第13章
全等三角形
13.1.1
命
题
知识点：命题.
重
点：找出命题的条件(题设)和结论，并判别命题的真假性.
难
点：用反例的方法说明一个命题是假命题．
基础巩固
一、填空题：
1.
表示
的语句叫做命题，每个命题都由
＿＿＿和
＿＿＿两部分组成.
2.
命题“对顶角相等”的题设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，结论是＿
＿＿＿＿.
3.
命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是如果＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，
那么
.
4.
命题有真假两种，如果条件成立，那么结论一定成立，这样的命题是
命题，如果条件成立，那么结论不成立，这样的命题是
命题，
5.
要判断一个命题是真命题，可以用
加以论证，要判断一个命题是假命题，只要
，说明该命题不成立即可，在数学中，这种方法称为
.
6.
判断下列命题的真假（在题后括号内是真命题的打√，假命题的打×）
（1）对顶角相等
（
）
（2）直角都相等
（
）
（3）同位角相等
（
）
（4）同旁内角互补
（
）
（5）互补的两个角一个为钝角、一个为锐角
（
）
7.
利用“举反例”，说明下列命题是假命题：
（1）如果a2=b2,
那么a=b；
；
（2）如果a
b=0,那么a=0,
b=0；
；
（3）已知两条直线被第三条直线相交，内错角相等；
；
（4）个位数字为6的整数一定能够被6整除.
.
二、选择题：
8.下列句子中，是命题的是(
)
A.今天的天气好吗
B.作线段AB∥CD
C.连接A.B两点
D.正数大于负数
9.下列句子中，不是命题的是(
)
A.三角形的内角和等于180度
B.对顶角相等
C.过一点作已知直线的平行线
D.两点确定一条直线
10.下列语句不是命题的为（
）
A.两点之间，线段最短
B.同角的余角不相等
C.作线段AB的垂线
D.不相等的角一定不是对顶角
11.下列命题中，真命题是(
)
A.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角
B.两互补的角一定是邻补角
C.如果a2=b2，那么a=b
D.如果两角是同位角，那么这两角一定相等
12.下列命题中的假命题是(
)
A.如果a∥b，b∥c，那么a∥c
B.锐角三角形中最大的角一定大于或等于60°
C.两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D.矩形的对角线相等且互相平分
13.下列命题中，真命题有(
)
①如果a∥b，b⊥c，那么a⊥c；
②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离；③如果x2-4=0，那么x=±2；
④如果a=b，那么a3=b3.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
14.下列命题中的真命题是（
）
A.
和为180°的两个角是邻补角
B.
一条直线的垂线有且只有一条
C.
点到直线的距离是指这点到直线的垂线段
D.
两条直线被第三条直线所截，若内错角相等，则同位角必相等
15.下列命题正确的是（ ）
A.
两直线与第三条直线相交，同位角相等
B.
两直线与第三条直线相交，内错角相等
C.
两直线平行，内错角相等；
D.
两直线平行，同旁内角相等
16.在同一平面内，直线a、b相交于点O，直线b∥c，则直线a与c的位置关系是（B
）
A.平行
B.相交
C.重合
D.平行或重合
三、解答题：
17.写出下列命题的题设和结论，并用“如果…，那么…”的形式：
（1）直角都相等；
（2）平行于同一条直线的两条直线平行；
（3）内错角相等；
（4）绝对值相等的两数相等；
（5）三角形内角和是180°.
18.
下列命题中，真命题有哪些？是假命题的举例说明.
（1）相等的角是对顶角；
（2）两直线被第三直线所截，内错角相等，则两直线平行；
（3）如果m是自然数，那么m是有理数；
（4）如果a=-5，那么；
（5）如果a+b=0，那么a、b互为相反数.
强化提高
19．下列语句中属于命题的有
（
）
（1）两点确定一条直线；
（2）不许大声喧哗！
（3）连结线段MN；
（4）两个锐角的和一定是直角；
（5）5+3＞6；
（6）不相交的两条直线叫做平行线.
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
20.判断下列命题的真假.
(1)
一个三角形如果有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形；
(2)
如果|a|=|b|，那么a3=b3.
21．观察图中∠A与∠B、∠1与∠2的大小关系，用一个命题表达你所观察的结论．
21题图
13.1.1
命题答案
1.
判断，
题设，
结论.
2.
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等（或者：题设是对顶角，结论是相等）
3.
两条直线被第三条直线所截，如果是同位角，那么这两个角相等.
4.
真，假.
5.
演绎推理，举一个反例，举反例.
6.
（1）对顶角相等
（
√
）
（2）直角都相等
（
√
）
（3）同位角相等
（
×
）
（4）同旁内角互补
（
×
）
（5）互补的两个角一个为钝角、一个为锐角
（
×
）
7.（1）如（-3）2=32，
但是-3≠3；
（2）如0×3=0，但是3≠0；
（3）只有在两条平行直线被第三条直线相交时，内错角才能相等，否则，内错角不相等；
（4）如16，个位数字为6，但是16不能够被6整除.
8.
D.
9.
C.
10.
C.
11.
A.
12.
C.
13.
C.
14.
D.
15.
C.
16.
B.
