13.2.1
全等三角形
知识点：全等三角形及对应角、对应边.
重点：全等三角形的有关概念和性质.
难点：理解全等三角形边、角的对应关系.
基础巩固
1.
如图，点C、F在线段BE上，△ABC与△DEF全等，点A与点D，点B与点E是对应顶点，AC与DF交于点M，则∠DEF＝(
)
A．∠B
B．∠A
C．∠DFE
D．∠ACB
1题图
4题图
5题图
2．已知△ABC≌△DEF，且∠A与∠D是对应角，∠B与∠E是对应角，则下列说法中正确的是( )
A．AC与DF是对应边
B．AC与DE是对应边
C．AC与EF是对应边
D．不能确定
3.
若ΔABC≌ΔDEF,
∠A=70°,
∠B=50°,
点A的对应点是点D,
AB=DE,
那么∠DFE的度数等于（
）
A.50°
B.60°
C.50°
D.以上都不对
4.
如图，∠1=∠2，∠B=∠D，△ABC翻转后与△ADE重合，说明△ABC≌△ADE，则下列结论中不正确的是(
)
A.AB=AD
B.AC=AE
C.∠ABC=∠AED
D.∠BAC=∠DAE
5.
如图，若△ABC沿AB方向平移得到△A′B′C′，则∠A=
，∠ABC=
，∠C=
，AB=
，AA′=
，AC∥
.
6.
全等三角形的对应边
，对应角
，对应周长
.
7.
已知△ABC≌△A'B'C'，若AB=24，S△A'B'C'=18，则△A'B'C'的A'B'边上的高长为
.
8.
已知△ABC≌△A'B'C'，AD平分∠BAC，则∠B'A'C'是∠BAD的
倍.
9.如图，△ABC绕点A顺时针旋转与∠1的度数相等的度数后与△ADE重合，若AD=AB，AE=AC，则另一组相等的边为
，图中∠1与∠2的大小关系是
.
9题图
10题图
11题图
10.
已知，如图，△ABC≌△DCB，写出这两个三角形中相等的边和相等的角.
11.
如图，若△OAD≌△OBC,
且∠O=65°,∠C=20°,
则∠OAD=
.
12.
如图，△ACB≌△DEF，其中A与D，C与E是对应顶点，请写出它们的对应边和对应角．
12题图
13．如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，写出其他对应边和对应角．
13题图
强化提高
14.如图所示，若图形沿AO折叠后D点和E点重合，B点和C点重合，请写出图中全等的三角形.
14题图
15．如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中A和D，B和E是对应点．
(1)用符号“≌”表示这两个三角形全等(要求对应顶点写在对应位置上)；
(2)写出图中相等的线段和相等的角；
(3)写出图中互相平行的线段，并说明理由．
15题图
13.2.1
全等三角形答案
1.
A.
2.
A.
3.
B.
4.
C.
5.∠B′A′C′，∠B′，∠C′，A′B′，BB′，A′C′.
6.相等，相等，相等.
7.
1.5.
8.
2.
9.
DE=BC，∠1=∠2.
10.
相等的边：AB=CD，AC=DB，BC=CB；
相等的角：∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC.
11.
95°.
解析：∵△OAD≌△OBC,
∴∠D=∠C=20°,
∴∠OAD=180°－∠O－∠D=180°－65°－20°=95°.
12.
解：AC的对应边是DE，AB的对应边是DF，CB的对应边是EF；
∠A与∠D，∠C与∠DEF，∠ABC与∠F分别是对应角．
13.
解：
∵△ABN
≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，
∴对应边：AN与AM，BN与CM；
对应角：∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠AMC.
14.
解：△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO，△ABE≌△ACD，△BDO≌△CEO.
15.解：(1)
△ABC≌△DEF.
(2)
相等的线段：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF，AF＝DC；
相等的角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，∠BCD＝∠EFA.
