第二章一元二次函数，方程，不等式单元测试卷（加强版）

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2020-2021学年上学期第二单元
单元测试卷（加强版）
高一数学
第Ⅰ卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.设集合，，则　　
A．B．C．D．，
【答案】D
【解析】集合，，，，，故选．
2．设函数f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1，3]，f(x)<－m＋4恒成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，0]B．
C．(－∞，0)∪D．
【答案】D　
【解析】由题意知，f(x)<－m＋4对于x∈[1，3]恒成立，即m(x2－x＋1)<5对于x∈[1，3]恒成立．∵当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，∴不等式m(x2－x＋1)<5等价于m<.∵当x＝3时，取最小值，∴若要不等式m<对于x∈[1，3]恒成立，则必须满足m<，因此，实数m的取值范围为，故选D．
3．（2020·浙江镇海中学模拟）一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(　　)
A　　　
B　　
　C　　　D
【答案】C　
【解析】若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故可排除B.故选C.
4．（2020届陕西省咸阳市高三第一次模拟）已知，则的最小值为（
）
A．B．C．
D．
【答案】C
【解析】，且，则，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为，故选C。
5．（2020届湖北省高三模拟）若不等式对恒成立，则实数m的最大值为（
）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】将不等式化为，只需当时，即可，
由，
当且仅当时取等号，故,故m的最大值为9.故选C。
6．（2020届陕西省汉中市高三质检）若，则下列不等式中不成立的是（
）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，即，故A正确，
所以，即
，故B正确
，所以，即，故C正确，
当时，，故D错误.故选D。
7．（2020届陕西省汉中市高三质检）对于实数，规定表示不大于的最大整数，那么不等式成立的的取值范围是（
）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先解一元二次不等式得，再根据定义求结果.
详解：因为，所以
因为，所以,故选C。
8．平面区域，，在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率是（
）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】区域表示的是一个正方形区域，面积是2，表示以为圆心，为半径的上半圆外部的区域，则在区域内随机取一点，则该点落在区域内的概率是
，故选.
多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）
9.如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中一定成立的是(　　)
A．ab＞ac　　B．c(b－a)＞0
C．cb2＜ab2
D．ac(a－c)＜0
【答案】ABD
【解析】c＜b＜a，ac＜0?a＞0，c＜0.
对于A：?ab＞ac，A正确．对于B：?c·(b－a)＞0，B正确．
对于C：?cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．
对于D：ac＜0，a－c＞0?ac(a－c)＜0，D正确。
（2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末（文））若，则下列不等式中正确的是（
）A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】，则，，.，（1）中的不等式正确；
，则，（3）中的不等式错误；，（2）中的不等式错误；
，则，由基本不等式可得，（4）中的不等式正确.
故答案为：.
11．下列不等式中，不正确的是（
)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BCD
【解析】若，则,故B错，
设,则，所以C、D错
12．（2019·全国高一课时练习）若，则下列不等式不正确的是（
)
A.B.
C.D.
【答案】ACD
【解析】特殊值法：令
作差法：，又均值不等式
第Ⅱ卷
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．（2020届云南省曲靖市第二中学高三第一次模拟）已知x>0，y>0，且x+2y=xy，若x+2y>m2+2m恒成立，则xy的最小值为_____，实数m的取值范围为_____.
【答案】8
【解析】
∵x>0，y>0，x+2y=xy，∴1，
∴1，∴xy≥8，当且仅当x=4，y=2时取等号，
∴x+2y=8(当x=2y时，等号成立)，∴m2+2m<8，解得﹣414.（2020·四川石室中学模拟）已知函数f(x)=2ax2+3b(a，b∈R).若对于任意x∈[-1，1]，都有|f(x)|≤1成立，则ab的最大值是　　　　　.?
【答案】
【解析】由|f(x)|≤1，得|f(1)|=|2a+3b|≤1，所以6ab=2a·3b≤(2a+3b)2≤，且当2a=3b=±时，取得等号，所以ab的最大值为。
15．已知是定义在上的奇函数．当时，，则不等式的解集用区间表示为
．
【答案】(﹣5，0)
∪(5，﹢∞)
【解析】做出
()的图像，如下图所示．由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像．不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)
∪(5，﹢∞)．
16．（2020·重庆高一期末）已知，则的最小值为________，取最小值时的值为________.
【答案】
【解析】
因为，所以，故，
当且仅当，即时取等号.
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：；
四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（2020·华南师大附中模拟）已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值．
【解析】(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，对称轴为x＝－∈[－2，3]，
∴f(x)min＝f(－)＝－－3＝－，f(x)max＝f(3)＝15，∴函数f(x)的值域为[－，15]．
(2)∵函数f(x)的对称轴为x＝－.
①当－≤1，即a≥－时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；
②当－＞1，即a＜－时，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－或－1.
18．（2020·河南省项城市第三高级中学高二期末（理））已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由得，即，所以的解集为；
（2）不等式对任意恒成立，
由得，的最小值为1，
所以恒成立，即，
所以，所以实数的取值范围为.
19．（2019·湖北高一期中）如图，某学校准备修建一个面积为600平方米的矩形活动场地（图中ABCD）的围栏，按照修建要求，中间用围墙EF隔开，使得ABEF为矩形，EFCD为正方形，设米，已知围墙（包括EF）的修建费用均为每米800元，设围墙（包括EF）的修建总费用为y元．
（1）求出y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当x为何值时，围墙（包括EF）的修建总费用y最小？并求出y的最小值．
【答案】（1）；（2）当为20米时，最小．的最小值为96000元．
【解析】（1）设米，则由题意得，且2分
故，可得4分
（说明：若缺少“”扣2分）
则，
6分
所以关于的函数解析式为．
7分
（2），
10分
当且仅当，即时等号成立．
12分
故当为20米时，最小．的最小值为96000元．
14分
20．（2020·全国高一）已知函数s
（1）若在上是增函数，求的取值范围；
（2）若，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）因为，且在上是增函数，
所以；
（2）若，
结合图象，可知：
当时，，即，
当时，，即，
.
21．（2019·全国高一课时练习）已知关于的不等式．
(1)求不等式的解集；
(2)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)
，当时，；当时，
；当时，
；(2).
【解析】(1)
，
当（）时，不等式解集为；
当（）时，不等式解集为；
当（）时，不等式解集为.
所以，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
(2)由上(1)，时，，所以，得，
所以，实数的取值范围.
22．（2018·全国高二课时练习）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200
m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4
200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x
m，试建立S关于x的函数解析式；
(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？
【答案】（1）S＝38
000＋4
000x2＋
(0＜x＜10)；（2）至少要投入11.8万元。
【解析】(1)设DQ＝y
m，则x2＋4xy＝200，即y＝.
所以S＝4
200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38
000＋4
000x2＋
(0＜x＜10)．
(2)由(1)，得S＝38
000＋4
000x2＋
≥38
000＋2＝118
000，
当且仅当4
000x2＝，即x＝时取等号．
因为118
000元＝11.8万元，
所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
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