
+1
=0
3x2
–
2x
-
2=0
2x2
–3x
=0
3x2
=1
第二组习题：
是一元二次方程的一个根，求出方程另一个根和m的值。
是方程的两根，求p
和q的值。
【设计意图】新知产生后，直接应用新知是学生的模仿阶段，也是本课教学最基本的知识目标，这时需要强化记忆，除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时，可引导学生发现应用根系关系解决两根和与两根积的问题不需求出复杂的两根，同时渗透着整体代入的数学方法，为例2巩固知识奠定基础.
例2：已知：x1和x2
是一元二次方程x2
-4x
+1=0的2根,
求下列代数式的值
（1）
+
（2）x12
+
x22
（3）（x1
-
x2）2
学生分组讨论：如何利用根与系数的关系造这些整体？
解：（1）∵，
∴
＝14
（3）＝
【设计意图】
本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容，也是研究根系关系应掌握的内容，还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法
.
分组讨论：1、利用根与系数解决问题时，要注意什么？
2、哪些地方是同学们最容易出错的？
3、哪些地方是同学们最难懂的？
四、反馈纠正：
学生练习（请两位学生上黑板板书，其余学生在座位上练习）：
（1）
+
，（2）（x1+1）（x2+1）
当堂测评：
1、（1）2x2-3x+1=0，则x1+x2=
________
，x1x2=
_________
（2）3x2+5x=0
，则
x1+x2=
________
，x1x2=
__________
（3）5x2+x-2=0
，则
x1+x2=
_________，x1x2=
__________
2、如果关于的方程的两根之差为2，那么
。
3、已知是方程的两个根，那么＝
，
。
4、利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根的平方和，倒数和。
【设计意图】检测学生对这节知识的掌握情况，并及时进行补救。
六、反思：
板书设计：
x1和x2
是一元二次方程
ax2
+bx
+c
=0
(a≠0
)的两根，根据求根公式可知：
，
方程的两根与系数的关系：，
例1
例2
学生练习：