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第二十四章
圆
第2课时
垂径定理
教学目的
1探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质；2能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题．
教学重点
能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关的实际问题．
教学内容
知识要点1圆的轴对称性性 质：圆是轴对称图形，任何一条
直径
所在直线都是圆的对称轴．圆有
无数
条对称轴．2垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径
平分
弦，并且平分
弦
所对的两条弧．3垂径定理的推论推 论：平分弦(不是直径)的直径
垂直
于弦，并且
平分弦
所对的两条弧．拓 展：如果圆的一条非直径的弦和一条直线满足以下五个条件中的任意两个，那么它一定满足其余三个：①直线过圆心；②直线垂直于弦；③直线平分弦；④直线平分弦所对的优弧；⑤直线平分弦所对的劣弧．对应练习1．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是(
)A．3
B．4
C.
D.2．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD＝22.5°，若CD＝6
cm，则AB的长为(
)A．4
cm
B．3
cmC．2
cm
D．2
cm3．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为(
)A．2
B．4
C．6
D．84．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5
cm，CD＝6
cm，则OE＝
cm.5．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为
． 6．下列说法正确的是(
)A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧B．平分弦的直径垂直于弦C．垂直于直径的弦平分这条直径D．弦的垂直平分线经过圆心7．如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于(
)A．8
B．2
C．10
D．58．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是(
)A．6
B．5
C．4
D．39．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面半径OB＝5，截面圆圆心为O，当水面宽AB＝8时，水位高为(
)A．1
B．2
C．3
D．410．绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8
m，桥拱半径OC为5
m，则水面宽AB为(
)A．4
m
B．5
m
C．6
m
D．8
m11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为
米．课堂总结作垂直于弦的半径或连接半径，构造直角三角形是利用垂径定理解题的常用方法．课后练习1．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为
2．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8
cm，AC＝6
cm，那么⊙O的半径OA长为
cm. 3．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为
．4．如图，AD是⊙O的直径，弦BC⊥AD于E，AB＝BC＝12，则OC＝
． 5．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3
m，弓形的高EF＝1
m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r.6．如图，⊙O的直径为10
cm，弦AB＝8
cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．7．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．(1)求证：AC＝BD；(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
参考答案1.C
2.B
3.D
4.4
5
.
DDBBD0.5作业参考答案1.4
2.5
3.4
4.4．5.解：由题意知OA＝OE＝r.∵EF＝1，∴OF＝r－1.∵OE⊥AB，∴AF＝AB＝×3＝1.5.在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，即(r－1)2＋1.52＝r2.解得r＝.即圆O的半径为米．6.解：作直径MN⊥弦AB，交AB于点D，由垂径定理，得AD＝DB＝AB＝4
cm.又⊙O的直径为10
cm，连接OA，则OA＝5
cm.由勾股定理，得OD＝＝3
cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3
cm≤OP≤5
cm.7.解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E.则CE＝DE，AE＝BE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.(2)连接OA，OC.由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，∴CE＝＝＝2.AE＝＝＝8.∴AC＝AE－CE＝8－2.人
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第二十四章
圆
第4课时
圆周角
教学目标
1．了解圆周角的概念，理解圆周角定理；2．熟练掌握圆周角定理并灵活运用．
教学重点
熟练掌握圆周角定理并灵活运用
教学内容
知识要点1．圆周角的概念圆周角：
顶点在圆上
，并且两边都与圆
的角叫做圆周角．注 意：(1)圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都与圆相交．(2)圆心角与圆周角的相同点是角的两边都和圆相交，不同点是圆心角的顶点在圆心，而圆周角的顶点在圆上．2．圆周角定理定 理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理引出的重要推论推 论：(1)同弧或等弧所对的圆周角
相等；(2)半圆(或直径)所对的圆周角是
直角
，90°的圆周角所对的弦是
直径
．4．圆内接四边形的性质圆内接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．多边形的外接圆：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个圆叫做这个多边形的外接圆．性 质：圆内接四边形的对角互补．对应练习1．下列图形中的角，是圆周角的是(
)2．(铜仁中考)如图所示，点A、B、C在⊙O上，∠A＝64°，则∠BOC的度数是(
)A．26°
B．116°C．128°
D．154°3．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点(与A、B不重合)，则∠APB＝
． 如图，点A、B、C是⊙O上的点，OA＝AB，则∠C的度数为
°
5．如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100
m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为
m.