(3)
BC∥EF，AB∥DE.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，
∴AB∥DE，BC∥EF.13.2.2
全等三角形的判定条件
知识点：全等三角形的判定条件.
重
点：熟练地找出两个全等三角形的对应元素，理解全等三角形的性质.
难
点：应用全等三角形的性质，解决相关简单的问题．
基础巩固
1．下列说法正确的有
( )
(1)如果两个三角形的一个角对应相等，那么它们全等；(2)
如果两个三角形有一边相等，那么它们全等；
(3)如果两个三角形的三个角对应相等，那么它们全等；(4)如果两个三角形的两边对应相等，那么它们全等；(5)如果两个三角形的三个角对应相等，三条边也对应相等，那么它们全等．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.
如图，△ABE≌△ACF.
若AB＝5，AE＝2，则CE的长度是( )
A．2
B．3
C．25
D．5
3.
如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到△A′B′C，点A在边B′C上，则∠B′的度数为( )
A．42°
B．48°
C．52°
D．58°
2题图
3题图
4题图
4．如图，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA.若∠A＝28°，∠CGF＝85°，则∠E的度数是(
)
A.
38°
B.
36°
?
C.
34°
?
D.
32°
5.已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是(
)
A.甲和乙
B.
乙和丙
C.
只有乙
D.
只有丙
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________．
7．如图，已知△ABC≌△BAD.若∠DAC＝20°，∠C＝88°，则∠DBA＝______度．
6题图
7题图
8．如图，已知△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上．
(1)
若∠BED＝130°，∠D＝70°，求∠ACB的度数；
(2)
若2BE＝EC，EC＝6，求BF的长．
8题图
9.如图，如果AC=EF，那么根据所给的数据信息，图中的两个三角形全等吗？
9题图
强化提高
10．如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P.
已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4.
(1)求∠CBE的度数；
(2)求△CDP与△BEP的周长和．
10题图
11.
如图，△ADC≌△AFB，∠DAB＝20°，DA∥BF，DC，BF交于点E，∠FEC＝110°.
(1)
求∠FAC的度数；
(2)
AF∥DC吗？请说明理由；
(3)
求∠BAC的度数．
11题图
13.2.2
全等三角形的判定条件答案
1.
A.
解析：只有“(5)三个角对应相等、三条边也对应相等，那么它们全等”．是对的.
2.
B.
解析：∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC＝5，
∴CE＝AC－AE＝5－2＝3.
3.
A.
解析：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，
将△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到△A′B′C，
∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，
∴∠B′＝90°－∠ACA′＝42°.故选A.
4.
A.
解析：∵CD平分∠BCA，∴∠ACD＝∠BCD＝∠BCA.
∵△ABC≌△DEF，∴∠D＝∠A＝28°.
∵∠CGF＝∠D＋∠BCD，∴∠BCD＝∠CGF－∠D＝57°，
∴∠BCA＝2∠BCD＝114°，∴∠B＝180°－28°－114°＝38°.
∵△ABC≌△DEF，∴∠E＝∠B＝38°.
5.
B.
6．120°
7．36
8．解：(1)由三角形的外角的性质可知，∠F＝∠BED－∠D＝60°.
∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠F＝60°.
(2)∵2BE＝EC，EC＝6，
∴BE＝3，∴BC＝9.
∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝9，
∴BF＝EF＋BE＝12.
9.全等.
因为∠DFE=180°-70°-25°=85°，符合全等的条件.
10．解：(1)∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，
∴∠ABD＋∠CBE＝132°.
∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°.
(2)∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC＝AD＋DC＝5，BE＝BC＝4，
∴△CDP与△BEP的周长和＝DC＋DP＋PC＋BP＋PE＋BE
＝DC＋DE＋BC＋BE＝2.5＋5＋4＋4＝15.5.
11.