17.
解：（1）如果两个角是直角，那么这两个角相等；
（2）如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；
（3）两条直线被第三条直线所截，如果两个角是内错角，那么它们相等；
（4）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；
（5）如果三个角是三角形的内角，那么它们的和是180°.
18.
解：（1）相等的角是对顶角；是假命题，两角相等但是不一定是对顶角.
（2）两直线被第三直线所截，内错角相等，则两直线平行；是真命题.
（3）如果m是自然数，那么m是有理数；是真命题.
（4）如果a=-5，那么；是真命题.
（5）如果a+b=0，那么a、b互为相反数.
是真命题.
因此，（2）（3）（4）（5）
是真命题.
19.
C.
解析：（1）（4）（5）（6）是命题.
20.(1)真命题；(2)假命题.
21．解：
如果一个角的两边与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角相等或互补．13.1.2
定理与证明
知识点：定理、证明.
重
点：证明的含义和表达格式.
难
点：证明的表达格式.
基础巩固
1.下列命题中真命题是(
)
A.两个锐角之和为钝角
B.两个锐角之和为锐角
C.钝角大于它的补角
D.锐角小于它的余角
2.命题.①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④同位角相等.其中假命题有(
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3．某工程队在修建高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么基本事实可以说明这样做能缩短路程(
)
A．直线基本事实
B．直线基本事实或线段最短基本事实
C．线段最短基本事实
D．平行基本事实
4．下列命题中，真命题有(
)
①三角形中的内角没有小于60°的；
②三角形的外角都是钝角；
③三角形的内角大于它的外角；
④三角形的三个外角的和是360°.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．举出反例说明下列命题是假命题：
(1)大于90°的角是钝角；
(2)负数与负数的差是负数；
(3)有三个实数a、b、c，若ab＝ac，则b＝c；
(4)如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等；
(5)两条直线被第三条直线所截，同位角相等．
6．如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，且∠1＋∠2＝90°，那么AB∥CD.
理由：∵BE平分∠ABC(________)，
∴∠ABC＝2∠1(________________)．
∵CE平分∠BCD(_______)，
∴∠BCD＝2∠2(______________________)．
又∵∠1＋∠2＝90°(_______)，
∴2(∠1＋∠2)＝2×90°，
即∠ABC＋∠BCD＝180°，
∴AB∥CD(__________________________)．
6题图
7题图
8题图
7.
已知，如图，AB⊥BC，BC⊥CD且∠1=∠2.求证：BE∥CF.
证明：∵AB⊥BC，BC⊥CD(已知)
∴
=
=90°(
)
∵∠1=∠2(已知)
∴
=
(等式性质)
∴BE∥CF(
)
8.
已知，如图，AC⊥BC，垂足为C，∠BCD是∠B的余角.
求证：∠ACD=∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)
∴∠ACB=90°(
)
∴∠BCD是∠DCA的余角(
)
∵∠BCD是∠B的余角(已知)
∴∠ACD=∠B(
)
9.
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别为AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B.
求证：EF∥CD.
9题图
强化提高
10.已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4.求证：AD∥BE.
10题图
证明：∵AB∥CD(已知)
∴∠4=∠
(
)
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3=∠
(
)
∵∠1=∠2(已知)
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF(
)
即∠
=∠
∴∠3=∠
(
)
∴AD∥BE(
)
11．证明：四边形的内角和为360°.
解：
已知：如答图，四边形ABCD.
求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
11题图
证明：连结BD.
在△ABD中，∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°(
)，
在△BCD中，∠C＋∠CBD＋∠CDB＝180°(
)，
∴∠A＋∠C＋(
)＋(
)＝360°，
即∠A＋∠C＋∠B＋∠D＝360°.
12．如图，AD是∠BAC的角平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F，且∠AFG＝∠G.
求证：GE∥AD.
12题图
13.1.2
定理与证明答案
1.
C.
2.
B.
3.
C.
4.
A.
5．解：
(1)如180°的角是平角．
(2)如－2与－5的差是3，不是负数．
(3)如当a＝0，b＝1，c＝2时，ab＝ac，但b≠c.
(4)如图，AB∥A′B′，AC∥A′C′，但∠BAC≠∠B′A′C′.
(4)题图
(5)题图
(5)如图，∠1≠∠2.
6．已知
角平分线的定义
已知
角平分线的定义
已知
同旁内角互补，两直线平行
7.
∠ABC
∠BCD，垂直定义，∠EBC=∠BCF，内错角相等，两直线平行.
8.
垂直定义，余角定义，同角的余角相等.
9.
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°.
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，
∴∠B＋∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE＝∠ACD，
∴EF
∥
CD
.
10.∠BAE，两直线平行同位角相等.
∠BAE，等量代换，等式性质，
∠BAE，∠CAD，∠CAD等量代换.
内错角相等，两直线平行.
11.
三角形内角和等于180°，三角形内角和等于180°，∠ABD＋∠CBD，∠ADB＋∠CDB
12．证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠DAC.
∵∠G＋∠GFA＝∠BAC，∠AFG＝∠G.
∴∠BAC＝2∠G，∴∠DAC＝∠G，
∴GE∥AD.