如图，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上异于B、C的一点，则∠A的度数为(
)A．60°
B．70°
C．80°
D．90°7．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，AC、BD相交于点E，则∠ABD＝(
)A．∠ACD
B．∠ADB
C．∠AED
D．∠ACB 如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(
)A．65°
B．75°
C．50°
D．55°9．如图，△ABD的三个顶点在⊙O上，AB是直径，点C在⊙O上，且∠ABD＝52°，则∠BCD等于(
)A．32°
B．38°C．52°
D．66°
10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC
课堂总结直径所对的圆周角是直角，所以“由直径构造直角三角形”是常见的辅助线作法．课后练习1.如图，AB是⊙O的直径，∠AOC＝110°，则∠D＝(
)A．25°
B．35°C．55°
D．70°2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数为(
)A．40°
B．50°
C．80°
D．100°
3．下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(
)
4．如图，A，B，C，D四个点均在⊙O上，∠AOD＝70°，AO∥DC，则∠B的度数为(
)A．40°
B．45°C．50°
D．55°
5.如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BOD＝130°，AC∥OD交⊙O于点C，连接BC，则∠B＝
度． 6．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．(1)求证：△ABC为等边三角形；(2)求DE的长．
7．如图，AB是半圆的直径，图1中，点C在半圆外；图2中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图1中，画出△ABC的三条高的交点；(2)在图2中，画出△ABC中AB边上的高．
参考答案1．B
2．C
3.
30°
4．30°
5.
200m
6．D7.
A
8．A
9．B10．证明：∵AB＝BC，∴＝，∴∠ADB＝∠BDC，∴DB平分∠ADC.作业答案1
B
2．
A3．B
4.D
5.
40度．6．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∵点D是BC的中点，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC.又∵AB＝BC，∴AB＝AC＝BC.∴△ABC为等边三角形．(2)连接BE.∵AB是⊙O直径，∴∠AEB＝90°.∴BE⊥AC.∵△ABC是等边三角形，∴AE＝EC，即E为AC的中点．又∵D是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝AB＝×2＝1.7．解：(1)如图1，点P就是所求作的点．(2)如图2，CD为AB边上的高．人
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第二十四章
圆
第3课时
弧、弦、圆心角
教学目的
掌握弧、弦、圆心角的关系定理，并能运用其关系定理解答问题．
教学重点
运用弧、弦、圆心角关系定理解答问题．
教学内容
知识要点1．圆心角的概念圆心角：顶点在
的角叫做圆心角．2．圆心角、弧、弦的关系定 理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的
相等，所对的
也相等．推 论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等．对应练习1．下面四个图中的角，是圆心角的是(
)
A
B
C
D2．如图所示，图中的圆心角(小于平角的)有(
)A．1个
B．2个C．3个
D．4个3．已知⊙O的半径为5
cm，弦AB的长为5
cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝
.4．如图，已知AB为⊙O的直径，点D为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的两倍，则圆心角∠BOD的度数为
. 5．下列四个命题：①圆心角是顶点在圆心的角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弦相等，它们所对的弧也相等；④等弧所对的圆心角相等．其中正确命题有(
)A．1个
B．2个C．3个
D．4个6．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE是(
)A．40°
B．60°C．80°
D．120°7．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为(
)A．AB>CD
B．AB＝CDC．AB
D．不能确定 8．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(
)①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.A．1个
B．2个C．3个
D．4个9．如图所示，在⊙O中，AC，BC是弦，根据条件填空： (1)若AC＝BC，则
，
；(2)若＝，则
，
；(3)若∠AOC＝∠BOC，则
，
；10．如图，AB，DE是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，且＝，求证：BE＝CE.课堂总结解决圆中有关角相等的问题时，一要注意运用圆的半径都相等这个隐含条件，二要注意遇到弧相等，常转化为圆心角或它们所对的弦相等．课后练习1．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中正确的个数为(
)①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.A．1个
B．2个
C．3个
D．4个2．如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.下列结论： ①＝＝；②ME＝NF；③AE＝BF；④ME＝2AE.其中正确结论的序号是
．3．如图，已知D，E分别为半径OA，OB的中点，C为的中点．试问CD与CE是否相等？说明你的理由．4．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；(2)求证：OC∥BD.5．如图所示，以?ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，交AD，BC于E，F，延长BA交⊙A于G，求证：＝.