解：(1)∵△ADC≌△AFB，∴∠DAC＝∠FAB，
∴∠DAC－∠BAC＝∠FAB－∠BAC，
∴∠FAC＝∠DAB＝20°.
(2)
AF∥DC.
理由：∵DA∥BF，∴∠DAF＋∠F＝180°.
∵△ADC≌△AFB，∴∠D＝∠F，
∴∠DAF＋∠D＝180°，∴AF∥DC.
(3)∵AF∥DC，∴∠F＝∠FEC＝110°.
∵AD∥BF，∴∠DAF＋∠F＝180°，
∴∠DAF＝180°－110°＝70°，
∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB－∠FAC＝70°－20°－20°＝30°.13.2.3
边角边
知识点：“边角边”判定法.
重
点：基本事实：边角边和运用.
难
点：理解边角边推导过程及运用.
基础巩固
1．如图，BC＝EC，AC＝DC，要判定△ABC≌△DEC，则应该添加的条件是( )
A．∠BCE＝∠ACD
B．∠BCE＝∠ACE
C．∠A＝∠D
D．∠B＝∠E
1题图
2题图
3题图
2．如图，AD＝AC，AB平分∠DAC，下列结论错误的是
( )
A．△ADB≌△ACB
B．△ADE≌△ACE
C．△EDB≌△ECB
D．△AED≌△CEB
3．如图所示，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝32°，∠A＝78°，则∠F等于( )
A．55°
B．65°
C．60°
D．70°
4．如图，一块三角形玻璃碎成了Ⅰ、Ⅱ两块，现需购买同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上第________块玻璃碎片去玻璃店即可.
4题图
5题图
6题图
5．如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是____________________；
又知AD＝BC，AC为公共边，所以△ADC≌△CBA，理由是________________，
则∠DCA＝∠BAC，理由是________________，
则AB∥DC，理由是____________________．
6．已知：如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF＝________°.
7.如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．
7题图
8.已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE.
求证：BD=CE.
8题图
9．如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．
9题图
10．已知：如图，AB⊥BD于点B，DE⊥BD于点D，点C在BD上，且BC＝DE，CD＝AB，试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．
10题图
强化提高
11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，AB＝DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连结DE.
(1)求证：△ABE≌△DBE；
(2)若∠A＝100°，∠C＝50°，求∠AEB的度数．
11题图
12．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，点M、N分别在AB、AC边上，AM＝2MB，AN＝2NC.求证：DM＝DN.
12题图
13.2.3
边角边答案
1.
A.
2.
D.
3.
D.
解析：因为AB∥DE，所以∠B＝∠DEF.又由BE＝CF知BC＝EF.AB＝DE，由“SAS.”判定△ABC≌△DEF，所以∠F＝∠ACB＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(78°＋32°)＝70°.
4．Ⅰ解析：在Ⅰ中，是已知两边及其夹角，可以确定这个三角形.
5．两直线平行，内错角相等 SAS. 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行
6．50.
解析
由“S.A.S.”可知△BDE≌△CFD，∴∠BED＝∠CDF.
∵∠EDF＝∠EDC－∠CDF，∠B＝∠EDC－∠BED，∴∠EDF＝∠B＝50°.
7.
证明：在△AED和△CEB中，
AE=CE,
∠AED=∠CEB,
DE=BE.
∴△AED≌△CEB（S.A.S），
∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．
8.证明：在△ABD和△ACE中，
∵∠BAC=∠DAE(已知)，
∴∠BAC+∠EAB=∠DAE+∠EAB(等式性质)
∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC(等式性质)
即∠DAB=∠EAC.
∵AB=AC(已知)，AD=AE(已知)，
∴△ABD≌△ACE
(S.A.S).
∴BD=CE.
9．证明：(1)∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO，
∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC.
在△AOD和△OBC中，
∴△AOD≌△OBC(S.A.S.)．
(2)解：∵△AOD≌△OBC，
∴∠ADO＝∠OCB＝35°.
∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.
