2021年中考数学专题 中考数学一轮复习之《一次函数与反比例函数》（Word版 含部分答案）

中考数学一轮复习《一次函数与反比例函数》

课堂导入
同学们，你们知道三顾茅庐的故事吗？
话说徐庶离开刘备后，司马徽又向刘备推荐卧龙岗的诸葛亮. 刘备听说诸葛亮才智过人，上通天文，下知地理，于是带着关羽，张飞二人前去拜访.
途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地. 为了安全、迅速地通过这片湿地，刘备让关、张二人沿着前进路线铺了若干块木板，建成一条临时通道.
关羽张飞不明白其中道理，就问：“大哥，你这是何故？”刘备微微一笑，解释道：“当我们铺上木板，由于压力是定值，木板对地面的压强P就是木板面积S的反比例函数，当木板面积增大时，木板对地面的压强反而减小，咱们就不会陷入泥中了”.
关羽和张飞听后，不住地点头，心中更加佩服大哥的智谋.
怎么还会有物理中的压强啊？对呀！让我们一起来复习下一次函数与反比例函数的知识吧！
知识详解1-一次函数
一次函数：一般地，形如(k，b是常数，k≠0)的函数， 叫做一次函数. k叫做斜率，b叫做截距.
正比例函数：一般地，形如 (k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 正比例函数是一次函数的特例（即b=0），一次函数包括正比例函数.
一次函数的图像：所有一次函数图像都是一条直线. 经过和(0，b)这两点.
正比例函数图像：也是一条直线，经过原点（0，0）和（1，k）这两点.
一次函数与正比例函数图像的关系：一次函数可以看作是由平移|b|个单位得到的，当b>0向上平移，当b<0，向下平移.
一次函数图像与坐标轴的交点：
直线与x 轴的交点坐标为，与 y 轴交点坐标为(0，b).
一次函数的性质：
k的符号
b的符号
图像
经过的象限
增减性
k>0
b>0

一、二、三
y随着x增大
而增大

b=0

一、三


b<0

一、三、四

k<0
b>0

一、二、四
y随着x增大
而减小

b=0

二、四


b<0

二、三、四


k、b符号判断方法：
（1）从左向右看一次函数的图象，呈上升趋势，k>0；呈下降趋势，k<0．
（2）一次函数的图象与y轴的交点，在正半轴上，b>0；在负半轴上，b<0；过原点，b=0.
点的平移：上加下减，右加左减. 例：点（-2，1）向左3个单位，向下2个单位，（-2-3，1-2）
图像平移：上加下减，左加右减. 例：将y=-2x+1向左3个单位，向下2个单位，y = -2（x+3）+1-2
待定系数法：确定一次函数两个系数k和b的方法叫待定系数法. 需要两个点的坐标，代入解析式列方程组求解即可.
直线特殊位置关系：平行和垂直. 直线和，
（1）若两直线平行，则；
（2）若两直线垂直，则（或）.
两直线的交点：两个函数表达式可以组成一个二元一次方程组，方程组的解就是函数图像的交点. 例如：直线和直线的交点坐标，就是方程组的解.
直线与坐标轴围成的三角形的面积：直线与x 轴的交点坐标为，与 y 轴交点坐标为(0，b)，所以三角形的面积为.
一次函数与一次方程（组）的关系：
（1）一次函数解析式本身就是一个二元一次方程；
（2）方程的解?函数与x轴交点的横坐标?函数中，y=0时x的值；
（3）已知两个一次函数和，则二元一次方程组的解?两个一次函数图像的交点B的坐标，即B（m，n）.
一次函数与一元一次不等式的关系：
（1）不等式（或）的解集?函数的图像在x轴上方（或下方）的部分对应的横坐标x的取值范围?函数中，y>0（或y<0）时x的取值；
1828800247015（2）不等式的解集是，不等式的解集是.








