人教版八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质课时练（含答案）

人教版八年级数学上册课时练
第十二章
全等三角形
12.3
角的平分线的性质
一、选择题
1．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（
）
A．PD＝PE
B．OD＝OE
C．∠DPO＝∠EPO
D．PD＝OP
2．如图在中，平分交于，于，若，则的周长是（
）
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，
∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB=18cm，则△DBE的周长为（
）
A．16cm
B．8cm
C．18cm
D．10cm
4．已知：如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB=40°，∠BCF的度数为（　　）
A．40°
B．50°
C．55°
D．60°
5．如图，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H；如果∠ABC=60?，则下列结论：①∠ABP=30?；②∠APC=60?；③PB=2PH；④∠APH=∠BPC；其中正确的结论个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E，若AB＝BC，则下列结论中错误的是（
）
A．BD⊥AC
B．∠A＝∠EDA
C．2AD＝BC
D．BE＝ED
7．如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(　　)
A．AD＋BC＝AB
B．与∠CBO互余的角有两个
C．∠AOB＝90°
D．点O是CD的中点
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF,给出下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AC=3BF，其中正确的结论共有（
）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
9．如图所示，OP平分，，，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（
）．
A．
B．PO平分
C．
D．AB垂直平分OP
10．如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS.下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．其中，正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题
11．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP.
由作法得△OCP≌△ODP的根据是_________．
12．如图,在△ABC中,OB、OC分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点O作EF∥BC,分别与边AB、AC相交于点E、F,AB=8,AC=7,那么△AEF的周长等于_______.
13．如图，的周长为12，，的平分线相交于点O，于点D，且，则________．
14．如图，，是、的角平分线交点，是、外角平分线交点，则______，_____，联结，则______，点____（选填“在”、“不在”或“不一定在”）直线上．
15．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC=_____°．
三、解答题
16．如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9．
（1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF．
17．已知：如下图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离．
18．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P；
（1）在图①中，分别画出点P到△ABC的三边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，写出三条垂线段的数量关系，并说明理由；
（2）在图②中，∠ABC是直角，∠C=60?，其余条件不变，判断PE，PD之间的数量关系，并说明理由；
19．如图1，点C为线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝30°，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接CP．
（1）线段AE与DB的数量关系为　
；请直接写出∠APD＝　
；
（2）将△BCE绕点C旋转到如图2所示的位置，其他条件不变，探究线段AE与DB的数量关系，并说明理由；求出此时∠APD的度数；
（3）在（2）的条件下求证：∠APC＝∠BPC．
20．已知：点、、不在同一条直线上，.
（1）如图1，当，时，求的度数；
（2）如图2，、分别为、的平分线所在直线，试探究与的数量关系；
（3）如图3，在（2）的前提下，有，，直接写出的值.
21．如图①，在中，，的平分线交于点，的邻补角的平分线交的延长线于点，连接交于点，求的度数.
22．已知AB∥CD，点E为平面内一点，BE⊥CE于E,
(1)如图1，请直接写出∠ABE和∠DCE之间的数量关系；
(2)如图2，过点E作EF⊥CD，垂足为F，求证：∠CEF=∠ABE；
(3)如图3，在(2)的条件下，作EG平分∠CEF交DF于点G，作ED平分∠BEF交CD于D，连接BD，若∠DBE+∠ABD=180°，且∠BDE=3∠GEF，求∠BEG的度数．
23．如图，∠AOB是直角，∠BOC＝50°，OD平分∠AOC，若∠DOE＝45°，那么OE平分∠BOC吗？请说明理由．
【参考答案】
1．D
2．A
3．C
4．B
5．B
6．C
7．B
8．A
9．D
10．D
11．SSS
12．15
13．12
14．116
64
26
在
15．30
16．解：连接AO，OB，OC，
∵OP⊥BC，OQ⊥AC，OR⊥AB，∠A、∠B的角平分线交于点O，
∴OR=OQ，OR=OP，
∴由勾股定理得：AR2=OA2﹣OR2，AQ2=AO2﹣OQ2，
∴AR=AQ，
同理BR=BP，CQ=CP，
即O在∠ACB角平分线上，
设BP=BR=x，CP=CQ=y，AQ=AR=z，AB=7，BC=8，AC=9，
则，
x=3，y=5，z=4，
∴BP=3，CQ=5，AR=4．
（2）过O作OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，
∵O在∠A的平分线，