10．解：AC⊥CE.理由如下：
∵如图，AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
在△ABC和△CDE中，
∵AB＝CD，∠B＝∠D，BC＝DE，
∴△ABC≌△CDE(S.A.S.)，∴∠1＝∠2.
∵∠1＋∠3＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠ACE＝90°，即AC⊥CE.
10题图
11．证明：(1)∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE.
在△ABE和△DBE中，
∴△ABE≌△DBE(S.A.S.)．
(2)解：∵∠A＝100°，∠C＝50°，∴∠ABC＝30°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，
∴在△ABE中，∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝180°－100°－15°＝65°.
12．证明：∵AM＝2MB，∴AM＝AB，同理AN＝AC.
又∵AB＝AC，∴AM＝AN.
∵AD平分∠BAC，
∴∠MAD＝∠NAD.
在△AMD和△AND中，
∴△AMD≌△AND(S.A.S.)，∴DM＝DN.13.2.4
角边角(第1课时)
知识点：基本事实：“角边角”.
重
点：“角边角”的应用.
难
点：理解“角边角”推导过程及灵活运用.
基础巩固
1．如图所示，四个三角形中，能构成全等三角形的是( )
1题图
A．②与③
B．②与④
C．①与②
D．③与④
2．如图，已知∠C＝∠E，AC＝AE，欲利用“A.S.A.”证明△ABC≌△ADE，只需补充一个条件，这个条件是( )
A．AB＝AD
B．BC＝DE
C．∠1＝∠2
D．以上都不对
2题图
3题图
3．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带________去( )
A．①
B．②
C．③
D．①和②
4.如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是______
_______________________(不添加任何字母和辅助线)
4题图
5题图
6题图
5．如图，点B，C，F，E在同一条直线上，∠1＝∠2，BC＝FE，若要根据“角边角”判定△ABC≌△DEF，则需添加的条件是________(只需写出一个)．
6．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2
cm，CD⊥AB于点D，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，交CD的延长线于点F，若EF＝5
cm，则AE＝_______cm.
7.
如图，已知AO=DO，∠AOB与∠DOC是对顶角，还需补充条件
，就可根据“A.S.A”说明△AOB≌△DOC.
7题图
8题图
8.如图，O是AB的中点，∠A=∠B，△AOC和△BOD全等吗？
9.如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，OA＝OD.求证：OB＝OC.
9题图
10．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD＝AE.求证：BE＝CD.
10题图
11.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE.
11题图
12．如图，∠ABC＝∠DCB，BD、CA分别是∠ABC、∠DCB的角平分线．求证：AB＝DC.
12题图
强化提高
13．如图，点B，C，D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD.
(1)求证：△ABC≌△CDE；
(2)若AB＝2，DE＝3，求BD的长．
13题图
14.
如图所示，太阳光线AB和A′B′是平行的，地面上甲、乙两人在阳光照射下的影子一样长，那么甲、乙一样高吗？说明理由．
14题图
13.2.4
角边角(第1课时)答案
1.
D.
2.
C.
3.
C.
4.
AB＝AC(或∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD)
5．∠B＝∠E(答案不唯一)
6．3.
解析：由条件知△ABC≌△FCE，∴AC＝FE，则AE＝5－2＝3(cm)．
7.∠A=∠D.
8.全等.
证明：∵O是AB的中点(已知)，∴OA=OB(中点定义).
∵∠A=∠B(已知)，∠AOC=∠BOD(对顶角相等).
∴△AOC≌△BOD
(A.S.A).
9.证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，
在△AOB和△DOC中，
∠A＝∠D，OA=OD，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB
≌△DOC
(A.
S.A.)，∴OB＝OC.
10．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(A.S.A.)，∴AB＝AC.
又∵AD＝AE，∴AB－AE＝AC－AD，即BE＝CD.
11.证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F.
在△ADE和△CFE中，
∠A＝∠FCE，DE=EF，
∠AED＝∠CEF.