参考答案1.D
2.B
3.60°4.60°5.B
6.C
7.B
8.D9.则＝，∠AOC＝∠BOC；则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；则＝，AC＝BC．10.证明：∵∠BOE＝∠AOD，∴＝.又∵＝，∴＝，∴BE＝CE.作业参考答案1.D
2.①②③．3.解：相等．理由如下：连接OC.∵D，E分别为⊙O半径OA，OB的中点，∴OD＝AO，OE＝BO.∵OA＝OB，∴OD＝OE.∵C是的中点，∴＝.∴∠AOC＝∠BOC.又∵OC＝OC，∴△DCO≌△ECO(SAS)．∴CD＝CE.4.解：(1)△AOC是等边三角形．理由：∵＝，∴∠AOC＝∠COD＝60°.又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形．(2)证明：∵＝，∴OC⊥AD.∵∠AOC＝∠COD＝60°，∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．∴∠ODB＝60°.∴∠ODB＝∠COD＝60°.∴OC∥BD.5.证明：连接AF，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠GAE＝∠B，∠EAF＝∠AFB.又∵AB＝AF，∴∠B＝∠AFB.∴∠GAE＝∠EAF.∴＝.人
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第二十四章
圆
第1课时
圆
教学目的
理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念，能够从图形中识别．利用半径相等是解题
教学重点
理解并掌握弧、弦、优弧、劣弧、半圆等基本概念.利用半径相等是解题
教学内容
知识要点1圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；②经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A.C为端点的弧记作
(?http:?/??/?www.zzstep.com?/?"
\o
"中国教育出版网?)”，读作“圆弧
(?http:?/??/?www.zzstep.com?/?"
\o
"中国教育出版网?)”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示
(?http:?/??/?www.zzstep.com?/?"
\o
"中国教育出版网?)）叫做优弧，小于半圆的弧（如图所示）
(?http:?/??/?www.zzstep.com?/?"
\o
"中国教育出版网?)或
(?http:?/??/?www.zzstep.com?/?"
\o
"中国教育出版网?)叫做劣弧．④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．注
意：在同一个圆中，圆上各点到圆心的距离都等于半径，所以利用半径相等是解题中重要的条件．对应练习1．下列条件中，能确定一个圆的是(
)A．以点O为圆心B．以2
cm长为半径C．以点O为圆心，5
cm长为半径D．经过点A2．如图所示，图中弦的条数为(
)A．1条
B．2条
C．3条
D．4条3．下列命题中正确的有
(
)①弦是连接圆上任意两点的线段；②半径是弦；③直径是圆中最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个
B．2个
C．3个
D．4个4．如图所示，在圆O中，弦有
，
，直径是
，优弧有
,
，劣弧有
,
.5．如图，在△ABC中，BD，CE是两条高，点O为BC的中点，连接OD，OE，求证：B，C，D，E四个点在以点O为圆心的同一个圆上．6．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为(
)A．38°
B．52°C．76°
D．104°7．已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝30°，那么∠BAD＝(
)A．45°
B．60°
C．90°
D．30°8．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝
． 经典题型9．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.课堂总结弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧等概念在同一个圆中，圆上各点到圆心的距离都等于半径，所以利用半径相等是解题中重要的条件．课后练习1．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为(
)rA．50°B．60°C．70°D．80°2．点P到圆上各点的最大距离为10
cm，最小距离为8
cm，则此圆的半径为(
)A．9
cm
B．1
cmC．9
cm或1
cm
D．无法确定3．已知A，B是半径为6
cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是
cm.4．已知，如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：AD＝BC.5．如图所示，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你找出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．6．如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E点，已知AB＝2DE，∠E＝18°，求∠AOC的度数．
参考答案1-3
CBB
4
AC，AB，
AB，
，，
，.5.证明：∵BD，CE是两条高，∴∠BDC＝∠BEC＝90°.∵点O为BC的中点，∴OE＝OB＝OC＝BC.同理：OD＝OB＝OC＝BC.∴OB＝OC＝OD＝OE.∴B，C，D，E在以O为圆心的同一个圆上．6-7
CD
8.40°9证明：∵OB，OC是⊙O的半径，∴OB＝OC.又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，∴△EOB≌△FOC(ASA)．∴OE＝OF.∴OE＋OC＝OF＋OB，即CE＝BF.
作业参考答案1.C2.C3.
0∵C，D分别为OA，OB的中点，∴OC＝OD.又∵∠AOD＝∠BOC，∴△AOD≌△BOC(SAS)．∴AD＝BC.
解：OE＝OF.5.证明：∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.又∵AE＝BF，∴△OAE≌△OBF(SAS)．∴OE＝OF.6.解：连接OD.∵AB为⊙O的直径，OC，OD为半径，AB＝2DE，∴OC＝OD＝DE.
∴∠DOE＝∠E，∠OCE＝∠ODC.
又∠ODC＝∠DOE＋∠E，∴∠OCE＝∠ODC＝2∠E.∵∠E＝18°，∴∠OCE＝36°.∴∠AOC＝∠OCE＋∠E＝36°＋18°＝54°.