∴OM=ON，∠ANO=∠AMO=90°，
∵∠A=60°，
∴∠NOM=120°，
∵O在∠ACB、∠ABC的角平分线上，
∴∠EBC+∠FCB=（∠ABC+∠ACB）=×（180°﹣∠A）=60°，
∴∠FON=∠EOM，
在△FON和△EOM中，
∠ONF=∠OME，ON=OM，∠FON=∠EOM，
∴△FON≌△EOM，
∴OE=OF．
17．解：过点D作DE⊥AB，则DE是点D到AB的距离．
∵BD∶CD=9∶7，
∴CD=BC·=32×=14
而AD平分∠CAB，
∴DE=CD=14
18．（1）如图1所示：
PF=PH=PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF=PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH，
∴PF=PH=PG；
（2）PE=PD．
证明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=∠ABC=45°，
过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，
则∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG为△ADC的一个外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一个外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
由（1）得：PF=PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．
19．（1）解：如图1中，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMC＝∠DMP，
∴∠APD＝∠ACD＝30°，
故答案为AE＝BD，30°
（2）如图2中，结论：AE＝BD，∠APD＝30°．
理由：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
又∵CA＝CD，CE＝CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，∴CAE＝∠CDB，
∵∠AMP＝∠DMC，
∴∠APD＝∠ACD＝30°．
（3）如图2﹣1中，分别过C作CH⊥AE，垂足为H，过点C作CG⊥BD，垂足为G，
∵△ACE≌△DCB．
∴AE＝BD，
∵S△ACE＝S△DCB
∴CH＝CG，
∴∠DPC＝∠EPC
∵∠APD＝∠BPE，
∴∠APC＝∠BPC．
20
(1)在图①中，过点C作CF∥AD，则CF∥BE．
∵CF∥AD∥BE，
∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，
∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣(∠B﹣∠A)＝120°．
(2)在图2中，过点Q作QM∥AD，则QM∥BE．
∵QM∥AD，QM∥BE，
∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．
∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，
∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，
∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝(∠CBE﹣∠CAD)．
∵∠C＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180°﹣2∠AQB，
∴2∠AQB+∠C＝180°．
(3)∵AC∥QB，
∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．
∵2∠AQB+∠ACB＝180°，
∴∠CAD＝∠CBE．
又∵QP⊥PB，
∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，
∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，
∴∠ACB＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120°，
∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．
21．解：过点作于点，于点，于点.
，，
.
，
.
.
.
又过点作于点，于点，于点.
.
，
.
.
.
，
：
.
而，
.
22．解：（1）结论：∠DCE=90°+∠ABE．
理由：如图1中，从BE交DC的延长线于H．
∵AB∥CH，
∴∠ABE=∠H，
∵BE⊥CE，
∴∠CEH=90°，
∴∠DCE=∠H+∠CEH=90°+∠H，
∴∠DCE=90°+∠ABE．
（2）如图2中，作EM∥CD，
∵EM∥CD，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BEM=∠ABE，∠F+∠FEM=180°，
∵EF⊥CD，
∴∠F=90°，
∴∠FEM=90°，
∴∠CEF与∠CEM互余，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=90°，
∴∠BEM与∠CEM互余，
∴∠CEF=∠BEM，
∴∠CEF=∠ABE．
（3）如图3中，设∠GEF=α，∠EDF=β．
∴∠BDE=3∠GEF=3α，
∵EG平分∠CEF，
∴∠CEF=2∠FEG=2α，
∴∠ABE=∠CEF=2α，
∵AB∥CD∥EM，
∴∠MED=∠EDF=β，∠KBD=∠BDF=3α+β，∠ABD+∠BDF=180°，
∴∠BED=∠BEM+∠MED=2α+β，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED=∠FED=2α+β，
∴∠DEC=β，
∵∠BEC=90°，
∴2α+2β=90°，
∵∠DBE+∠ABD=180°，∠ABD+∠BDF=180°，
∴∠DBE=∠BDF=∠BDE+∠EDF=3α+β，
∵∠ABK=180°，
∴∠ABE+∠B=DBE+∠KBD=180°，
即2α+（3α+β）+（3α+β）=180°，
∴6α+（2α+2β）=180°，
∴α=15°，
∴∠BEG=∠BEC+∠CEG=90°+15°=105°．
23．OE平分∠BOC，理由如下：
因为∠AOB是直角，∠BOC＝50°，所以∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝140°.
因为OD平分∠AOC，所以∠DOC＝∠AOC＝70°.
因为∠DOE＝45°，所以∠EOC＝70°－45°＝25°.
因为∠BOC＝50°，所以∠BOE＝50°－25°＝25°＝∠EOC，所以OE平分∠BOC.