∴△ADE≌△CFE
(A.
S.
A.)．
12．证明：∵AC平分∠BCD，BD平分∠ABC，
∠ABC＝∠DCB，∴∠ACB＝∠DBC.
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB(A.S.A.)，∴AB＝DC.
13．解：(1)证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，
∴∠BAC＋∠ACB＝90°，∠ACB＋∠DCE＝90°，
∴∠BAC＝∠DCE.
又∵AB＝CD，∴△ABC≌△CDE(A.S.A.).
(2)∵△ABC≌△CDE，
∴DE＝BC＝3，CD＝AB＝2，∴BD＝5.
14.
解：一样高．理由如下：
如图，分别过点A，A′作AC⊥BB′，交直线BB′于点C，A′C′⊥BB′，交BB′于点C′，
则∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，BC＝B′C′.
又∵AB∥A′B′，∴∠ABC＝∠A′B′C′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠ACB＝∠A′C′B′，BC＝B′C′，∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)，
∴AC＝A′C′，
即甲、乙两人一样高．
14题图13.2.4
角边角(第2课时)
知识点：基本事实：角角边.
重
点：“角角边”判定的运用.
难
点：“角角边”及“角边角”判定的灵活运用.
基础巩固
1.
在下列的判定中，不能判定两个三角形全等的是(
)
A.
A.S.A
B.
S.A.S
C.
A.A.S
D.
S.S.A
2.
如图，AB//DC，点C是BE的中点，利用“角角边”证明△ABC≌△DCE，还需要的条件是(
)
A.AB=DC
B.∠A=∠D
C.∠ACB=∠DEC
D.AC=DE
2题图
3题图
4题图
3．如图，EA∥DF，EA＝DF，要使△ACE≌△DBF，则只要( )
A．AB＝BC
B．EC＝BF
C．∠A＝∠D
D．∠ECB＝∠FBC
4．如图所示，点A在DE上，点F在AB上，且AC＝CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于( )
A．AC
B．BC
C．AB＋AC
D．AB
5.如图，在△ABC和△ABD中，∠1=∠2.
(1)当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是
；
(2)当∠C=∠D时，△ABC≌△ABD的依据是
.
6.如图，点B、E、F、C在同一直线上.已知∠A=∠D，∠B=∠C，要使△ABF≌△DCE，需要补充的一个条件(1)
，理由：
；
(2)或
，理由：
；
(3)或
，理由：
.
5题图
6题图
7题图
8题图
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E.AD，CE交于点H，请你添加一个适当的条件：________，使△AEH≌△CEB.
8．如图，A，E两点在线段DB上，若DF∥AC，∠C＝∠F，EF＝BC，BE＝4，AE＝1，则DE的长是________．
9．如图，点C，F在BE上，∠A＝∠D，AC∥DF，BF＝EC.你知道AB与DE有什么关系吗？请说明理由．
9题图
10.如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．
10题图
11.如图，已知AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD.
11题图
强化提高
12.
已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AD=EC，△ABD≌△EBC吗？为什么？
12题图
13．如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一点D的竖直高度DB的长度，在D处立上一竹竿CD，并保证CD⊥AD，然后在竿顶C处垂下一根绳CE，与斜坡的交点为E，调整绳子CE的长度，使得CE＝AD，此时测得DE＝2米，
求DB的长度．
13.2.4
角边角(第2课时)答案
1.D.
2.B.
3．D.
4．D.
解析：由∠1＝∠2，∠DFA＝∠BFC，可得∠D＝∠B.
由∠2＝∠3可得∠ACB＝∠ECD.
又∵AC＝EC，∴△ABC≌△EDC，∴DE＝AB.
5.(1)
A.S.A；(2)A.A.S.
6.(1)BF=EC，A.A.S；
(2)AF=DE，A.A.S；(3)AB=DC，A.S.A.