典例精讲1
【例题1】一次函数y=(k-1)x-k的大致图象如图所示，关于该函数，下列说法错误的是(　　)
A. k>1 B. y随x的增大而增大
C. 该函数有最小值 D. 函数图象经过第一、三、四象限
【练习1-1】已知一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象经过一、三、四象限，则下列结论正确的是 (　　)
A. kb>0 B. kb<0 C. k+b>0 D. k+b<0

【例题2】已知一次函数图像经过A（2，-1）、B（-1，1）两点，则k_______0（填“>”或“<”）


【练习2-1】在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+1的图象经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若x1”“<”或“=”).
【例题3】将一次函数向右平移1个单位，向下平移2个单位后得到______________.
【练习3-1】一次函数可以看作将的图像向_____平移_____单位得到.
【例题4】若以方程x+2y-b=0的解为坐标的点(x，y)，都在直线y= - x+b-1上，则常数b= (　　)
A. -2?　 ????B. 2　???? C. -1　? ? ??D. 1
【例题4-1】一次函数y=kx+b（k≠0）的图像如图所示，根据图像信息可求得关于x的方程kx+b=3的解为______，kx+b=0的解为_______，关于x的不等式kx+b-3>0的解集为____________.
【例题5】若一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，-1)，B(1，1)，则不等式kx+b>1的解集为 (　　)
A. x<0 B. x>0 C. x<1 D. x>1
4328795504825【练习5-1】如图，一次函数y＝ax+b（a、b为常数，且a＞0）的图象经过点A（4，1），则不等式ax+b＜1的解集为_____________．
能力提升
1、已知直线y=kx+b经过点A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1≠x2)，若k<0，q=( x1-x2)(y1-y2)，则(　　)
A. q>0　??? ?B. q<0　?? ? ?C. q≥0　??? ?D. q≤0
2、若直线y=kx+k+1经过点(m，n+3)和(m+1，2n-1)，且0A. 3　?? ? ?B. 4　??? ? C. 5　?? ??D. 6
如图，直线y= - x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为 - 2，则关于x的不等式组
- x+m> nx+4n >0的整数解为（ ）
A-1　?? ? ?B. -5　??? ? C. -4　?? ??D. -3
4、已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．
（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．
（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．
知识详解2-反比例函数
反比例函数：形如(k是常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数.
注意：（1）反比例函数中，自变量取值范围是；
（2）解析式的变式：或.
反比例函数图像：反比例函数的图像属于双曲线. 反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形. 有两条对称轴：直线y=x和 y= - x. 对称中心是：原点. 它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.
反比例函数性质：（1）当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
（2）当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大.
反比例函数
(k是常数，k≠0)
k的符号
k>0
k<0
图像


所在象限
一、三
二、四
增减性
同一支上，y随x的增大而减小，曲线从左向右下降
同一支上，y随x的增大而增大，曲线从左向右上升
对称性
（1）轴对称：关于y=x或y= - x轴对称
（2）中心对称：关于原点（0，0）成中心对称
的几何意义：过反比例函数图像上任意一点向两坐标轴所作垂线，两条垂线与两坐标轴围成的矩形的面积为.









反比例函数解析式求解：
（1）待定系数法：
①设出反比例函数解析式；
②找出图像上一点的坐标P（x0，y0）；
③将P（x0，y0）代入，求出k值；
④写出解析式.
（2）几何法：题中涉及面积时，考虑用k的几何意义求解.
典例精讲2
【例题1】点（-1，4）在反比例函数的图像上，则下列各点在此函数图像上的是（ ）
A. （4，-1）　?? ? ?B. （-4，-1）??? ? C. 　?? ??D.
【练习1-1】若点A（-2，3），B（m，-6）都在反比例函数的图像上，则m的值是______．
【例题2】反比例函数，下列说法不正确的是（ ）．
A. 图像经过点（1，-3）　?? ? ? B. 图像位于二、四象限??? ?
C. 图像关于直线y= x对称　?? ? D. y随x的增大而增大

【练习2-1】反比例函数（a是常数）的图像在一、三象限，那么a的取值范围是（ ）．
A. a<0　?? ? ?B. a>0??? C. a<2　?? ??D. a>2

【例题3】点A(2，y1)、B(4，y2)都在反比例函数图象上，则y1、y2大小关系为(????　)
A. y1>y2　???? B. y1 C. y1=y2　??? ?D. 无法确定
【练习3-1】若点（-1，y1）、（2，y2）、（3，y3）都在反比例函数上，则y1 、y2、y3的大小关系是（ ）．
A. y1 >y2>y3　?? ? B. y3 >y2>y1??? ? C. y1 >y3>y2　?? ? D. y2 >y3>y1
【例题4】如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b>的解集是（　　）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【例题5】如图，已知A点是反比例函数y=(k≠0)的图象上一点，AB⊥y轴于点B，则△ABO的面积为3，则k的值为?(　　)
?
A. -3　? ???B. 3　???? C. -6　?? ??D. 6
【练习5-1】如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数及的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1 - k2=　　　????.
能力提升
1、已知反比例函数的图像经过点，则 ．
2、函数与的图像如图所示，下列关于函数的结论：①函数的图像关于原点中心对称；②当时，y随x的增大而减小；③当时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所有正确结论的序号是 ．
3、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点， OABC的顶点A在反比例函数上，顶点B在反比例函数上，点C在x轴的正半轴上，则 OABC的面积是（ ）．
A. 　? ???B. 　???? C. 4　?? ??D. 6