7．AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE
8．5
9．AB与DE平行且相等．理由如下：
∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE.
∵BF＝EC，∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∵∠A＝∠D，∠ACB＝∠DFE，BC＝EF，
∴△ABC≌△DEF(A.A.S.).
∴AB＝DE，∠B＝∠E，
∴AB∥ED(内错角相等，两直线平行)，
∴AB与DE平行且相等．
10.
证明：如图，∵∠1=∠2，∴∠ACB=∠ACD．
在△ABC与△ADC中，
∠B=∠D，∠ACB=∠ACD
,
AC=AC,
∴△ABC≌△ADC（A.A.S），∴CB=CD．
11.
证明：由∠ECB＝70°得∠ACB＝110°，
又∵∠D＝110°，∴∠ACB＝∠D，
∵AB∥DE，∴∠CAB＝∠E.
在△ABC和△EAD中，
∴△ABC
≌△EAD(A.A.S.)．
12.全等.
证明：∵∠1=∠2(已知)，
∴∠1+∠DBE=∠2+∠DBE(等式性质).
即∠ABD=∠EBC.
在△ABD和△EBC中，
∵∠ABD=∠EBC(已证)
∠D=∠C(已知)，
AD=EC(已知)，
∴△ABD≌△EBC(A.A.S).
13．解：如图，延长CE交AB于点F.
则∠A＋∠1＝90°.
∵CD⊥AD，∠C＋∠2＝90°，
而∠1＝∠2(对顶角相等)，∴∠A＝∠C.
在△ABD和△CDE中，
∵∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDE＝90°，AD＝CE，
∴△ABD≌△CDE(A.A.S)，∴DB＝DE.
∵DE＝2米，∴DB的长度是2米．
13题图13.2.5
边边边
知识点：基本事实“边边边”.
重
点：运用“边边边”证明三角形全等.
难
点：灵活运用“边边边”判定三角形全等及其它应用.
基础巩固
1.如果两个三角形的三条边分别对应
，那么这两个三角形
，简记为
(或
).
2.如图，如果AB=CD，BC=AD，那么△ABC≌
，理由是
.
3.如图，已知AB=AC，若使△ABD≌△ACD，则需要补充条件
.(加一个条件)
2题图
3题图
4题图
5题图
4.如图，AF=CD，AB=ED，EF=BC，那么△ABC≌△CEF的理由是
.
5.如图，若OA=OB，AC=BC，∠ACO=30°，则∠ACB=
.
6.当△ABC和△DEF具备(
)条件时，△ABC≌△DEF.
A.所有的角相等
B.三条边分别对应相等
C.面积相等
D.周长相等
7．如图，在下列条件中，不能直接证明△ABD≌△ACD的是(
)
A．BD＝DC，AB＝AC
B．∠ADB＝∠ADC，BD＝DC
C．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD
D．∠B＝∠C，BD＝DC
7题图
8题图
9题图
8．工人师傅常用角尺平分一个任意角，作法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC.
由作法得△MOC≌△NOC的依据是( )
A．A.A.S.
B．S.A.S.
C．A.S.A.
D．S.S.S.
9．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
10.如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD.
求证：△ABC≌△DCB.
10题图
11.
如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF，求证：△ABF
≌△DCE.
11题图
12.如图，已知AB＝AD，CB＝CD.
求证：∠B＝∠D.
12题图
13.已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．
13题图
14.如图，已知AC、BD相交于O，且AB=DC，AC=BD，能得到∠A=∠D吗？为什么？
14题图
强化提高
15．如图，AB＝AD，BC＝DC，点E在AC上．求证：(1)AC平分∠BAD；(2)BE＝DE.
15题图
16．如图，已知点B，F，C，E在同一条直线上，FB＝CE，AC＝DF，能否由上面的已知条件证明AB∥ED？如果能，请给出证明；如果不能，请从下列3个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使AB∥ED成立，并给出证明：
供选择的3个条件：
①AB＝DE；②∠A＝∠D；③∠ACB＝∠DFE.