4、如图，点C在反比例函数y=(x>0)的图象上，过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB=BC，△AOB的面积为1. 则k的值为 (　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

课后作业
1、如果一次函数y=kx+3(k是常数，k≠0)的图象经过点(1，0)，那么y随x的增大而　　　　. (填“增大”或“减小”)?
2、函数和y=kx+2(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象是(　　)
A B C D
3、已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式3kx﹣b＞0的解集为　 　．
4300220186055
4、如图，△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠BDO=90°，且点A在反比例函数（k＞0）的图象上，若OB2-AB2=10，则k的值为? ???．
5、如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A(1，1)，∠ABC=60°，则k的值是?(　　)?
A. -5　???? B. -4　??? ? C. -3　???? D. -2
-7302587630
6、设函数与y=-2x-6的图象的交点坐标为(a，b)，则的值是　　　????．
7、若反比例函数的图像上有两个不同的点关于y轴的对称点都在一次函数的图像上，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. 或 D.
8、如图，反比例函数y=2mx和一次函数y=kx-1的图象相交于A(m，2m)，B两点.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求出点B的坐标，并根据图象直接写出满足不等式2mx40411402540
9、小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第回到家中. 设小明出发第时的速度为，离家的距离为. 与之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）.

（1）小明出发第时离家的距离为 ；
（2）当时，求与之间的函数表达式；
（3）画出与之间的函数图像.
课后作业答案及解析
1、减小　
解：∵一次函数y=kx+3(k是常数，k≠0)的图象经过点(1，0)，
∴0=k+3，
∴k=-3，
∴y随x的增大而减小. 故答案为减小.
2、B
解：在函数y=kx和y=kx+2(k≠0)中，
当k>0时，函数y=kx的图象在第一、三象限，函数y=kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项A，D错误，选项B正确;
当k<0时，函数y=kx的图象在第二、四象限，函数y=kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项C错误. 故选B.
3、x＜2．
解：直接利用图象把（﹣6，0）代入，进而得出k，b之间的关系，
∵图象过（﹣6，0），则0＝﹣6k+b，则b＝6k，
故3kx﹣b＝3kx﹣6k＞0，
∵k＜0，
∴x﹣2＜0，
解得：x＜2．
4、5
解：设A点坐标为（a，b），
∵△ABC和△BOD都是等腰直角三角形，
∴AB=，OB=BD，BC=AC，OD=BD
∵OB2-AB2=10，
∴2OD2-2AC2=10，即OD2-AC2=5，
∴（OD+AC）（OD-AC）=5，
∴a?b=5，
∴k=5．
故答案为：5．
5、C
解：∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，AC⊥BD，
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∵点A(1，1)，∴OA=，
∴BO=，
易得直线AC的解析式为y=x，
直线BD的解析式为y=-x，
∵OB=，
∴点B的坐标为()，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴，解得k=-3，故选C.
6、2
解：将x=a，y=b代入反比例函数解析式得b=，得ab=3，
将x=a，y=b代入一次函数解析式得b=-2a-6，即2a+b=-6，
∴.
7、C
解：反比例函数y=-2x的图象上关于y轴的对称点都在反比例函数y=2x的图象上，
∴解方程组，
整理得x2-m，+2=0，
∵反比例函数y=2x的图象与一次函数y=-x+m的图象有两个不同的交点，
∴方程x2-mx+2=0有两个不同的实数根，
∴Δ=m2-8>0，
∴m>22或m<-22，故选C.
8、解:(1)∵A(m，2m)在反比例函数图象上，
∴2m=2mm，
∴m=1，
∴反比例函数的表达式为y=2x，A(1，2).
又∵A(1，2)在一次函数y=kx-1的图象上，
∴2=k-1，即k=3，
∴一次函数的表达式为:y=3x-1.
(2)由，解得，或，
∴B-，，-3，
∴由图象知满足不等式2mx1.
9、解：（1）.
（2）根据题意，当时，与之间的函数表达式为，即.
（3）与之间的函数图像如图所示.