16题图
13.2.5
边边边答案
1.相等，全等，边边边，S.S.S.
2.
△CDA，S.S.S.
3.
BD=CD（或∠BAD=∠CAD）.
4.S.S.S.
5.60°.
6.B.
7.
D.
解析：题中隐含条件AD=AD,
与A.
B.
C中的条件结合都能证明△ABD≌△ACD.
8.
D.
解析：∵OM＝ON，CM＝CN，OC为公共边，∴△MOC≌△NOC(S.S.S.)．
9.
C.
解析：由条件可得△ABC≌△ADC，△AOB≌△AOD，△COB≌△COD.
10.证明：在△ABC和△DCB中，
∵AB=DC(已知)，AC=BD(已知)，BC=CB(公共边)，
∴△ABC≌△DCB(S.S.S).
11.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE(S.S.S.)．
12.证明：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(S.S.S.)，
∴∠B＝∠D.
13.
证明：∵AD=BC，∴AC=BD，
在△ACE和△BDF中，
AC=BD,
AE=BF,
CE=DF，
∴△ACE≌△BDF（S.S.S）
∴∠A=∠B，∴AE∥BF.
14.能.
证明：连结BC，在△ABC和△DCB中，
∵AB=CD(已知)，AC=BD(已知)，BC=CB(公共边)，
∴△ABC≌△DCB(S.S.S).
∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等).
15.
证明：(1)在△ABC和△ADC中，
∴△ABC
≌△ADC(S.S.S.)，∴∠BAC＝∠DAC，即AC平分∠BAD.
(2)由(1)知∠BAE＝∠DAE.
在△BAE和△DAE中，
∴△BAE≌△DAE(S.A.S.)，∴BE＝DE.
16．解：不能．
选择条件①AB＝DE(还可选择条件③，但不能选择条件②)
证明：∵FB＝CE，
∴FB＋FC＝CE＋FC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∵AC＝DF，BC＝EF，AB＝DE，
∴△ABC≌△DEF(S.S.S.)，
∴∠B＝∠E，
∴
AB∥DE.13.2.6
斜边直角边
知识点：基本事实“斜边直角边”.
重
点：运用“斜边直角边”判定两个直角三角形全等.
难
点：灵活运用“斜边直角边”进行直角三角形全等的判定.
基础巩固
1．在下列条件中不能判定直角三角形全等的是( )
A．两条直角边分别相等
B．斜边和一个锐角分别相等
C．两个锐角分别相等
D．斜边和一条直角边分别相等
2．如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，则判定△ABC≌△DCB的依据是( )
A．H.L.
B．A.S.A.
C．A.A.S.
D．S.A.S.
3．如图，若要用“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件( )
A．∠BAC＝∠BAD
B．AC＝AD或BC＝BD
C．∠ABC＝∠ABD
D．以上都不正确
2题图
3题图
4题图
5题图
4．如图，已知BC⊥CA，ED⊥AB，BD＝BC，AE＝8
cm，DE＝6
cm，则AC等于(
)
A．10
cm
B．12
cm
C．14
cm
D．16
cm
5．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR；②RB＝SC；③PB＝PC.其中正确的有( )
A．3个
B．2个
C．1个
D．0个
6.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC的关系是
.
6题图
7题图
8题图
9题图
7.如图，已知AB⊥DB，BC=EB，AC=DE.
由此可判定全等的两个三角形是△
和
△
，理由是
.
8.如图，点P是∠BAC内一点，且P到AC，AB的距离PE=PF，则△PEA≌△PFA的理由是
.
9．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是
___________________．
10．如图所示，已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD＝CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
试说明EB＝FC.
10题图
11．如图，点E、A、D、B在同一条直线上，CA⊥EB、FD⊥EB，CA＝FD，CE＝FB.
求证：BC＝EF.
11题图
12．如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，CD，C′D′分别是边AB，A′B′上的高，并且AC＝A′C′，CD＝C′D′，∠ACB＝∠A′C′B′.
求证：△ABC
≌△A′B′C′.
12题图
13.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．
13题图
14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AC上一点，E为BC延长线上一点，使AE=BD，若∠E=70°.
试求∠BDC的大小.
14题图
强化提高
15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.
试猜想BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
15题图
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于点E.
(1)若B、C在DE的同侧(如图1)，且AD＝CE.
求证：AB⊥AC.
(2)若B、C在DE的两侧(如图2)，其他条件不变，AB与AC仍垂直吗？若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
图1
图2
13.2.6
斜边直角边答案
1.
C.
2.
A.
3.
B.
解析：从图中可知AB为Rt△ABC和Rt△ABD的斜边，也是公共边，根据“H.L.”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，还需补充一对相等的直角边，即AC＝AD或BC＝BD.故选B.
4.
C.
解析：在Rt△DEB和Rt△CEB中，∵BE＝BE，BD＝BC，
∴Rt△DEB≌Rt△CEB，∴DE＝CE，
∴AC＝AE＋CE＝AE＋DE＝8＋6＝14(cm)．
5.
C.
解析：只有①AS＝AR正确，其余不正确.
6.全等.
7.
ABC，DBE，HL.
8.
HL.
9.
AB＝DC(或AC＝DB或∠ABC＝∠DCB或∠ACB＝∠DBC等)
.
10．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAE＝∠DAF.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.
又∵AD＝AD，∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∵BD＝CD，
DE＝DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC(H.L.)，
∴EB＝FC.
11．证明：∵CA⊥EB，FD⊥EB，
∴∠CAB＝∠FDE＝90°，
∠CAE＝∠FDB＝90°.
在Rt△ACE和Rt△DFB中，
∵CA＝FD，CE＝FB，
∴Rt△ACE≌Rt△DFB，
∴AE＝DB，∴AE＋AD＝DB＋AD，即DE＝AB.
又∵CA＝FD，∠BAC＝∠EDF，
∴△ACB≌△DFE，∴BC＝EF.
12．证明：在Rt△ACD和Rt△A′C′D′中，
∵AC＝A′C′，CD＝C′D′，
∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′(H.L.)，
∴∠CAD＝∠C′A′D′.
在△ABC和△A′B′C′中，
∵∠BAC＝∠B′A′C′，AC＝A′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′(A.S.A.)．
13.
证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中,
BD=AC,
BC=CB，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（H.L）,
∴AB=CD.
在△ABO和Rt△DCO中,
∠A=∠D,
AB=CD，∠AOB=∠DOC
,
∴△ABO
≌△DCO(A.S.A),
∴
BO=CO．
14.解：∵∠ACB=90°，∴∠BCD=∠ACE=90°.
在Rt△BCD和Rt△ACE中，
∵BD=AE
，BC=AC
，
∴Rt△BCD≌Rt△ACE(H.L).
∴∠BDC=∠E(全等三角形的对应角相等).
∵∠E=70°，∴∠BDC=70°.
15．解：
猜想：BF⊥AE.
理由：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°.
又∵BC＝AC，BD＝AE，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC(H.L.)，
∴∠CBD＝∠CAE.
又∵∠CAE＋∠E＝90°，
∴∠EBF＋∠E＝90°，
∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.
16．(1)证明：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(H.L.)，
∴∠DBA＝∠CAE.
∵∠DAB＋∠DBA＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝180°－(∠BAD＋∠CAE)＝90°，
∴AB⊥AC.
(2)解：AB⊥AC.理由如下：
同(1)一样可证得Rt△ABD≌Rt△CAE，
∴∠DAB＝∠ECA.
∵∠CAE＋∠ECA＝90°，
∴∠CAE＋∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC.
